Seminario di Algebra

The geometric P=W conjecture is a conjectural description of the asymptotic behavior of the celebrated Nonabelian Hodge correspondence. In particular, it is expected that the dual boundary complex of the compactification of character varieties has the homotopy type of a sphere. In a joint work with Enrica Mazzon and Matthew Stevenson, we compute the first non-trivial examples of these dual boundary complexes in the compact case. This requires to develop a new theory of essential skeletons over a trivially-valued field. As a byproduct, inspired by these constructions, we show that certain character varieties appear in degenerations of compact hyperkähler manifolds. In this talk I will explain how these new non-archimedean techniques can shed new light into classical algebraic geometry problems.

One of the most classical results in Hodge theory is Griffiths' description of the Hodge filtration of a smooth projective hypersurface in terms of a very explicit polynomial algebra, the so-called Jacobian ring. This turns to be extremely useful in solving Torelli-type problems, amongst others. Griffiths' result has been generalised to the smooth projective complete intersection case by Dimca et al., but not much other progress has been made so far. In this talk we present two different generalisations of Griffiths' theory. First we show how to attach to a smooth projective variety (with no hypotheses on the codimension) a graded module that controls (part of) its Hodge theory and deformation theory (joint work with Carmelo Di Natale/Domenico Fiorenza). Then we analyze the case of smooth hypersurfaces in Grassmannians, and show how to construct an explicit analogue of the Jacobian ring in this case.

Dopo aver introdotto e descritto le principali caratteristiche del mapping class group di una superficie, si indagherà il problema dell'esistenza di rappresentazioni lineari fedeli per tali gruppi. Si presenteranno i risultati noti in quest'ambito, con particolare riguardo alla dimostrazione di linearità per i mapping class group del disco puntato (i.e. i gruppi treccia) e si discuteranno le possibili tecniche per affrontare i casi aperti.

Enunciata negli anni '50 del secolo scorso per una varietà compatta di Kaehler, la congettura di Calabi è stata dimostrata circa venti anni dopo da Shing-Tung Yau, il quale ha costruito metriche di Kaehler Ricci piatte su varietà compatte con fibrato canonico banale. Tali varietà prendono il nome di varietà di Calabi-Yau e in dimensione complessa uno o due sono tutte diffeomorfe. Al contrario, in dimensione tre non è nemmeno noto se il valore assoluto della loro caratteristica di Eulero è limitato. Se una soluzione a questo problema sembra ancora molto difficile, ha senso porsi la stessa domanda per le varietà log Calabi-Yau. Una volta ricordata la loro definizione nel corso del seminario, mostreremo una costruzione, realizzata in collaborazione con il dott. Filippo F. Favale, di una famiglia numerabile di varietà log Calabi-Yau, per cui l'insieme delle rispettive caratteristiche di Eulero è illimitato inferiormente.