Colloquio di Dipartimento

Se f(x) è un polinomio monico complesso di grado n a radici distinte, allora esiste un'unica matrice A, a meno di coniugio, il cui polinomio caratteristico è f(x). Data una successione finita A = (A_1, . . . , A_r) di matrici complesse n per n possiamo definire il polinomio caratteristico p_A in r variabili come det(I_n + x_1A_1 + . . . + x_rA_r). Fino a che punto p_A determina la r-upla A? Presenterò dei risultati su questa questione ottenuti in collaborazione con Zinovy Reichstein.

In 2010 Caffarelli, Roquejoffre & Savin started the study of nonlocal minimal surfaces, that is, of hypersurfaces in Euclidean space with zero nonlocal mean curvature. This is the equation associated to critical points of the fractional perimeter. Among other motivations (such as image processing), they are relevant in phase-transition phenomena in the presence of long range interactions. Since their introduction, nonlocal minimal surfaces have attracted much attention, first and foremost to understand their regularity and to make progress towards their classification. We will describe the results obtained up to date, as well as the remaining open problems. As we will see, there is a remarkable resemblance with the classical theory of minimal surfaces.

In this survey lecture, modelled in large part on the ICM2018 one, I will illustrate the most recent developments on calculus in metric measure spaces and the key role played by the theory of optimal transport in the derivation of synthetic lower bounds on Ricci curvature and upper bounds on dimension, for metric measure structures. If time permits, I will also illustrate the emerging role of optimal transport and gradient flows in the field of machine learning.

In recent years great progress has been made in the study of dispersive and wave equations. Over the years the toolbox used in order to attack highly nontrivial problems related to these equations has developed to include a variety of techniques from Fourier and harmonic analysis, analytic number theory, math physics, dynamical systems, probability and symplectic geometry. In this talk I will introduce a variety of problems connected with dispersive equations, such as the derivation of a certain nonlinear Schrodinger equations from a quantum many-particles system, periodic Strichartz estimates, the concept of energy transfer, the invariance of a Gibbs measure associated to an infinite dimension Hamiltonian system and, if time allows it, non-squeezing theorems for such systems when they also enjoy a symplectic structure.

Harmonic analysis is intimately related with martingale estimates. But there is another type of discrete analysis, namely, harmonic analysis on Hamming cube (the math. foundation of Big Data science) that seemed to be disjoint from this relationship. We show how many classical (and some new) estimates on Hamming cube follow from martingale estimates. We also show why this is related to solving certain non-linear PDE of Monge--Amp\`ere type and what are the relations with classical inequalities in Gaussian spaces. Our Monge—Amp\’ere equation will naturally bring us to ancient solutions of heat equation. On Hamming cube Monge—Amp\’ere should be discretized accordingly. But how? There are so many different ways to discretize PDE. We will show one way that seems to be often the right one and that ties harmonic analysis estimates of martingales with Poincar\’e type estimates on Hamming cube.

COLLOQUIO DI DIPARTIMENTO C’è una rivoluzione in corso, la rivoluzione digitale: la quantità di dati che produciamo raddoppia ogni anno; nel 2016 abbiamo generato tanti dati quanti ne erano stati prodotti nell’intera storia dell’umanità fino al 2015. Con IoT (Internet of Things) entro 10 anni avremo 150 miliardi di sensori connessi in rete, 20 volte più che il numero di persone sulla Terra. Allora la quantità di dati raddoppierà ogni 12 ore. È la quinta rivoluzione dell’IT: dopo i grandi computer, i pc, internet e il web 1.0, i cellulari e il web 2.0, i Big Data – una rivoluzione dovuta allo tsunami di dati, dove tutto quello che facciamo lascia una traccia digitale. Una rivoluzione paragonabile a quella avvenuta con l’invenzione della stampa. I bits faranno molto più di quanto i caratteri mobili di Gutenberg abbiano fatto in termini di spostamento degli equilibri del potere e di trasferimento della conoscenza dalle mani di pochi a comunità sempre più allargate. L’intelligenza artificiale sta facendo progressi impensati, soprattutto attraverso l’analisi dei dati. L’AI non si programma più riga per riga, ma è ora capace di imparare e di automigliorarsi continuamente: sono ormai standard algoritmi in grado di completare compiti che richiedono ‘intelligenza’ meglio degli uomini. Fra il 2020 e il 2060 i super-computer sorpasseranno le capacità umane in moltissime aree. In questo quadro, da un lato i Big Data dall’altro l’AI impongono compiti di manipolazione dei dati che sono strenui sia per la computer science (nuovi paradigmi computazionali; computazione interattiva; la sfida del 'beyond Turing') che per la 'data analytics' (nuove metodologie di approccio al 'data mining'; analisi dei dati topologica; inferenza causale non lineare) per affrontare problemi complessi, nelle scienze di base (scienze della vita, clima, scienze della terra, …) come in quelle sociali, con la data science (A.I., data mining, machine learning, deep learning, teoria topologica del campo dei dati) e la scienza della complessità (teoria delle reti). Ne segue la necessità di una nuova, forte alleanza che combinando metodi e conoscenze della fisica statistica, della matematica, della computer science permetta alla scienza di affrontare in modo vincente questa sfida epocale. Mario Rasetti è Professore Emerito di Fisica Teorica al Politecnico di Torino ed è Presidente di ISI Foundation, Torino e ISI Global Science Foundation, New York.