Topics in Mathematics 2018/2019

In recent years, dynamic conditional score-driven (DCS) models have attracted lot of interest in Economics, Finance, and Econometrics. However, their potential extends far beyond. The reason lies in the simplicity of the approach to time-series modelling and the easiness in parameter estimation. After presenting some motivating examples, in the first part of the talk I review the main theoretical properties of DCS models and discuss the flexibility of the approach in empirical applications. In the second part, I detail an application to high-frequency financial data. The approach has proved to be very effective in disentangling the fundamental price dynamics from micro-structure noise and in recovering the seasonal behaviour of prices at intra-day level.

In this talk we discuss some recent results for a class of nonlinear models in Quantum Mechanics. In particular, in the first lecture we review some general results concerning the nonlinear Schroedinger equation; while in the second lecture we discuss in detail an explicit model: the one-dimensional nonlinear Schroedinger equation with a symmetric double-well potential.

Da uno spazio vettoriale V si ricava il sistema dei sottospazi lineari L, ordinato per inclusione, e l'anello degli endomorfismi R. Escludendo dim(V)<3, e con cura se dim(V)=3, seguendo von Staudt da L si ricostruisce V, e seguendo Birkhoff / Menger si caratterizza L, ma NON si ha una equivalenza. Generalizzando a moduli (o oggetti abeliani) V tali che ogni endomorfismo ha nucleo e immagine sommandi diretti, seguendo von Neumann si ha una equivalenza tra R e L, che si caratterizzano come anelli con inversa generalizzata (ogni x ha un y tale che xyx=x) e reticoli modulari complementati, con un sistema di unità matriciali di ordine n>2 in R e una base omogenea di ordine n in L (arguesiano se n=3). Il contesto generale chiarisce che V si ricostruisce solo a meno di equivalenze di Morita. L'equivalenza di von Neumann è archetipica per studiare altri casi. Due sono notevoli: [1] Partendo da uno spazio di Hilbert H, si ha una equivalenza tra gli anelli con involuzione A di operatori lineari continui tali che A=A'' (dove X' indica l'anello degli operatori che commutano con ogni x in X) e gli associati poset con involuzione P(A) delle proiezioni (idempotenti autoaggiunti, ordinati per divisibilità ef=e, con 1-e ortocomplemento di e), sempre escludendo i casi in cui una immagine omomorfa sia del tipo escluso sopra per V. Per i fondamenti logici della meccanica quantistica (i casi esclusi hanno intepretazione logico - quantistica della loro esclusione), von Neumann era particolarmente interessato al sottocaso indecomponibile (e=0,1 le uniche proiezioni che danno una decomposizione diretta) e ``finito'' (xy=1 implica yx=1 in A, ovvero P(A) modulare): von Neumann caratterizza P(A) come geometria continua con ortogonalità che permette libera mobilità e univocamente determina una probabilità di transizione; A è l'anello degli elementi limitati (sottoanello generato dalle proiezioni) dentro l'anello R associato a L=P(A). [2] Altri tipi di moduli (o oggetti abeliani) V ammettono una equivalenza come sopra, per esempio il caso di Baer - Inaba - J\'onsson / Monk dei moduli su anelli artiniani a ideali principali, caso che include i gruppi abeliani finiti e gli spazi vettoriali finito dimensionali con l'azione di una trasformazione lineare o antilineare. Se l'equivalenza per un singolo V è rara, accade invece sempre che una catagoria abeliana di vari V si ricostruisca dal reticolo associato. Il risutato finale (combinando Freyd - Mitchell per categorie abeliane e il teorema di G. Hutchinson per i reticoli) è che tre teorie in tre diversi linguaggi permettono di fare le stesse cose: (algebra lineare classica) moduli su un anello (algebra lineare moderna) categorie abeliane (geometria d'incidenza sintetica moderna) reticoli modulari con 0 in cui gli elementi sono raddoppiabili: $\forall x\exists y,z$: $x\vee y=y\vee z=z\vee x$ & $x\wedge y=y\wedge z=z\wedge x=0.$

This talk is devoted to the topic of subdivision schemes, a special class of iterative methods for generating continuous curves and surfaces via the recursive application of suitable local refinement rules to a coarse initial set of prescribed control points. Due to their efficiency and simplicity of implementation, subdivision schemes are ones of the most used representation models in computer graphics and animation. Recently, they have shown their usefulness also in different areas of application like biomedical imaging and isogeometric analysis. Important tools for both the construction of linear subdivision schemes and the analysis of their properties are provided by classical numerical linear algebra techniques or adequate modifications of them. In particular, the construction of interpolatory subdivision schemes capable of generating curves and surfaces that pass through the initial set of prescribed control points, relies on algebraic strategies that differ according to the symmetry properties of the underlying refinement rules. The goal of this talk is to show some of the constructive strategies proposed in the literature for the subclass of stationary, odd- and even-symmetric, interpolatory subdivision schemes of arbitrary arity.

Il seminario si pone lo scopo di presentare il problema di switching (commutazione) ottimale e alcune delle tecniche per risolverlo, sia quelle più classiche sia altre che sono state introdotte solo recentemente. Inizialmente verrà formulato il problema per un'equazione differenziale stocastica controllata, governata dal moto Browniano. Si considererà dapprima l'approccio basato sulla programmazione dinamica e le equazioni di Hamilton-Jacobi-Bellman, che in questo caso costituiscono un sistema di equazioni differenziali a derivate parziali accoppiate per mezzo di una condizione di ostacolo. In seguito si passerà a considerare una tecnica più probabilistica basata sulle equazioni differenziali stocastiche "backward": anche in questo caso si tratta di un sistema con condizioni di riflessione. Verrà presentato anche un approccio alternativo basato su una singola equazione con un vincolo di tipo differente. La presentazione sarà di tipo pedagogico ma avanzata. In particolare il problema di arresto ottimale verrà presentato come un caso più semplice per introdurre il caso di switching generale.

È matematicamente certo. Fate l’ipotesi che voi siate matematici e il vostro partner sia, per esempio, neurochirurgo. Vi presentate a cena, con un gruppo di nuovi amici. Fate quattro chiacchiere e dopo un po’ viene fuori che siete un ricercatore in matematica. Un attimo di sconcerto, sguardi di divertito stupore, e poi vi chiedono: «ma perché, cosa c'è da ricercare, in matematica?» Guardandosi tra loro, insistono: «non è già tutto scoperto?» E sicuramente almeno uno affermerà, con orgoglio: «io, la matematica, non l'ho mai capita!» Ma il peggio è che, mentre voi cercate di spiegare cosa mai giustifichi il vostro, peraltro misero, stipendio, i commensali scopriranno la professione del vostro partner. Fine dei vostri tre minuti di protagonismo: con sguardo stavolta sognante, il vicino di tavola si rivolgerà alla vostra metà, innanzi tutto convinto di essere in grado di intavolare una conversazione su argomenti di comune interesse, poi mentalmente calcolando il suo stipendio assolutamente rispettabile, per poi perdersi definitivamente dietro al fascino che il camice bianco evoca nella mente di chiunque. Voi scomparirete inesorabilmente, a far compagnia a ricordi tendenzialmente sgradevoli di numeri, equazioni, formule e simili inutilità. Insomma, nell'immaginario comune, il medico è un’attrazione, il matematico è un nerd. Sottili varianti si possono ottenere sostituendo a vostro piacimento "neurochirurgo" con “ingegnere elettronico", "magistrato", "architetto", "promotore finanziario", "biologo marino" e, addirittura, "fisico". C’è poco da fare, esiste un problema di rappresentazione della matematica e dei matematici nell’immaginario popolare, ed è un problema serio. In questo seminario ci proponiamo di chiarirne i termini, provando anche a esplorare possibili soluzioni. Purtroppo, anche alla fine di questa chiacchierata, non sarà ancora chiaro se queste esistano: in caso positivo, però, sappiamo già che certamente non saranno uniche!

Matroids axiomatise the notion of linear dependence for a list of vectors. While the applications to computer science and optimization are known since long time, surprising interactions of matroid theory with algebra and algebraic geometry were recently discovered, leading to the proof of important combinatorial conjectures and to the introduction of new matroids invariants. In the first part of the talk I will give an elementary introduction to the topic, focusing on examples arising from graphs and from families of hyperplanes in a vector space.​ In the second part of the talk I will show that the set of (isomorphism classes of) matroids has a natural structure of Hopf algebra. Then I will introduce a class of matroid-like objects, called minor systems, and describe the related bialgebras. This machinery allows to give rise to a wide number of invariants, old and new. (Partially based on joint work with Alex Fink and Clement Dupont)

Market impact is the response of prices to trades and is a fundamental quantity to understand how supply and demand affect price, but also an important component of transaction costs. In this talk, I introduce the still open problem of mathematical modeling of market impact in a way which is consistent with data but also lacking dynamical arbitrage opportunities. I review some models proposed in the mathematical finance literature and discuss their comparison with data, deriving necessary conditions for the absence of dynamical arbitrage. I then focus on the optimal execution problem in continuous and discrete time, deriving the solution under different specifications of the impact model and of the chosen benchmark.

We will introduce the basic tools for the topological methods in critical points theory: the Palais-Smale compactness condition and the deformation lemma. Starting from the finite dimensional case, we will illustrate how the minimax argument works. Eventually, we will show some applications to problems in infinite dimensional setting.

Determining secant varieties (i.e. varieties which are the union of secant lines, planes, etc.) for a given projective variety X is a classical problem in Algebraic Geometry. When X is a Segre Variety, its secant varieties parameterize tensors with assigned tensor rank, and their study is related to the study of tensor decompositions, a quite relevant issue in applied math. In a similar way, secant varieties of Veronese varieties are related to symmetric tensors. In this talk a sketchy view of the state of the art on these problems will be given.

La comparsa e la rapida evoluzione dei software di dimostrazione interattiva aprono nuovi scenari nell'impiego, nello sviluppo e nella comunicazione della Matematica. Nella prima parte del seminario si cercherà di fornire un'introduzione generale all'argomento e di dare conto dello stato dell'arte di questa disciplina emergente. Nella seconda parte verrà presentato uno sviluppo dell'analisi quaternionica con il sistema di dimostrazione interattiva HOL Light.