Archivio 2022

Identifiability is a subtle property of projective varieties. Both its existence and its failure, when non-expected, have deep geometrical meanings. In the seminar I will survey the state of the art focusing on recent results with Alex Massarenti that allow to reduce the identifiability to non defectivity for almost all subgeneric ranks. This will also show an interesting link with Bronowski's work at the beginning of 20th century.

In this course I will start by giving a general introduction to hyper-Kahler manifolds, then I will discuss Lagrangian fibrations and the use of birational geometry in compactification techniques.

In this course I will start by giving a general introduction to hyper-Kahler manifolds, then I will discuss Lagrangian fibrations and the use of birational geometry in compactification techniques.

The study of the decompositions of the powers of a quadratic form, also called representations, is a very classical problem. Many examples appear several times even in old literature, especially for the real case. Our purpose is to deal with this problem by a modern point of view, with the final aim of determining its rank and its border rank. The main instrument we used is the apolarity theory, by which it is possible to determine suitable decompositions of a given form, just analyzing its apolar ideal, that in the case of the powers of quadrics results to be generated by harmonic polynomials. This approach also allows us to determine the border rank in the case of three variables.

Transfer of knowledge: open only to members of the project

We will discuss an explicit graph formula, in terms of boundary strata classes, for the wall-crossing of universal (over Mbargn) Brill-Noether classes. More precisely, fix two stability conditions and for universal compactified Jacobians that are on different sides of a wall in the stability space. Then we can compare the two universal Brill-Noether classes on the two compactified Jacobians by pulling one of them back along the (rational) identity map. The calculation involves constructing a resolution by means of subsequent blow-ups. If time permits, we will discuss the significance of our formula and potential applications. This is joint with Alex Abreu.

Holder regularity of weak solutions to divergence and non-divergence elliptic equations. Background: Familiarity with basic PDE theory (for example Harmonic functions, max principle...) and basic facts about Sobolev Spaces.

Holder regularity of weak solutions to divergence and non-divergence elliptic equations. Background: Familiarity with basic PDE theory (for example Harmonic functions, max principle...) and basic facts about Sobolev Spaces.

ABP Estimates. Background: Familiarity with basic PDE theory (for example Harmonic functions, max principle...) and basic facts about Sobolev Spaces.

Holder regularity of weak solutions to divergence and non-divergence elliptic equations. (III) Harnack Inequality. Background: Familiarity with basic PDE theory (for example Harmonic functions, max principle...) and basic facts about Sobolev Spaces.

Holder regularity of weak solutions to divergence and non-divergence elliptic equations. (II) De Giorgi- Nash-Moser Theorem. Background: Familiarity with basic PDE theory (for example Harmonic functions, max principle...) and basic facts about Sobolev Spaces.

Secant defectivity of projective varieties is classically approached via dimensions of linear systems with multiple base points in general position. The latter can be studied via degenerations. We exploit a technique that allows some of the base points to collapse together. We deduce a general result which we apply to prove a conjecture by Abo and Brambilla: for c≥3 and d≥3, the Segre-Veronese embedding of Pm×Pn in bidegree (c,d) is non-defective.

Introduction and Preliminaries Background: Familiarity with basic PDE theory (for example Harmonic functions, max principle...) and basic facts about Sobolev Spaces.

The generalized Kummer variety K_n of an abelian surface A is the fibre of the natural map Hilb^{n+1}A->Sym^{n+1}A->A. Debarre described a Lagrangian fibration on K_n whose fibres are the kernels of JacC->A, where C are curves in a fixed linear system in A. In this talk we consider the dual of the Debarre system, constructed in a similar way to the duality between SL- and PGL-Hitchin systems described by Hausel and Thaddeus. We conjecture that these dual fibrations are mirror symmetric, in the sense that their (stringy) Hodge numbers are equal, and we verify this in a few cases. In fact, there is another isotrivial Lagrangian fibration on K_n. We can describe its dual fibration and verify the mirror symmetry relation in many more cases.

Dopo aver richiamato alcune nozioni sui fibrati lineari big, si parlerà di fibrati vettoriali big sia su superfici K3 sia sul loro schema di Hilbert di punti. In particolare, verranno descritte alcune famiglie di fibrati big, stabili e globalmente generati.

Il calcolo infinitesimale, “uno dei successi teorici più elevati della conoscenza”, in origine era fondato su una nozione euristica, rimasta per lungo tempo imprecisata e controversa: quella di infinitesimo. Celebre il sarcastico giudizio di George Berkeley - vescovo e filosofo irlandese del XVIII secolo - per il quale gli infinitesimi altro non sono che ''fantasmi di quantità scomparse''. Di quei fantasmi il calcolo infinitesimale potè liberarsi soltanto cent'anni dopo la nascita, con l'aritmetizzazione dell'analisi intrapresa da Karl Weierstrass e fondata sulla nozione di limite. Ma, come tutte le grandi conquiste, anche quella del limite ebbe - come ha tuttora - un prezzo da pagare, dovuto al complesso bagaglio insiemistico-topologico che quel concetto porta con sé. Una via più agevole di quella seguita da Weierstarss si scopre risalendo alle sorgenti del calcolo infinitesimale e a una delle sue idee fondanti, quella contenuta nel metodo di Fermat per la determinazione dei massimi e dei minimi delle funzioni reali di variabile reale: si scopre precisamente l'esistenza di due notevoli classi di funzioni, quella dei polinomi e quella delle funzioni convesse, che il calcolo infinitesimale lo portano nei genomi, un calcolo che non richiede infinitesimi né limiti, del tutto libero da ''fantasmi''. Da questo naturale calcolo differenziale nasce una proposta didattica nuova, che antepone la rigorosa definizione di derivata a quella di limite. Il corso è incentrato su questa nuova proposta didattica per l’insegnamento dell’analisi matematica nel triennio della scuola superiore, che è presentata nel libro C. Facchini - E. Lanconelli “Un cammino tra massimi e minimi: ciottoli e sorgive del calcolo infinitesimale”, Pitagora Editrice, Bologna 2021.

Il calcolo infinitesimale, “uno dei successi teorici più elevati della conoscenza”, in origine era fondato su una nozione euristica, rimasta per lungo tempo imprecisata e controversa: quella di infinitesimo. Celebre il sarcastico giudizio di George Berkeley - vescovo e filosofo irlandese del XVIII secolo - per il quale gli infinitesimi altro non sono che ''fantasmi di quantità scomparse''. Di quei fantasmi il calcolo infinitesimale potè liberarsi soltanto cent'anni dopo la nascita, con l'aritmetizzazione dell'analisi intrapresa da Karl Weierstrass e fondata sulla nozione di limite. Ma, come tutte le grandi conquiste, anche quella del limite ebbe - come ha tuttora - un prezzo da pagare, dovuto al complesso bagaglio insiemistico-topologico che quel concetto porta con sé. Una via più agevole di quella seguita da Weierstarss si scopre risalendo alle sorgenti del calcolo infinitesimale e a una delle sue idee fondanti, quella contenuta nel metodo di Fermat per la determinazione dei massimi e dei minimi delle funzioni reali di variabile reale: si scopre precisamente l'esistenza di due notevoli classi di funzioni, quella dei polinomi e quella delle funzioni convesse, che il calcolo infinitesimale lo portano nei genomi, un calcolo che non richiede infinitesimi né limiti, del tutto libero da ''fantasmi''. Da questo naturale calcolo differenziale nasce una proposta didattica nuova, che antepone la rigorosa definizione di derivata a quella di limite. Il corso è incentrato su questa nuova proposta didattica per l’insegnamento dell’analisi matematica nel triennio della scuola superiore, che è presentata nel libro C. Facchini - E. Lanconelli “Un cammino tra massimi e minimi: ciottoli e sorgive del calcolo infinitesimale”, Pitagora Editrice, Bologna 2021.

Il calcolo infinitesimale, “uno dei successi teorici più elevati della conoscenza”, in origine era fondato su una nozione euristica, rimasta per lungo tempo imprecisata e controversa: quella di infinitesimo. Celebre il sarcastico giudizio di George Berkeley - vescovo e filosofo irlandese del XVIII secolo - per il quale gli infinitesimi altro non sono che ''fantasmi di quantità scomparse''. Di quei fantasmi il calcolo infinitesimale potè liberarsi soltanto cent'anni dopo la nascita, con l'aritmetizzazione dell'analisi intrapresa da Karl Weierstrass e fondata sulla nozione di limite. Ma, come tutte le grandi conquiste, anche quella del limite ebbe - come ha tuttora - un prezzo da pagare, dovuto al complesso bagaglio insiemistico-topologico che quel concetto porta con sé. Una via più agevole di quella seguita da Weierstarss si scopre risalendo alle sorgenti del calcolo infinitesimale e a una delle sue idee fondanti, quella contenuta nel metodo di Fermat per la determinazione dei massimi e dei minimi delle funzioni reali di variabile reale: si scopre precisamente l'esistenza di due notevoli classi di funzioni, quella dei polinomi e quella delle funzioni convesse, che il calcolo infinitesimale lo portano nei genomi, un calcolo che non richiede infinitesimi né limiti, del tutto libero da ''fantasmi''. Da questo naturale calcolo differenziale nasce una proposta didattica nuova, che antepone la rigorosa definizione di derivata a quella di limite. Il corso è incentrato su questa nuova proposta didattica per l’insegnamento dell’analisi matematica nel triennio della scuola superiore, che è presentata nel libro C. Facchini - E. Lanconelli “Un cammino tra massimi e minimi: ciottoli e sorgive del calcolo infinitesimale”, Pitagora Editrice, Bologna 2021.

4th lecture: Beyond d=2: - paracontrolled distributions - the Phi 4-3 equation

3rd lecture: - regularity of the stochastic heat equation and its monomials - solution of the Phi-4-2 equation

2nd lecture: - paraproducts and Schauder estimates

1st lecture: - some examples of singular and non-singular SPDEs - distributions and function spaces

The strength of a homogeneous polynomial is the smallest length of an additive decomposition as sum of reducible forms. It is called slice rank if we additionally require that the reducible forms have a linear factor. Geometrically, the slice rank corresponds to the smallest codimension of a linear space contained in the hypersurface defined by the form. Due to this relation, it is well-known and easy to compute the value of the general slice rank and also to show that the set of forms with bounded slice rank is Zariski-closed. In this talk, I will present the following results from recent joint works with A. Bik, E. Ballico and E. Ventura: (1) the set of forms with bounded strength is not always Zariski-closed: this is an asymptotic result in the number of variables proved by using the theory of polynomial functors; (2) for general forms, strength and slice rank are equal: this is proved by showing that the largest component of the secant variety of the variety of reducible forms is the secant variety of the variety of forms with a linear factor.

In this series of expository talks we introduce and discuss tools of ergodic theory such as recurrence theorems in order to give the proof of Szemeredi’s theorem.