Seminari di Fisica Matematica

Il teorema classifica la distribuzione delle somme parziali di un modello di spin interagenti ad $n$ specie nel limite termodinamico. In particolare mostra sotto quali condizioni tale distribuzione sia un sistema gaussiano e ne calcola la covarianza, che risulta essere legata alla matrice di suscettivit`a del modello.

One period portfolio optimisation is investigated by using and comparing several cost functions which measure the portfolio risk as the classical volatility, the conditional VAR, the expected short-fall. We set up a Monte Carlo simulation of prices of a given asset system for the next 3 years, based on the historical multivariate distribution of price fluctuations. One period optimisation is then repeated at the beginning of each year: a strategy is the choice of an optimal portfolio at each of these times. There are several strategies leading to a given final expected return and among these we choose the ``best strategy'' as the one with minimum risk as measured by the realized value of the chosen cost function on the simulated piece of the time-series.

In questo seminario, il primo punto sarà l'introduzione dei concetti fondamentali nello stato dell'arte dell'immunologia teorica ed una piccola digressione storica sul loro sviluppo, enfatizzando le due prospettive principali: la teoria della selezione clonale di Burnet e la teoria della rete idiotipica di Jerne. Secondo punto sarà scoprire che molti dei comportamenti manifestati dal sistema immunitario sembrano proprietà emergenti, ben descrivibili in meccanica statistica: ad esempio l'esistenza di una tolleranza alla stimolazione antigenica, la capacità di memoria delle infezioni passate ed il riconoscimento tra il self ed il non-self. Terzo punto sarà quindi l'introduzione di un modello minimale per provare a ritrovare queste caratteristiche universali del sistema immunitario come diversi aspetti di una semplice teoria, che conglobi in sè i due approcci separati di Burnet e Jerne in una prospettiva piu' generale. Quarto punto sarà l'applicazione predittiva del modello: nello specifico proveremo ad inquadrare la disfunzione immunitaria "CFS" come un riflesso di Pavlov del sistema immunitario offrendo un panorama completamente nuovo nel campo della ricerca delle sindromi post-virali.

Si studiano le proprietà statistiche delle correlazioni quantistiche (entanglement) in un grande sistema quantistico. Utilizzando i metodi della meccanica statistica in un approccio canonico, si introduce una funzione di partizione ad una temperatura fittizia che fissa il valore dell'entanglement, e si traduce il problema in termini della distribuzione degli autovalori di matrici random. Si riesce così a mostrare la presenza di due transizioni di fase associate a cambiamenti strutturali della distribuzione degli autovalori e la presenza di una fase metastabile descrivibile con una meccanica statistica di superfici random.

Recent research has identified scaling regularities in the temporal distribution of events such as earthquakes, wind gusts, and e-mail submissions. These studies consistently report bursty deviations both from random and regular processes, and together suggest the existence of a dynamic counterpart to the long-known scaling laws in magnitude and frequency distribution (e.g., Gutenberg-Richter's law and Zipf's law). In this talk I will report on our recent investigations of the temporal distribution of words. We found that the distribution of distances between successive occurrences of the same word display bursty deviations from a Poisson process and are well characterized by a Weibull scaling. We found that the burstiness of words depends more strongly on their semantic type than on their frequency of occurrence. Finally, we propose a simplified generative model that explains our main observations and fully determines the dynamics of word usage. As an outlook, I will discuss some analogies and differences to the problem of recurrence of extreme events in long-range correlated time series, where similar Weibull distributions were recently reported by the physics community.

In this talk the ethical and, overall, practical difficulties for the development of methods to support plagiarism detection. We have worked on this topic during the last 2 years and an overview of our work will be presented including an analysis of the 1st International Competition on Plagiarism Detection. Additionally, an overview of the research we are carrying on at the NLEL-UPV will be discussed.

To plagiarize is to take the credit for another person's work. In the case of text, to plagiarize means including text fragments (and even entire documents) from other people in a document without giving the corresponding credit. Considering the volume of scientific and cultural information available on Internet, the temptation to take a shortcut and plagiarize is high. Due to this fact, it is highly relevant to develop methods that assist the detection of this text misuse. Automatic plagiarism detection is based on different techniques of Information Retrieval and Extraction as well as Pattern Recognition and Information Theory. It has received special attention in the last years due to the possibility of generating efficient mechanisms for the detection of plagiarism cases. The production of this kind of resources could minimise the temptation to plagiarize. In this talk an overview of some of the state-of-the-art in automatic plagiarism detection is presented. Special attention is paid to some of the techniques designed in the Natural Language Engineering Lab at the Technical University of Valencia.

Si descrive una nuova rappresentazione del Propagatore per l'equazione di Schrödinger, con lo scopo di estendere in modo naturale la nota costruzione WKB e chiarire diversi aspetti locali e globali del problema non trattati in letteratura. A tal fine, viene utilizzata una famiglia di Operatori Integrali di Fourier globalmente definiti nello spazio e nel tempo, dove la funzione di fase corrisponde ad una funzione generatrice globale del grafico del flusso Hamiltoniano, anche per tempi arbitrariamente grandi. Inoltre, uno studio dettagliato delle proprietà di tale funzione permette di effettuare un'analisi semiclassica locale del Propagatore legata alla geometria a multivalori del grafico

Si consideri il flusso lineare sul toro $l-$dimensionale a frequenze diofantine, sottoposto ad una perturbazione analitica che soddisfa l'ipotesi di Russmann. Si dimostra la convergenza uniforme rispetto alla costante di Planck della corrispondente forma normale quantistica. Conseguenze di questo risultato sono: 1. Una formula di quantizzazione esatta per gli autovalori dell'operatore di Schr"odinger corrispondente; 2. Un criterio di convergenza esplicito per una classe di forme normali classiche del tipo di Birkhoff.

Con quale velocità una traiettoria tipica di un sistema dinamico si avvicina ad un punto dato? Quanto tempo necessita per colpire un dato bersaglio (piccolo)? Questo tipo di questioni e' stato studiato in diversi casi di interesse geometrico (flusso geodetico in curvatura negativa) o in teoria dei numeri (approssimazione diofantina). Vedremo come questo tipo di domande sono collegate a questioni aritmetiche ma anche a proprieta dinamiche del sistema sottostante. In particolare vedremo che se il sistema ha decadimento veloce delle correlazioni questo e' sufficiente per dimostrare che il tempo di entrata in bersagli piccoli ha lo stesso comportamento di scala dell inverso della misura dei bersagli stessi (logarithm law). Applicheremo il risultato a flussi simili a quello famoso di Lorenz.

I sistemi di particelle interagenti costituiscono modelli fondamentali per la descrizione delle proprieta' di trasporto in meccanica statistica del non-equilibrio. In alcuni casi - come quello dei Processi di Esclusione in cui le particelle interagiscono con interazione "hard-core" - la conoscenza esplicita della misura stazionaria ha permesso di stabilire nuovi interessanti fenomeni, come ad esempio l'esistenza di transizioni di fase in una dimensione. Durante il seminario verra' introdotta una nuova classe di modelli (Processi di Inclusione) in cui l'interazione fra le particelle e' attrattiva. Le correlazioni dello stato stazionario veranno discusse attraverso la costruzione di un processo stocastico duale. Piu in generale si introdurra' la nozione di dualita' per un processo stocastico Markoviano e si illustrera' la relazione tra la costruzione di un duale e le simmetrie del generatore del processo. Nel caso specifico del Processo di Inclusione (cosi come in quello di Esclusione) tali simmetrie risultano legate all'esistenza di una struttura di gruppo.

Nel caso di Dirac attrattiva, il mare va in salita e lo stato decade. La somma di Borel distribuzionale funziona! Si considera l'oscillatore armonico relativistico. L'equazione di Dirac unidimensionale si risolve con la somma di Borel distribuzionale per energie complesse di stati metastabili. Nei casi di dimensione 2 e 3 le cose sono molto piu` complicate per la presenza di termini centrifughi dipendenti dal momento angolare totale. Metodo Findus: si puo` avere la somma di Borel congelando il parametro che compare in modo singolare.

In questo seminario si studieranno le proprietà statistiche di reti Hebbiane associative in cui le sinapsi non assumono valori discreti (come nel modello di Hopfield standard) ma variano sull'asse reale con un opportuno peso. La motivazione biologica è data dall'esistenza di due diversi tipi di sinapsi nei vertebrati superiori, le elettriche e le chimiche che, nel formalismo della meccanica statistica, saranno trattare rispettivamente come digitali ed analogiche. La motivazione matematica è invece capire l'esistenza o la rottura di universalità (ben nota per il modello di Sherrington-Kirkpatrick) per questa classe di modelli disordinati. Il seminario avrà una breve introduzione alla fenomenologia e strutturazione della rete neurale in generale e riassumerà, senza dimostrazioni, la teoria di Amit, Gutfreud e Sompolinsky e le loro tecniche sulle reti digitali. In seguito si introdurranno le reti analogiche, che saranno risolte, con dimostrazioni in quanto ricerca nuova, tramite tecniche interpolanti nello scenario della meccanica statistica dei sistemi complessi. Una discussione delle loro applicazioni sarà presentata tempo permettendo.

I metodi della teoria del potenziale applicati all'analisi dei sistemi metastabili permettono, in varie situazioni d'interesse, di stimare le quantità che caratterizzano il comportamento metastabile di un dato sistema. Attraverso tale approccio i tempi metastabili medi, ovvero i tempi necessari affinchè il sistema si sposti da un minimo locale ad un altro minimo, possono essere espressi tramite la capacità di insiemi metastabili corrispondenti. Tale capacità può essere ben approssimata grazie all'applicazione di due diversi principi variazionali che la caratterizzano e ne forniscono una stima. Dopo aver richiamato risultati e tecniche principali, verrà descritto un nuovo metodo che permette di accoppiare la dinamica all'interno delle valli di potenziale. Sotto opportune ipotesi, si mostrerà come tale metodo permetta di dedurre stime puntuali e leggi esponenziali per i tempi metastabili. L'esempio di riferimento sarà il modello di Curie-Weiss con campi esterni casuali.

Gli operatori di Toeplitz sono la contrazione di operatori pseudodifferenziali con un nucleo di Szego, ossia con un proiettore ortogonale su uno spazio di Hardy; essi pertanto presuppongono una struttura di Toeplitz, che è una generalizzazione della nozione di dominio strettamente pseudoconvesso. In particolare, una classe naturale di strutture di Toeplitz è data dai fibrati in cerchi unitari di fibrati in rette positivi (ampi). Una motivazione per lo studio degli operatori di Toeplitz viene dalla quantizzazione geometrica, in quanto tali operatori sono candidati naturali per la quantizzazione di un'osservabile classica, rappresentata da una funzione liscia sulla varietà simplettica di base. In questo seminario discuteremo alcune proprietà asintotiche degli operatori di Toeplitz: la legge di Weyl e come nel caso equivariante le autofunzioni associate a famiglie di bande spettrali tendono a concentrarsi sulla regione attesa nello spazio delle fasi.

Si discutono alcuni risultati rigorosi, e in parte congetturati, sul comportamento semi-classico asintotico in meccanica quantistica e in modelli fluidodinamici, sulla base di recenti teoremi in teoria KAM debole.

A classical result of Bunimovich, Sinai, and Chernov is that the sum of the displacements between successive collisions in the periodic Lorentz gas satisfies a central limit theorem. We study the fluctuations of order 1 for such averages and prove that they satisfy a large deviation principle. We will also discuss some applications to nonequilibrium statistical mechanics (thermostatted Lorentz gas). This is joint work with Lai-Sang Young (Courant Institute).

Quantum annealing (QA) attracts much attention as a novel algorithm for optimization problems. This method is based on the adiabatic theorem of quantum mechanics. The non-trivial target state is expected to be obtained from the trivial initial state after the adiabatic evolution. In this talk, we propose faster annealing schedules for QA with finite evolution time. It is known that an error rate of the adiabatic evolution is inversely proportional to the square of the annealing time when the Hamiltonian depends linearly on time. We show that the upper bound of the first-order term of the error rate is determined only by the information at the initial and final times. Our new annealing schedules drop this term, thus bring a faster rate of the error decrease.

Si studia l'effetto del rumore sull'evoluzione di sistemi dinamici discreti. Per tutta una classe di mappe caotiche (Bernoulli, Hénon, Baker), regolari (identità), e con comportamento intermedio (standard map) definiamo la mappa perturbata aggiungendo del rumore bianco additivo. L'effetto del rumore su queste mappe può essere analizzato studiando il decadimento della fidelity, ovvero dell'integrale del prodotto di due osservabili evolute una tramite la mappa esatta e l'altra tramite quella perturbata a cui viene sottratto il prodotto degli integrali delle stesse osservabili. Tramite metodi analitici (per l'identità e la mappa di Bernoulli) e numerici si studiano le proprietà che caratterizzano il decadimento della fidelity in una mappa regolare ed in una caotica, e si studia il legame tra la fidelity e la distribuzione di probabilità degli errori (distanza tra la posizione evoluta con la mappa esatta e quella evoluta tramite la mappa perturbata). La stessa analisi si ripete per una classe di mappe perturbate di natura differente, ovvero le mappe evolute tramite l'algebra a precisione finita del calcolatore, esaminando in quali situazioni l'errore ottenuto utilizzando il calcolatore possa essere considerato equivalente al rumore additivo.

In questo seminario si discutera` di tasse universitarie e del fatto che queste vengono generalmente fissate come funzione dell'anno d'iscrizione dello studente. La tesi che si propone e` che, se si aumentassero le tasse per studenti fuori corso, la percentuale dei laureati fuori corso si ridurrebbe. Usando un metodo chiamato Regression Discontinuity Design su dati dell'Universita` Bocconi, si mostra che un aumento di 1000 euro sulla tassa d'iscrizione per studenti fuori corso riduce la probabilita` di laurea fuori corso del 9.9%, rispetto ad un benchmark di probabilita` media dell'80%.

Intendo presentare una modellizzazione del comportamento dei materiali a memoria di forma originariamente introdotta da Souza et al. (1998) e successivamente precisata ed applicata da Auricchio et al. (2002). Commenterò le caratteristiche di base di questo modello (tridimensionale, fenomenologico, a variabile interna) e ne mostrerò qualche validazione sperimentale. Quindi presenterò qualche possibile estensione del modello nella direzione della descrizione di fenomeni più fini quali plasticizzazione residuale (fatica funzionale), comportamenti asimmetrici, e parametri materiali dipendenti dal livello di trasformazione.

Due to spectral instability the eigenvalues of non-self-adjoint differential operators are often highly unstable under small perturbations. There are now several results stating that when we add a small random perturbation, we get Weyl asymptotic distribution of eigenvalues, with probability close to 1 in the semi-classical limit, and almost surely in the limit of large eigenvalues. Moreover the bounds on the resolvent tend to improve under the action of such perturbations. We describe some of these results, due to M. Hager, W. Bordeaux-Montrieux, and the speaker, as well some underlying ideas and proofs.

La scelta e la selezione di opportune caratteristiche di un segnale giocano un ruolo fondamentale nei metodi di classificazione automatica dei brani musicali. La necessita' inoltre di estrarre informazioni percettive direttamente dai segnali sonori e' diventata una necessita', anche in seguito all'esplosione di database digitali e dei metadati correlati. Un approccio basato sulla generazione dinamica di "features" e' stato recentemente proposto per esplorare e costruire nuovi classificatori automatici. In questo seminario intendiamo presentare una panoramica sull'argomento e discutere i recenti sviluppi matematici ed algoritmici.

La nozione di mixing per sistemi dinamici che preservano una misura di probabilità è un concetto puramente probabilistico. Come tale, esso è difficilmente (se non impossibilmente) trasportabile al caso di misure invarianti infinite. Il problema di dare una buona definizione di mixing in teoria ergodica infinita è stato toccato forse per la prima volta da Hopf nel 1937, ma è solo negli anni '60 che la questione è stata studiata con una certa intensità. L'approccio del tempo era quello di arrivare ad una definizione astratta e completamente generale che si adattasse praticamente a tutti i sistemi dinamici di misura infinita. Il fallimento di tale approccio ha portato Aaronson, nel 1997, a scrivere che "non esiste nessuna ragionevole generalizzazione della definizione di mixing [in misura infinita]". In questo seminario si vuole riaprire la questione, non per dare una definizione generale, ma per mostrare come alcune idee prese in prestito dalla meccanica statistica (che di sistemi infinitamente estesi si occupa da più di un secolo) possono aiutare a dare definizioni che, se opportunamente adattate e precisate di caso in caso, hanno un senso fisico/geometrico molto valido e intuitivo. Fra queste idee, quella di limite di volume infinito (o limite termodinamico) e quella di osservabile microscopico o macroscopico.

I voli di Lévy rappresentano un'ampia classe di cammini casuali. In particolare, al contrario del celebre moto browniano, questi includono la possibilità che la distribuzione della lunghezza dei passi abbia un secondo momento divergente e che quindi l'usuale teorema del limite centrale non sia più valido. I voli di Lévy, fin dalla loro introduzione, hanno trovato vasta applicazione nelle discipline più disparate: econometria, geologia, idrologia e astronomia. In questo seminario presenteremo la realizzazione e la caratterizzazione di un sistema ottico disordinato (denominato "vetro di Lévy") dove la luce presenta un regime di trasporto superdiffusivo ben descrivibile tramite cammini di Lévy.

We explore the connection between semi-classical and quantum Birkhoff canonical forms for Schroedinger operators. In particular we give a "non-symbolic" operator theoretic derivation of the quantum Birkhoff canonical form (BCF) and provide an explicit recipe for expressing the quantum BCF in terms of the semi-classical BCF.

L'idea di modellizzare un sistema economico, o socio-economico, come un sistema fisico complesso utilizzando gli strumenti della fisica statistica ha avuto origine in tempi relativamente recenti in risposta a diversi problemi posti dall'economia, specialmente in ambito finanziario, quali la formazione di code di potenza nelle distribuzioni di ricchezza. Da un punto di vista matematico la trattazione risulta spesso insufficiente e le conclusioni lasciate ai risultati di simulazioni numeriche dirette del comportamento degli agenti economici prive di fondamento teorico. L'utilizzo di modelli mesoscopici, derivati in analogia con la teoria cinetica dei gas e descritti da opportune equazioni differenziali, permette di studiare il comportamento asintotico del sistema e di determinarne analiticamente soluzioni autosimilari. Questo consente una migliore comprensione di processi quali la creazione di code di potenza e fornisce una solida base teorica sulla quale costruire eventuali metodi numerici.

Verra' introdotto il sistema di Hitchin, un sistema completamente integrabile algebrico che sorge naturalmente dalla considerazione delle soluzioni invarianti per traslazione delle equazioni di Yang Mills, e verranno discusse alcune delle ragioni per cui tale sistema ha assunto una posizione centrale in molta matematica attuale. (il seminario durera` 90 minuti con pausa intermedia)

In questo seminario presentiamo un risultato ottenuto in collaborazione con A. Sarti relativo alla geometria della corteccia visiva primaria. Si verifica sperimentalmente che le cellule semplici dispari della corteccia visiva primaria sono in grado di estrarre in ogni punto dell'immagine non solo la posizione e l'intensita' di colore ma anche la direzione dei bordi degli oggetti. La relazione differenziale fra queste grandezze induce nell'insieme di queste cellule una struttura di contatto. Alla luce di questa struttura si possono giustificare alcuni ben noti fenomeni di percezione, come il completamento di contorni e la formazione di superfici soggettive.

The fluctuations in nonequilibrium systems are under intense theoretical and experimental investigation. Topical ``fluctuation relations'' describe symmetries of the statistical properties of certain observables, in a variety of models and phenomena. They have been derived in deterministic and, later, in stochastic frameworks. After presenting an introduction of the fluctuation theorems for the transient response and the steady state, we present and discuss recent exact results for the behavior of thermodynamic fluctuations out of equilibrium. The convergence properties of different thermodynamic and dynamic measures, as well as the physical mechanisms underlying this behavior, will also be discussed.

We study the spectral projection associated to a barrier-top resonance for the semi-classical Schroedinger operator. First, we prove a resolvent estimate for complex energies close to such a resonance. Using this estimate and an explicit representation of the resonant states, we show that the spectral projection has a semi-classical expansion in integer powers of h and compute its leading term. We use this result to compute the residue of the scattering amplitude at a resonance. We also give an expansion of the Schroedinger group in terms of these resonances.

vedi pagina: http://www.dm.unibo.it/seminariFM/sfm081027.pdf

Contrariamente alla versione fuori dall'equilibrio del gas di Lorentz (biliardo con ostacoli dispersivi, campo elettrico e termostato Gaussiano), la possibilità di trovare un attrattore caotico (nel senso descritto dall'esponente di Lyapunov) nella versione fuori dall'equilibrio del gas di Ehrenfest (biliardo con ostacoli poligonali a forma di rombo, campo elettrico e termostato Gaussiano) costituisce un problema aperto. In questo seminario verranno presentate investigazioni numeriche le quali supportano l'idea che in tale modello possano esistere stati stazionari caotici e regolari, con una sensibile e peculiare dipendenza dalla magnitude del campo elettrico e dai parametri della geometria. Verrà inoltre introdotta la tecnica del flusso di Weyl come attuale tecnica dimostrativa di caoticità nei biliardi e la sua applicazione a lavori attualmente in progresso.

In questo seminario verrà presentato il modello degli oscillatori coulombiani bidimensionali. Tale sistema, oltre a manifestare tutta la ricca fenomenologia tipica dei sistemi con interazioni a lungo raggio, descrive alcuni aspetti della dinamica trasversa di un fascio di particelle cariche ad alta intensità confinato in un acceleratore. Nella prima parte del seminario verranno presentati risultati relativi alla dinamica di campo medio del sistema fuori dall'equilibrio termodinamico. In particolare ci occuperemo del processo di equipartizione "dinamica" (o violent relaxation) e dello studio dei modi normali del sistema ottenuti risolvendo l'equazione di Vlasov-Poisson. Nella seconda parte verrà presentato uno studio numerico dettagliato del processo di rilassamento all'equilibrio termodinamico ottenuto integrando le equazioni del moto per l'hamiltoniana N-body, assieme ad alcune leggi di scala ottenute teoricamente tramite la teoria fenomenologica di Landau. Verrà presentata anche un'analisi preliminare del noise stocastico associato alle collisioni coulombiane nel tentativo di migliorare la teoria di Landau includendo le collisioni hard. La terza ed ultima parte del seminario sarà dedicata alla descrizione dell'interplay tra effetti collettivi (campo medio) ed effetti collisionali. In particolare verrà presentato il processo di trapping nelle risonanze ed il conseguente processo di equipartizione misto dinamico-termodinamico.

In questo seminario si proveranno ad esporre recenti sviluppi dei metodi di cavità per i sistemi di campo medio definiti sul reticolo. Con l'ambizioine di presentare più tecniche possibile si sceglierà come modello da esaminare il paradigmatico e semplice Curie-Weiss. La "cavità interpolante" sarà usata per risolvere l'energia libera del modello. La criticalità del sistema e la rottura di ergodicità saranno discusse. Tramite un'analogia con la meccanica analitica, si proverà a mostrare come la meccanica statistica del modello Curie-Weiss sia interamente descrivibile mediante un'opportuna azione, nella formulazione di Hamilton-Jacobi e sfruttando la teoria delle simmetrie di Noether. Alla fine si discuterà sullo stato dell'arte della meccanica statistica nei modelli con disordine quenched sia nelle interazioni che nella topologia e sulle sue possibili ed attuali applicazioni.

http://www.dm.unibo.it/fismat/seminariFM/sfm080929.pdf

Lo scopo principale di questo seminario e` di passare in rassegna alcuni risultati recenti sul decadimento degli elementi di funzioni di matrici della forma B = f(A) dove A e` una matrice a banda (piu' in generale, sparsa) di grandi dimensioni. Benche` la motivazione originale vada cercata in questioni di analisi numerica, tali risultati si stanno rivelando assai utili in problemi di chimica computazionale nonche` in problemi di teoria quantistica dell'informazione. A titolo di esempio, verra` spiegato come e quando sia possibile calcolare la matrice di densita` (una funzione dell' Hamiltoniana) per certi sistemi fisici con `gap' mediante algoritmi O(N), cioe` metodi il cui costo cresce linearmente nella dimensione del sistema in esame.

Alcune volte per ottenere qualche risultato interessante pu

Le difficolta' nel caratterizzare sistemi debolmente caotici nascono dalla coesistenza che si presenta, nel loro spazio delle fasi, di un mare caotico e di strutture ordinate. In particolare qui verranno considerati esempi nei quali la regione "regolare" e' minimale, coincidendo con la presenza di un solo punto fisso indifferente. In questo ambito verranno presentati alcuni risultati analitici e numerici, come pure problemi che rimangono aperti.

Introdurro' alcuni modelli di vetri spin, che mi permettono di discutere un approccio rigoroso tramite grandi deviazioni a livello di misure empiriche. I modelli considerati sono certamente semplificazioni dei modelli piu' realistici stile Sherrington-Kirkpatrick, ma il setting particolarmente generale rende possibile una connessione tra le espressioni variazionali ottenute, molto naturali nell'ottica classica di Boltzmann-Gibbs, ed i principi variazionali alla Parisi (da cui il titolo). La connessione ottenuta suggerisce inoltre una nuova interpretazione fisica del parametro d'ordine della teoria di Parisi. Tempo permettendo, verranno fatti cenni ad alcune applicazioni, in particolar modo a dei modelli che si ottengono perturbando con dei campi di cavita' i GREM di Derrida, ed ai problemi di ultrametricita' e comportamento caotico. (In collaborazione con Erwin Bolthausen)

Dopo alcuni semplici richiami sulle disuguaglianze di correlazione classiche dimostrate da Griffths, Kelly e Sherman per sistemi a interazione ferromagnetica, il seminario illustrera' alcuni progressi recenti sulle disuguaglianze di correlazione per sistemi in cui sono presenti interazioni random in cui compaiono sia valori ferromagnetici che antiferromagnetici. Verra' in particolare illustrata e dimostrata una disuguaglianza per la correlazione gauge-invariante nei vetri di spin e tratte da essa conseguenze quali limite termodinamico per la pressione e stime per la pressione di superficie. (Risultati in collaborazione con: S.Graffi, J.Lebowitz, S.Morita, I.Nishimori, F.Unguendoli, C.Vernia).

Una questione fondamentale alla base della meccanica quantistica PT-simmetrica e' l'esistenza di operatori di Schroedinger non autoaggiunti, e nemmeno normali, ma PT-simmetrici che hanno spettro puramente reale. In questo contesto la questione matematica che emerge naturale e' la determinazione di condizioni sotto le quali la simmetria PT genera effettivamente uno spettro reale. Qui si presentano sia criteri per la realta' dello spettro che per l'esistenza di autovalori complessi (non reali) per operatori di Schroedinger PT-simmetrici anche in dimensione maggiore di uno. Vengono anche discussi alcuni esempi ottenuti come perturbazioni di oscillatori armonici risonanti.

Dapprima introdurremo una nuova classe di mappe multidimensionali non uniformemente espandenti, per le quali si possono costruire misure invarianti assolutamente continue. Poi ci restringeremo ad un caso unidimensionale che presenta anche derivata illimitata e di questo calcoleremo alcune proprieta` statistiche.

La fisica classica riguarda oggetti reali, come mele che cadono dagli alberi, il cui movimento e' governato dalla leggi newtoniane. Nella meccanica quantistica tradizionale esistono solo la funzione d'onda o i risultati di misure ed e' un compito formidabile rispondere alla domanda di come il mondo classico possa essere parte del mondo quantistico. Ma questo non e' il caso per la meccanica bohmiana che, come la meccanica classica, e' una teoria di oggetti reali nello spazio e nel tempo. In termini bohmiani il problema del limite classico diventa molto semplice: quando le traiettorie bohmiane assomigliano a quelle newtoniane?

Lo scopo della stilometria, o "attribuzione d'autore quantitativa", consiste nello stabilire la paternita' di testi anonimi o apocrifi attraverso la misurazione di alcune quantita' all'interno di tali testi. Questo seminario si propone di descrivere un metodo per l'attribuzione d'autore (applicabile piu' in generale a problemi di classificazione di stringhe simboliche) basato su distanze di similarita'. La costruzione di un modello in cui un autore viene rappresentato come una sorgente markoviana permettera' di definire due diverse distanze, per le quali saranno mostrati risultati sperimentali ottenuti su un insieme di articoli di giornale scritti da Antonio Gramsci e collaboratori agli inizi del XX secolo. Infine, alcuni aspetti teorici legati ad una di tali distanze faranno da ponte tra quanto descritto e la teoria dei grafi.

Lo scopo del seminario è quello di illustrare come il metodo della variabile complessa, una tecnica matematica classica, possa utilmente essere impiegato per la soluzione di problemi meccanici moderni relativi alla meccanica dei compositi. Il problema di riferimento è quello di un fibro-rinforzato a fibra lunga con elevata frazione volumetrica, di cui verrà sviluppato un modello meccanico capace di descrivere il comportamento elastico e danneggiato. A livello microscopico il danno è rappresentato dalla fessura circolare all’interfaccia tra fibra e matrice, che viene analizzata nell’ambito della classica teoria di Griffith. Lo scopo del lavoro è studiare l’effetto a livello macroscopico di questo danneggiamento microscopico. Il seminario si divide in due parti. Nella prima, basilare, viene risolto in forma chiusa il problema elastico che governa il sistema mediante il metodo della variabile complessa, utilizzando opportune trasformazioni conformi. Nella seconda viene poi studiata la dipendenza dei moduli elastici dalle ampiezze delle fessure microscopiche, e viene analizzata la propagazione della fessura, cioè lo sviluppo del danno nel materiale. Il seminario termina con una discussione critica del modello e con un accenno a sviluppi futuri.

La locandina è scaricabile dal sito: http://www.dm.unibo.it/seminariFM/

Si introdurranno brevemente le idee che stanno alla base della teoria dello scattering. Seguirà una discussione sulle differenze fra interazioni a corto e lungo range. Saranno infine presentati ed illustrati alcuni risultati.

Il modello di Sherrington-Kirkpatrick (SK), approssimazione di campo medio del modello di spin glass di Edwards-Anderson (EA), è stato risolto da Giorgio Parisi mediante la teoria RSB (Replica Symmetry Breaking). Questa soluzione ha mostrato l'esistenza di una complessa struttura degli stati di equilibrio, organizzati secondo una topologia ultrametrica. Se il modello SK è oggi ben compreso, rimane invece largamente incognita la natura della fase a bassa temperatura del modello EA, per il quale sono stati proposti vari scenari (RSB, Droplet, TNT,..). In questo seminario, dopo aver richiamato brevemente i principi base su cui si fonda la teoria RSB, descriveremo alcuni recenti risultati numerici ottenuti per il modello EA tridimensionale in campo magnetico nullo. In particolare saranno indagate, attraverso simulazioni su sistemi con un volume massimo di 20³, le proprietà di equivalenza fra overlap standard e overlap di link e la proprietà di ultrametricità. I risultati sono in eccellente accordo con le previsioni della teoria di campo medio (RSB).

Lo sviluppo delle biotecnologie e l’enorme quantità di dati prodotti nel campo della biologia negli ultimi vent’anni sono alla base di una nuova branca di ricerca: la bioinformatica. La bioinformatica, nata come strumento di supporto alla biologia, si è evoluta negli anni come disciplina autonoma grazie anche al contributo di fisici, matematici ed informatici. Oggi, la bioinformatica tratta tutte le problematiche inerenti la progettazione, l’implementazione e l’applicazione di metodi matematico-statistici rivolti all’analisi e alla caratterizzazione di dati biologici come le bio-sequenze o le strutture tridimensionali di macromolecole. In particolare, queste ultime sono l’oggetto di studio della bioinformatica strutturale, un settore in cui fisici e matematici hanno un ruolo indispensabile: dalla determinazione sperimentale della struttura delle proteine fino al concepimento e realizzazione di procedure volte a comprendere il rapporto sequenza-struttura, struttura-funzione e funzione-evoluzione di una macromolecola. Nel seminario verranno descritti il tipo di dati, le metodologie e le problematiche della bioinformatica strutturale e verrà illustrato uno studio strutturale volto all’analisi e alla predizione di siti di fosforilazione.

Il calcolo delle variazioni fu utilizzato in modo cruciale da J.L.Lagrange (sin dal 1750) nella fondazione della sua meccanica analitica. William Rowan Hamilton, riconducendosi direttamente a Lagrange, sviluppò in importanti memorie del 1834 e 1835 le tematiche meccaniche, giungendo alla formulazione delle sue ben note equazioni e studiando altresì analogie con l'ottica. Più tardi, in modo particolare nel 1844, Hamilton, intoducendo la nozione di quaternione, propose un nuovo approccio alla meccanica, in particolare dei corpi rigidi. Il nostro obiettivo è analizzare nel complesso questi contributi hamiltoniani, contestualizzandoli storiograficamente.

Un oscillatore armonico non-commutativo è una forma quadratica a coefficienti matrici hermitiane. In questo seminario mi propongo di illustrare alcune proprietà spettrali (in particolare la localizzazione e molteplicità dello spettro per grandi energie) per una classe di oscillatori non-commutativi in una variabile introdotta da M.Wakayama e me, la quale si è rivelata molto ricca di struttura ed interessante.

Molte proprietà dei modelli statistici su grafi e networks, sia termodinamiche che dinamiche, dipendono dalle caratteristiche topologiche del grafo. Alcune tra le più interessanti sono legate allo spettro della matrice laplaciana, e una di queste è la dimensione spettrale, che in molti fenomeni gioca, sul grafo, un ruolo analogo alla dimensione euclidea nei reticoli regolari. Si discuteranno le proprietà di universalità della dimensione spettrale e si considererà la sua rilevanza in alcuni ambiti, quali le proprietà critiche dei modelli ferromagnetici a simmetria continua, la dinamica di invecchiamento in modelli di separazione di fase e le proprietà di instabilità termica in molecole biologiche.

La separazione tra differenti scale temporali gioca un ruolo fondamentale nell'analisi della dinamica di sistemi fisici complessi. Quest'idea guida, già applicata con successo in meccanica classica, si estende in modo naturale ai sistemi quantistici. L'esempio prototipico, che sarà discusso in dettaglio nella prima parte del seminario, è fornito dalla descrizione quantistica di una molecola: sotto opportune ipotesi è possibile descrivere la dinamica dei soli nuclei (parte lenta) in termini di una Hamiltoniana “efficace” dovuta alla presenza degli elettroni (approssimazione di Born-Oppenheimer). Nella seconda parte si illustrerà, a livello non tecnico, come metodi simili possano essere applicati all'analisi della dinamica quantistica di elettroni in un potenziale periodico perturbato da campi elettromagnetici esterni. Con metodi adiabatici si ottiene una dimostrazione rigorosa della nota sostituzione di Peierls e del modello semiclassico in fisica dello stato solido. Infine, nel caso di un debole campo magnetico costante, si mostrerà la connessione con il modello di Hofstadter e con la corrispondente "farfalla colorata".

Discuteremo una famiglia di mappe markoviane dell'intervallo che permette di interpolare la caotica "mappa a tenda" con l'intermittente e non uniformemente espandente mappa di Farey. Questa famiglia ci permettera' di generalizzare proprieta' della mappa di Farey gia' ampiamente studiate nella Teoria dei Numeri. Analizzeremo, in particolare, le proprietà spettrali dell'operatore di trasferimento generalizzato. Infine discuteremo come il formalismo termodinamico possa essere applicato per rivelare transizioni di fase del primo e del secondo ordine e non usuali proprietà, quali la positività dell'interazione, per modelli di spin naturalmente associati a questa famiglia di mappe markoviane.

Nella prima parte del seminario, prendendo spunto dal concetto di ε-entropia introdotto e studiato da Kolmogorov negli anni 50-60, studiamo il problema della complessità dell'approssimazione di un punto in uno spazio metrico. In particolare ci interessiamo al caso degli insiemi frattali. Nella seconda parte, faremo vedere l'applicazione del concetto di ε-entropia a sistemi dinamici in dimensione infinita. Otteniamo definizioni di concetti di entropia topologica e metrica, e l'analogo del classico principio variazionale della teoria ergodica.

Nell'ambito di ragionevoli approssimazioni, si esibisce una procedura rigorosa per calcolare gli esponenti critici dei parametri d'ordine per sistemi vetrosi in campo medio. Si porrà l'accento sul caso del modello pienamente connesso SK e, tempo permettendo, del modello a connettività finita VB. L'esposizione non richiede particolari prerequisiti, anche se saranno riportati senza dettagli alcuni risultati precedenti. L'enfasi sarà posta sui risultati e sui concetti, invece che sui dettagli formali e sulle dimostrazioni.

We study the microlocal structure of the resolvent of the semi-classical Schrödinger operator with short range potential at an energy, which is a unique non-degenerate global maximum of the potential. We prove that is a semi-classical Fourier integral operator quantizing the incoming and outgoing Lagrangian submanifolds associated to the fixed hyperbolic point. As an applications of this result we describe the structure of the scattering matrix of the Schrödinger operator at the kind of critical energy.

link: http://www.dm.unibo.it/seminariFM/

I sistemi Hamiltoniani con spazio delle fasi misto sono stati oggetto di intensi studi nel corso degli ultimi anni. Di particolare interesse è il tentativo di legare l'andamento asintotico della statistica delle ricorrenze di Poincarè (che tipicamente hanno un decadimento algebrico) con la struttura dello spazio delle fasi. Ad oggi non esiste un consenso unanime su tale problema e diversi autori hanno dato diversi valori per l'esponente del decadimento. Inoltre lo studio numerico non permette di dare una risposta definitiva in quanto tipicamente le curve, pur mostrando un generico andamento a legge di potenza, presentano forti oscillazioni che non permettono un fit ragionevole. Durante il seminario presenterò un modello che tenta di riassumere i caratteri "universali" di un tipico spazio delle fasi misto. Tale modello permette di studiare il problema con un nuovo approccio. In particolare si mostra l'esistenza di uno scenario in cui l'ampiezza delle fluttuazioni attorno ad un decadimento algebrico universale decresce asintoticamente nel tempo. Il confronto con dati numerici sembra confermare questo scenario, fissando l'esponente attorno a z ~ 1.57.

We present a model of negotiation dynamics whose aim is that of mimicking the mechanisms leading to opinion and convention formation in a population of individuals. The key elements of negotiation are memory and feedback, while processes of opinion formation are usually modeled exploiting local majority of imitation rules. The model displays a non-equilibrium phase transition from an adsorbing state in which all agents reach a consensus to an active not-frozen stationary state characterized either by polarization or fragmentation in clusters of agents with different opinions. The transition is driven by external noise, intended as an irresolute attitude of the agents in making decisions. As a notable example we discuss the application of this modeling scheme in linguistics.

Si dimostra che la forma normale quantistica converge uniformemente rispetto alla costante di Planck nelle condizioni del classico teorema di Cherry che assicurano la convergenza della corrispondente forma normale di Birkhoff (due gradi di liberta', frequenze non reali). Come conseguenza rimane stabilita una formula di quantizzazione esatta valida per perturbazioni molto piccole dell'oscillatore armonico in due gradi di liberta'.

By way of examples, it is shown that the atomistic constitution of matter can be understood as arising from a deformation of continuum theories of matter. The first such example concerns the Hamiltonian mechanics of point particles, which can be understood as a deformation of the Vlasov dynamics. The second example concerns quantum (Bose) gases that arise from a deformation of a Hamiltonian system with infinitely many degrees of freedom whose dynamics is described by the Hartree equation. It is then shown how such continuum theories of matter can be recovered from atomistic theories in a mean-field limit. Some novel Egorov-type theorems are described. The talk concludes with a discussion of open problems.

La modellistica computazionale sta assumendo un rilievo sempre crescente, sia a causa della diffusione delle risorse computazionali di base, sia per i rapidi sviluppi scientifici che caratterizzano il settore. Tuttavia, per una gran parte dei sistemi di interesse biologico, e per motivi che spaziano dalle grandi dimensioni molecolari all’intrinseca complessità dei fenomeni chimico-fisici coinvolti, l’elaborazione e l’applicazione di modelli realistici ed efficienti rimane un compito estremamente ambizioso. Negli ultimi anni si è visto che modelli basati sulla scomposizione in una gerarchia di tempi caratteristici o di scale dimensionali forniscono spesso risultati soddisfacenti. E’ quindi cruciale avere a disposizione un insieme integrato di tecniche computazionali, utilizzabili per la descrizione delle diverse scale spaziali e/o temporali. D’altra parte, non va sottovalutata la difficoltà della corretta ricomposizione di queste descrizioni in un quadro complessivo: questa deve basarsi su solide premesse teoriche, nonché su una validazione ottenuta esaminando le predizioni fornite dalle singole tecniche per opportuni casi di prova. Naturalmente, il vantaggio di un approccio gerarchico correttamente messo a punto consiste in un bilancio ottimale fra costo computazionale ed accuratezza della previsione. Le potenzialità ed i problemi ancora aperti in questo ambito verranno illustrati con particolare riferimento alle proprietà strutturali, dinamiche e spettroscopiche di piccole proteine e loro composti modello.

Si mostra un esempio di come l'approccio fisico-matematico (progettazione e realizzazione di esperimenti; analisi dati con lo sviluppo degli opportuni algoritmi; modellizzazione del fenomeno; costruzione di teorie interpretative) abbia portato alla costruzione ed alla validazione di alcuni modelli virtuali adatti alla e-governance della mobilità. In particolare si mostra come si è giunti alla scoperta di una legge empirica "universale" di tipo cognitivo.

Sulla base dell'equazione di Ginzburg-Landau verrà proposto un modello in grado di descrivere la transizione acqua-ghiaccio e liquido-vapore. In particolare in questo studio risulta necessario definire una scomposizione della densità in due componenti, una legata alla pressione ed una alla variazione della fase. In tal modo è possibile risolvere l'incoerenza delle isoterme proposte nel modello di van der Waals rispetto alle curve sperimentali costruite da Andrews, nel senso che le isoterme che  questo modello fornisce sono dello stesso tipo di quelle di Andrews.

We consider the microlocal singularity of the solutions to the Schrödinger equation on a manifold with so-called "scattering metric". We prove a characterization of the wave front set using the classical mechanical wave operator. The result is similar to a recent result by Hassell and Wunsch, but the formulation and the proof are quite different. Also the assumptions are weaker.

Il GPS (global positioning system), nato inizialmente con scopi militari, quindi utilizzato nella ricerca scientifica per il posizionamento di precisione (cartografia, rilevamento geodetico, etc.) sta prendendo sempre più importanza anche al di fuori di questi ambiti. Tuttavia la necessità di utilizzare apparecchiature a costi più contenuti insieme con le esigenze di avere un output in tempo reale e su sistemi in movimento fa sì che gli errori intrinseci nel metodo di posizionamento tramite GPS superino spesso una soglia accettabile. Il Filtro di Kalman è uno tra i metodi algoritmici più utilizzati per migliorare la precisione delle soluzioni GPS in tempo reale. Verranno qui presentate in particolare l'applicazione del GPS all'ambito dell'agricoltura di precisione e una prima fase dello sviluppo di un filtro di Kalman studiato esplicitamente per il problema in esame.

Si introduce un modello di meccanica statistica di campo medio per un sistema di spin appartenenti a due gruppi omogenei. Si mostra il calcolo dell'energia libera (e la sua esistenza) con limiti dall'alto e dal basso. Si mostra che il modello esibisce una transizione di fase in termini della grandezza relativa dei due gruppi. Si illustra l'andamento del parametro critico in funzione della forze di interazione. Si discute infine una possibile interpretazione del risultato in scienze sociali. (Lavoro in collaborazione con Pierluigi Contucci, Stefano Ghirlanda e Giulia Menconi)

Lo scopo della meccanica statistica di non-equilibrio è quello di descrivere le proprietà macroscopiche di sistemi in contatto con due bagni termici a partire da modelli microscopici di particelle interagenti. Tale problema risulta ancora largamente aperto per i modelli Hamiltoniani, dove peraltro le simulazioni numeriche indicano una divergenza dei coefficienti di trasporto. Nel corso del seminario sarà introdotto un modello stocastico che verifica la legge di Fourier e per il quale è possibile effettuare una analisi rigorosa della misura stazionaria di non-equilibrio. Si mostrerà inoltre la relazione formale con i modelli di esclusione attraverso l'introduzione di opportune catene quantistiche di spin.

In questa comunicazione si discute l'equazione di Schrödinger dipendente dal tempo non lineare in dimensione 1 con potenziale puntuale delta di Dirac. Nella prima parte vengono illustrati alcuni risultati, ottenuti recentemente in collaborazione con R. Adami dell'Università di Milano Bicocca, di esistenza locale e globale della soluzione e viene dimostrato un criterio per il blow-up della soluzione. Nella seconda parte si discute l'equazione dal punto di vista numerico confrontando diversi approcci e effettuando esperimenti numerici.

Discuterò alcune proprietà spettrali di una famiglia ad un parametro di operatori di trasferimento associati alla trasformazione di Farey dell'intervallo unitario. Se fatti agire su un opportuno spazio di Hilbert di funzioni analitiche tali operatori risultano autoaggiunti ed isospettrali con spettro puramente continuo. Verrano discusse alcune conseguenze di questo risultato sulla struttura analitica di funzioni zeta dinamiche.

We consider the Cauchy problem for the time dependent Schrödinger equation with magnetic potential A(t,x) and electrostatic potential V(t,x), with x in Rd. We show that the problem is well-posed in L 2(Rd ) if, as |x|→∞, |A(t,x)| is at most linearly increasing, |V(t,x)| at most quadratically increasing, and if the local singularities of V are at most of type c|x|-2 with small constants |c|. We also claim that these conditions are almost optimal as far as the behaviors at infinity and the local singularities of V are concerned. We show that the Cauchy problem is also well posed on Σ(2), the domain of the harmonic oscillator, if the local singularities of V are slightly less singular.

Si discuterà il problema della determinazione del massimo sottografo completo (o massima clique) di un dato grafo. In particolare, ispirandosi al metodo della cavità utilizzato nei vetri di spin, si introdurrà una Monte Carlo Markov Chain (MCMC) con misura invariante concentrata sulle massime cliques. L'algoritmo cosi' introdotto ha ottime prestazioni sui grafi benchmark DIMACS. Verranno infine fatte alcune considerazioni sul tempo di mixing della catena.

Si studia la teoria di gauge Abeliana che descrive l'interazione tra onde solitarie dell'equazione non lineare di Klein-Gordon e il campo elettromagnetico. Si analizza l'esistenza di soluzioni ad energia finita con campo magnetico e momento angolare non nulli ed in particolare di soluzioni di tipo vortice.

After reviewing results concerning the long time behaviour of the semiclassical approximation for non-relativistic quantum mechanics, we will focus on the propagation of coherent states. We will present several examples where delocalization and relocalization are present, and will consider in detail the case of the propagation near a separatrix (hyperbolic fixed point). Application to cold atom physics will be also discussed.

Let p be a Hamiltonian and P its semiclassical quantization. To a hyperbolic fixed point of the Hamilton vector field Hp, an incoming stable manifold Л- and an outgoing stable manifold Л+ are associated. Microlocally near this point, we can consider a Cauchy problem for the equation Pu=zu (z is a spectral parameter), with data on Л-. The talk will be about the uniqueness of this Cauchy problem in the analytic category. In other words, we will consider if the incoming waves towards a non-degenerate maximum of the potential determine the outgoing waves.

Obiettivo di questo seminario è quello di caratterizzare, su sistemi quantistici bi-partiti, il livello di entanglement di stati puri  distribuiti secondo l'unica misura invariante per trasformazioni  unitarie. Misurare il livello di entanglement di uno stato puro bi-partito equivale a misurare quanto mista sia la matrice densità ridotta ρR su uno dei due sotto-sistemi. A questo scopo può venir  usato il determinante D = det ρR, del quale viene analizzata la distribuzione, come pure tale analisi viene condotta sulla radice N-esima del determinante, nota come G-concurrence. In particolare mostreremo come, per sistemi bi-partiti di alta dimensionalità, la densità di probabilità P(G) tenda a concentrarsi su un singolo punto del dominio, il cui valore dipende dal rapporto delle dimensioni dei due sotto-sistemi. Un effetto di concentrazione simile, riguardante la densità di probabilità dell'entropia di von Neumann di matrici  densità stocastiche, viene infine spiegato per mezzo di considerazioni puramente geometriche.

Con il termine biliardo si indica il sistema dinamico di una particella puntiforme libera all'interno di un dominio (detto tavola) con collisioni elastiche ai bordi. Nello studio dei sistemi dinamici l'ingrediente principale per produrre comportamento caotico è dato dall'iperbolicità. L'iperbolicità nei biliardi è stata dimostrata inizialmente per tavole bidimensionali con bordi dispersivi (Sinai '70, Sinai-Bunimovich '73) e successivamente per alcuni biliardi con lati focalizzanti (Bunimovich '79). Nel 1986 Wojtkowski ha applicato la tecnica dei coni invarianti ai biliardi bidimensionali riconducendo la verifica della positività dell'esponente di Lyapunov ad un problema di design di ottica. Come diretta conseguenza di questa applicazione egli ha fornito le regole pratiche (successivamente modificate ed estese da Donnay '91, Bunimovich '92 e Markarian '94) per la costruzione di biliardi iperbolici con bordo misto. Secondo queste regole, per essere iperbolico, un biliardo con un lato focalizzante di curvatura quasi nulla deve avere un'area molto grande. Nel seminario si introdurranno le nozioni principali della tecnica dei coni invarianti. Successivamente verrà presentato un nuovo modello di biliardo che, pur avendo bordi focalizzanti con curvatura piccola a piacere, non richiede un'arbitraria espansione della superficie della tavola.

Recentemente le teorie di non-equilibrio, e in particolare la termodinamica estesa, hanno generato un nuovo interesse per i sistemi iperbolici non lineari di leggi di bilanciamento con dissipazione dovuta a termini di produzione (sistemi con rilassamento). In questo campo è molto importante stabilire connessioni fra le proprietà del sistema completo e quelle del sottosistema ottenuto quando certi parametri (coefficienti di rilassamento) sono nulli. La condizione che il sistema di leggi di bilanciamento soddisfi un principio di entropia con densità di entropia convessa crea delle grosse restrizioni. Daremo un breve riassunto di questi risultati con particolare attenzione alla buona posizione, locale e globale, del relativo problema di Cauchy per soluzioni regolari e alla stabilità delle soluzioni costanti. Poi discuteremo la questione aperta del problema di Riemann per sistemi iperbolici dissipativi e presenteremo una congettura circa il comportamento per tempi lunghi della soluzione del problema di Riemann con e senza struttura. Questa congettura sarà esaminata attraverso simulazioni numeriche.

Le dinamiche di Glauber sono una classe di processi di Markov reversibili rispetto alla misura di Gibbs che descrive gli stati di un sistema di spins definito su un grafo finito. Oltre al loro interesse dal punto di vista computazionale (campionamento dalla misura di Gibbs in questione), il comportamento della dinamica, ed in particolare il suo tempo di rilassamento, risulta dipendente dalla presenza/assenza di una transizione di fase. In questo seminario presenterò dei risultati, ottenuti in collaborazione con F. Martinelli, riguardanti le dinamiche di Glauber per il modello di Ising su grafi iperbolici e su grafi random binomiali. Nella prima parte mostrerò che il tempo di rilassamento della dinamica su grafi iperbolici all'interno della fase pura (condizioni "+" al bordo) e' al più lineare nella taglia grafo. Nella seconda parte considererò la dinamica su grafi random binomiali e mostrerò che per ogni temperatura finita e quasi certamente nel limite in cui la taglia del grafo va all'infinito, il tempo di rilassamento non è ottimale.

Viene proposto un modello relativisticamente covariante di due particelle interagenti. Si esaminano prima gli aspetti classici del problema e si studia la sua quantizzazione determinandone l'equazione d'onda per particelle di natura fermionica. Lo spettro che si deduce per una interazione Coulombiana viene calcolato numericamente per qualunque rapporto delle masse dei due componenti. Si introduce poi un'interazione magnetica tra i momenti magnetici delle particelle e si trovano i corrispondenti spostamenti iperfini dei livelli spettrali. Viene infine individuata la possibilità di un nuovo sviluppo perturbativo  per l'interazione elettromagnetica discutendone vantaggi e limitazioni.

La nozione di caos debole è associata ad un decadimento lento delle correlazioni, che si osserva ad esempio per le mappe che preservano l'area nella zona di transizione tra una regione quasi integrabile ed una caotica. Questo comportamento è rigorosamente riprodotto da un semplice modello basato sul collage di una mappa integrabile con una mescolante, se si considerano gli spettri delle ricorrenze di Poincaré. L'osservazione rilevante è che mentre per un sistema mescolante il decadimento è esponenziale, per un sistema integrabile anisocrono, il mescolamento locale dovuto alla filamentazione, determina un decadimento a potenza. In una regione di transizione si prova che lo spettro è una combinazione dei due. Il mescolamento locale implica una forte coerenza, evidenziata dal fenomeno di echo. L'accoppiamento con una componente caotica, modellata da un rumore di Wiener, ne provoca l'attenuazione fino alla scomparsa. In un contesto fisico il caos debole si manifesta nei sistemi ad N particelle con interazioni a lungo raggio, attraverso comportamenti coerenti, descritti da una teoria di campo medio su scale di tempo di ordine 1, ove domina la filamentazione, mentre gli effetti collisionali agiscono su scale di tempo di ordine N, conducendo all'equilibrio termodinamico. Il modello degli oscillatori Coulombiani è un prototipo esemplare, che descrive anche un sistema complesso qualora si introduca una condizione di cono per simulare la percezione visiva. Il carattere non newtoniano della interazione richiede tuttavia l'introduzione di una memoria perché si raggiungano stati di equilibrio a temperatura finita.

Uno dei prodotti della teoria dell'informazione quantistica è la nozione di comprimibilità che, nei sistemi dinamici classici, è legata sia all'entropia che alla complessità algoritmica. Parleremo di queste relazioni e delle loro possibili estensioni quantistiche.

Il famoso teorema di ricorrenza di Poincaré ci dice che in un sistema dinamico che ha una certa misura invariante quasi tutte le orbite tornano infinite volte vicino al loro punto di partenza. Questo risultato non dice quanto tempo ci vuole. La domanda che sorge spontanea è: se voglio tornare a distanza minore di r dal punto di partenza quante iterazioni devo aspettare? I risultati di ricorrenza quantitativa rispondono a questo tipo di domande. Si scopre, ad esempio, che il tempo di ritorno dipende, nei sistemi con veloce decadimento delle correlazioni, dalla dimensione locale della misura invariante nel punto di partenza dell'orbita. Mentre per alcuni sistemi con decadimento lento ciò non avviene. Un problema simile è quello dei tempi di attesa: in un sistema ergodico, quanto tempo ci vuole perché l'orbita che parte da x arrivi "vicino" a y? Anche qui la risposta dipende dalla dimensione locale nei sistemi con veloce decadimento delle correlazioni. Questo tipo di osservazioni permette, ad esempio, di stimare numericamente la dimensione locale di un attrattore utilizzando i tempi definiti sopra. Nel seminario racconterò, senza entrare troppo in dettagli tecnici, questo tipo di questioni e qualche risultato recente che si applica su sistemi con misura invariante infinita.

La comunicazione e il calcolo quantistico rappresentano un nuovo campo interdisciplinare in rapidissimo sviluppo. Tale disciplina nasce dall'idea guida che l'informazione è un fatto fisico e si pone il problema di capire come essa venga elaborata dai sistemi quantistici. In questo seminario si introdurranno gli aspetti essenziali dell'informazione quantistica e si analizzeranno alcune applicazioni esemplari.

Il famoso modello di Ginzburg-Landau e la seguente estensione dinamica introdotta da Gor'kov ed Eliashberg sono in grado di studiare la transizione di fase che avviene nei metalli superconduttori, o nelle leghe superconduttrici, quando la temperatura è costante e minore della temperatura critica Tc. Sotto queste ipotesi, il materiale passa dallo stato normale alla superconduttività quando il campo magnetico viene ridotto al di sotto di una certa soglia critica Hc. Questo è un tipico esempio di transizione di fase del second'ordine ed è stato ampiamente studiato. In questo seminario proporremo un modello generale che prende in considerazione oltre agli effetti magnetici anche quelli termici. Poi, basandoci su un lavoro di Fried e Gurtin, suggeriremo un modello capace di spiegare anche la transizione di fase del prim'ordine. Questo è conseguenza di una legge di bilancio sull'ordine delle strutture coinvolte nella transizione di fase. Inoltre, per questo tipo di transizione del primo ordine, è possibile ricavare un teorema di massimo per il parametro di fase f.

I modi di Acceleratore Quantistici sono un fenomeno identificato per la prima volta da esperimenti di Ottica degli atomi freddi, mirati a costruire realizzazioni sperimentali di certi modelli astratti usati nella teoria del Caos Quantistico. Questo effetto, teoricamente imprevisto, e puramente quantistico, viene osservato in condizioni in cui la costante di Planck efficace è relativamente grande. Ciò nonostante, è stato poi spiegato teoricamente mediante una approssimazione quasiclassica, in cui pero` il ruolo della costante di Planck (che rimane fissa) è svolto da tutt'altro parametro. In tal modo i modi vengono associati alle orbite periodiche di un sistema dinamico classico, che non è il limite classico vero del sistema. Si riconosce che essi sono associati ad autovalori non unimodulari dell'operatore di Floquet. Lo scenario presenta interessanti analogie con le oscillazioni di Bloch, e apre interessanti possibilità di analisi matematica esatta.

Un gas di Lorentz è il sistema dinamico di un punto materiale che si muove di moto libero fino a che non incontra un ostacolo (fisso) contro il quale urta in maniera totalmente elastica (cioè secondo la legge di riflessione di Fresnel). In questo seminario parlerò dei gas di Lorentz nel piano determinati da una configurazione non periodica di ostacoli convessi. Questi sistemi sono l'evidente generalizzazione del celeberrimo biliardo di Sinai all'ambito dei sistemi dinamici a misura infinita. Da qui l'interesse a conoscerne le proprietà dinamiche, cioè le proprietà ergodiche - in particolare perché la teoria ergodica in misura infinita è ancora oggetto di discussione.