1. Funzioni su spazi metrici e normati

Spazi metrici: definizione, esempi. Intorno circolare aperto, insiemi aperti e chiusi. Punti interni, esterni, di accumulazione, isolati, di frontiera. Parte interna e chiusura di un insieme, dominio. Insieme limitato, diametro. Limiti di successioni su spazi metrici e sue proprieta` elementari. Spazi metrici equivalenti. Insiemi compatti per successioni. Teorema di Heine-Borel (caratterizzazione dei compatti di R^n). Spazi normati: definizione ed esempi. Spazio metrico indotto dalla norma e spazi normati equivalenti. R^n con la norma || . ||_p, p in [1, infty]: disuguaglianza di Young, di Hoelder, di Minkowski. Spazi metrici completi; successione di Cauchy. Spazi di Banach. Teorema delle contrazioni o di punto fisso. Funzioni continue e loro caratterizzazione sugli spazi metrici. Teorema di separazione. Funzioni uniformemente continue. Funzioni continue su compatti: teorema di Weierstrass e teorema di Heine-Cantor. Insieme connesso. Caratterizzaione dei connessi per poligonali. Teorema di Bolzano o dei valori intermedi.

2. Funzioni f:Rn a Rm>

Definizione di limite e di funzione continua. Derivate parziali, gradiente, matrice jacobiana, differenziabilita, differenziale, derivata direzionale, funzione C^k e C^{infty}. Lemma di Schwarz. f differenziabile implica f continua. f C^1 implica f differenziabile. Teorema di derivazione e differenziabilita` delle funzioni composte. Matrice jacobiana e differenziale della funzione composta. Jacobiana e differenziale della funzione inversa. Formula delle derivate direzionali nel caso di funzioni differenziabili ed interpretazione geometrica del gradiente. Interpretazione geometrica del differenziale. Funzioni a gradiente nullo in un connesso. Funzioni omogenee: teorema di Eulero e di omogeneita` del gradiente. Funzioni definite tramite integrale: teorema di continuita` e di derivabilita`. Formula di Taylor con resto di Lagrange. Teorema del valor medio di Lagrange. Estremanti relativi. Definizione di punto critico o stazionario. Teorema del gradiente nullo. Definizione di matrice hessiana. Caratterizzazione delle matrici simmetriche rispetto al segno della forma quadratica associata. Condizioni necessarie o sufficienti perche' un punto sia estremante relativo rispetto al segno della forma hessiana.

3. Equazioni differenziali ordinarie:

Equazioni differenziali ordinarie in forma normale di ordine n e sistemi di equazioni differenziali ordinarie del primo ordine. Problema di Cauchy. Definizione di soluzione. Teorema di Cauchy o Peano-Picard di esistenza ed unicita` locale. Formulazione integrale del problema di Cauchy e lemma di Volterra. Metodo di integrazione per approssimazioni successive. Regolarita` delle soluzioni. Applicazione del teorema di Dini all'esistenza ed unicita` locali delle equazioni differenziali a variabili separabili e in forma di differenziale esatto. Esistenza ed unicita` globali. Definizione di prolungamento, di soluzione massimale e di integrale generale. Criteri di prolungabilita`. Lemma di Gronwall ed applicazione alla prolungabilita`. Cenni all'analisi qualitativa delle soluzioni di equazioni e differenziali e sulla dipendenza della soluzione dai dati iniziali. Risoluzione di alcuni tipi di equazioni differenziali del primo ordine riconducibili a equazioni a variabili separabili. Equazione di Clairaut. Risoluzione di alcuni tipi di equazioni differenziali del primo ordine non in forma normale. Risoluzione di alcuni tipi di equazioni differenziali di ordine superiore al primo. Equazioni differenziali lineari e sistemi di equazioni differenziali lineari. Esistenza ed unicita` globale della soluzione. Equazioni e sistemi differenziali lineari omogenei: caratterizzazione dell'insieme delle soluzioni come spazio vettoriale, sistema fondamentale di soluzioni, teorema del Wronskiano. Equazioni e sistemi differenziali lineari non omogenei: caratterizzazione dell'integrale generale e metodo di variazione delle costanti o di Lagrange. Equazioni differenziali di Bernoulli. Equazioni di Eulero. Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti: determinazione di un sistema fondamentale di soluzioni tramite il polinomio caratteristico. Metodo di simpatia per la determinazione di soluzioni di un'equazione differenziale lineare a coefficienti costanti non omogenea. Definizione di esponenziale di una matrice e sue proprieta` elementari. Teorema di Jordan su autovettori generalizzati (s.d.). Determinazione di un sistema fondamentale di soluzioni di un sistema lineare a coefficienti costanti omogeneo.

4. Misura di Peano-Jordan e integrazione secondo Riemann

Misura di Peano-Jordan: misura elementare di un intervallo semiaperto superiormente; definizione di misura su plurintervalli semiaperti superiormente e sue proprieta` elementari; definizione di misura interna ed esterna e di misura di Peano-Jordan per insiemi limitati. Proprieta` elementari della misura: positivita`, finita additivita`, monotonia, subadditivita`. Misurabilita` di insiemi non limitati. Somme inferiori e superiori; partizioni; definizione di integrale di Riemann. Proprieta` dell'integrale: linearita`, monotonia. Interpretazione geometrica dell'integrale di Riemann. Integrabilita` delle funzioni continue e continue quasi ovunque. Teorema della media integrale. Integrali doppi: domini normali e regolari; rappresentazione dell'integrale come limite; formule di riduzione per gli integrali doppi; teorema di Guldino per il calcolo di volumi di solidi di rivoluzione; formule di Gauss-Green ed integrazione per parti; teorema della divergenza e di Stokes; formule per il calcolo dell'area; teoremi di cambiamento di variabile negli integrali doppi su domini regolari. Integrali tripli: domini regolari e normali; formule di riduzione; teorema di cambiamento di variabile. Coordiante cilindriche e polari. Funzioni sommabili: caratterizzazione delle funzioni sommabili non negative. Sommabilita` delle funzioni di segno variabile; criterio del confronto.

5. Varieta`, integrazione e derivazione di funzioni su varieta`

Curve in forma parametrica: curva regolare semplice aperta; omeomorfismi e diffeomorfismi; equivalenza delle parametrizzazioni; curva regolare a tratti; retta e spazio tangente ad una curva; definizione di orientamento; curve orientabili. Definizione di lunghezza di una curva e teorema per il calcolo della lunghezza di una curva in forma parametrica. Integrali curvilinei di funzioni continue. Lavoro di un campo di forze lungo una curva orientata. Campi vettoriali esatti: definizione di potenziale o primitiva e sue proprieta` elementari; forme differenziali esatte. Caratterizzazione delle forme esatte come forme conservative: il lavoro di un campo esatto lungo una curva e` la differenza di potenziale fra gli estremi della curva. Relazione fra forma differenziale esatta e integrazione curvilinea. Forme differenziali chiuse e campi vettoriali irrotazionali. Esattezza implica chiusura. Definizione di aperto stellato rispetto ad un punto; lemma di Poincare'. Condizione sufficiente per l'esattezza per campi vettoriali chiusi definiti in R^2-{ P }. Superfici di R^3 in forma parametrica. Aperto regolare di R^2 ed orientamento canonico. Superficie regolare con bordo. Gramiano. Caratterizzazione del bordo di una superficie regolare ed orientamento indotto sul bordo della superficie. Superfici regolari a tratti, facce, spigoli e vertici. Spazio tangente, piano tangente, spazio normale e retta normale in un punto regolare. Orientamento di una superficie regolare con bordo e superfici regolari a tratti orientabili. Definizione di integrale di superficie. Area di una superficie; superfici di rivoluzione e formula di Guldino per il calcolo delle aree; interpretazione geometrica del gramiano. Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie. Formula di Stokes; aperto regolare di R^3 e normale esterna. Teorema della divergenza o di Gauss. Insiemi di livello come zeri di funzioni in piu' variabili a valori in R^m. Teoremi del Dini scalare e vettoriale. Derivazione della funzione implicita ed interpretazione geometrica del gradiente. Teorema di invertibilita` locale. Teorema di invertibilita` globale (s.d.); il caso delle funzioni lineari e confronto con il caso di funzioni in una variabile. Curve e superfici in forma implicita definiti come insiemi di livello. Interpetazione geometrica del gradiente, spazio tangente e spazio normale. Varieta` definite in forma implicita: definizione di spazio e varieta` tangente, di spazio normale e varieta` normale nei punti regolari. Punti critici o stazionari vincolati; estremanti relativi condizionati o vincolati su varieta`. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange e sua interpretazione geometrica. Condizione sufficienti per estremi condizionati relativi.

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