Lezioni svolte
- Ma 26/10 (3h)
Presentazione del corso.
Sistemi lineari: esempi, matrici associate (incompleta e completa), metodo di riduzione di Gauss.
- Ve 29/10 (2h)
Esempio di riduzione di un sistema con 4 equazione e 4 incognite.
Riduzione completa di una matrice.
Matrici reali: somma, prodotto per un numero, prodotto righe per colonna.
Applicazione associata a una matrice.
- Ma 2/11 (3h)
Elemento neutro moltiplicativo dell'anello delle matrici quadrate.
Applicazione associata al prodotto AB è la composizione delle applicazioni associate ad A e B.
Relazioni di equivalenza. Esempi.: insieme delle classi resto modulo n.
Strutture algebriche: gruppi, anelli, campi.
Elementi invertibili e divisori di zero in un anello.
Condizione di invertibilità di una matrice 2x2; determinante di una matrice 2x2.
- Me 3/11 (2h)
Interpretazione geometrica del determinante di una matrice 2x2.
Matrici elementari e trasformazioni elementari di riga.
Calcolo dell'inversa con riduzione completa della matrice. Esempi in dim. 2 e 3.
Matrici regolari e sistemi lineari determinati.
- Ve 5/11 (2h)
Permutazioni: definizione, composizione; trasposizioni; segno di una permutazione e calcolo con il conteggio delle inversioni.
Definizione di determinante.
Esempi in dimensione 2 e 3 (regola di Sarrus)
Proprietà della funzione determinante: 1) det(I)=1; 2) è alternante sulle righe 3a) è omogenea sulle righe 3b) è additiva sulle righe.
Calcolo del determinante mediante riduzione con trasformazioni elementari di riga (esempi con matrici di ordine 3 e 4).
- Ma 9/11 (3h)
Il determinante è l'unica funzione sull'insieme delle matrici quadrate che soddisfa le proprietà 1), 2) e 3)
Teorema di Binet (con dimostrazione nel caso n=2)
Conseguenza: una matrice invertibile ha determinante diverso da zero.
Sottomatrici, minori, complementi algebrici.
Sviluppo di Laplace per righe e per colonne. Esempi di ordine 2 e 3.
Conseguenza: se una matrice ha determinante diverso da zero è invertibile e la sua inversa è (1/det(A)) per la trasposta della matrice dei complementi algebrici.
Introduzione agli spazi vettoriali: assiomi che li definiscono.
Esempi di s.v.: spazio vettoriale standard di dimensione n su un campo (n-uple); spazio delle matrici mxn; spazio dei vettori geometrici ("applicati").
- Me 10/11 (2h)
Esempi di s.v.: polinomi.
Sottoinsiemi linearmente chiusi e sottospazi vettoriali
Esempi: polinomi di grado inferiore a un numero naturale fissato.
Esercizi sullo sviluppo di Laplace e sul calcolo della matrice dei complementi algebrici
- Ve 12/11 (2h)
Esercizio: discussione di un sistema lineare parametrico con 3 equazioni in 3 incognite, mediante il calcolo del determinante della matrice incompleta.
Relazione tra soluzioni di un sistema lineare e soluzioni dell'omogeneo associato
Le soluzioni di un sistema omogeneo formano un sottospazio vettoriale dello s.v. standard.
Chiusura lineare di un sottoinsieme in uno s.v.; sistemi di generatori di uno s.v.
S.v. finitamente generati. Esempio di s.v. non f.g.: i polinomi.
- Ma 16/11 (3h)
Definizione di dipendenza e indipendenza lineare di n-ple e di insiemi di vettori.
Esempi in Rn, M2(R).
Un insieme X è linearmente dipendente se e solo se qualche suo elemento è combinazione lineare degli altri.
Defnizione di base di uno spazio vettoriale finitam. generato.
Esempi: Rn, Mmxn(R).
Ogni s.v. finitam. generato ha una base. Tutte le sue basi hanno la stessa cardinalità; dimensione di uno s.v. finitam. generato.
- Me 17/11 (2h)
Componenti di un vettore rispetto a una base.
Spazio delle righe di una matrice; rango.
Invarianza di spazio righe e rango per trasformazioni elementari di riga.
Esercitazioni: estrarre una base da un sist. di generatori; completare un insieme l.i. a una base; calcolare le coordinate di un vettore rispetto a una base assegnata.
- Ve 19/11 (2h)
La scelta di una base B di uno spazio vettoriale V di dimensione n crea una corrispondenza tra V e Rn: ad ogni vettore di v corrisponde la n-pla delle sue coordinate rispetto a B.
Tale corrispondenza è biunivoca e rispetta le operazioni di somma e prodotto per uno scalare.
Equazioni parametriche e cartesiane di un sottospazio vettoriale rispetto a una base.
Intersezione e somma di sottospazi vettoriali.
Relazione di Grassmann: per U e W sottospazi di V, vale dim(U+W)=dim(U)+dim(W)-dim(U∩W).
- Me 24/11 (2h)
Metodi per trovare basi di sottospazi vettoriali, della loro somma e della loro intersezione.
Trasformazioni lineari: definizioni ed esempi.
- Ve 26/11 (2h)
Trasformazioni lineari: teorema fondamentale.
Trasformazioni lineari standard.
Matrice di una trasformazione lineare tra spazi vettoriali rispetto a basi fissate.
- Ma 30/11 (3h)
Confronto delle matrici di una stessa trasformazione lineare, rispetto a basi differenti.
Nucleo Ker(T) di una trasformazione lineare T.
Proprietà di Ker(T): è un sottospazio vett., Ker(T)=(0) se e solo se T è iniettiva.
Immagine Im(T) di una trasf. lin. T.
Proprietà: è un sottospazio; è generata dai trasformati di un sist. di generatori del dominio.
Teorema di Kronecker sul rango di una matrice.
Per una trasf. lin. T, dim(ImT)=rango di una sua matrice rispetto a due basi qualsiasi.
Equazione dimensionale: dim(KerT)+dim(ImT)=dim(dominio).
Applicazione a un sistema lineare omogeneo S0 in n incognite e di matrice A: dim(Sol(S0))=n-rango(A).
- Me 1/12 (2h)
Teorema di Rouché-Capelli
Discussione di sstemi lineari parametrici
- Ve 3/12 (2h)
Riepilogo, esercizi su trasformazioni lineari e sistemi lineari.
Equazioni cartesiane e parametriche di un sottospazio vettoriale: come passare dalle une alle altre.
(Sa 4/12: primo parziale)
- Ma 7/12 (3h)
Cambiamento di base.
Similitudine di matrici.
Autovalori e autovettori: definizione.
- Ve 10/12 (2h)
Polinomio caratteristico di una matrice.
Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore.
Calcolo dell'autospazio relativo a un autovalore dato.
- Ma 14/12 (3h)
Diagonalizzazione di matrici e basi spettrali.
Spazi vettoriali euclidei: definizioni e proprietà di prodotto scalare. Norma di un vettore; angolo tra due vettori.
Basi ortonormali. Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.
- Me 15/12 (2h)
Complemento ortogonale di un sottoinsieme di uno spazio vettoriale euclideo.
Spazi euclidei: introduzione e assiomi.
Sistemi di riferimento cartesiani.
- Ve 17/12 (2h)
Sottospazi euclidei.
Equazioni parametriche e cartesiane di una retta nel piano e nello spazio euclidei.
Indipendenza e dipendenza affine di punti in uno spazio euclideo
Sottospazio euclideo congiungente due sottospazi.
- Ma 21/12 (3h)
Parallelismo di sottospazi euclidei.
Posizione reciproca di sottospazi euclidei (incidenti, paralleli, sghembi), in particolare di rette e piani nello spazio euclideo in dimensione 3.
Relazione tra posizione reciproca di due rette (o di retta e piano) in R3 e rango delle matrici completa e incompleta del sistema delle equazioni cartesiane.
Fascio di piani passanti per una retta nello spazio.
- Me 22/12/2010 (2h)
Perpendicolarità di sottospazi euclidei, nei casi: retta/retta; retta/iperpiano; iperpiano/iperpiano.
Distanza nello spazio euclideo. Distanza tra due punti, tra un punto e un iperpiano, tra un punto e una retta nello spazio.
Volume del simplesso h-dimensionale, mediante la matrice di Gram. Caso 3-dimensionale con il determinante.
- Ma 11/1/2011 (3h)
Matrici e operatori simmetrici.
Congruenza tra matrici simmetriche reali.
Teorema spettrale per matrici simmetriche.
Forme bilineari e quadratiche.
- Me 12/1/2011 (2h)
Segnatura di una forma quadratica.
Forme canoniche, teorema di Sylvester.
Forme quadratiche definite positive e definite negative. Criterio di Sylvester (dei minori principali).
- Ve 14/1/2011 (2h)
Coniche come sezioni del cono e come luoghi geometrici del piano euclideo.
Equazione di una conica, matrice (discriminante).
Classificazione euclidea delle coniche del piano: degeneri e non degeneri; tra le non degeneri: a centro (ellisse, iperbole) e parabola.
Centro e assi delle coniche: definizioni e metodo per calcolarli, in un sistema di rif. cartesiano rispetto al quale è nota la matrice della conica.
Forma canonica di una conica (matrice diagonale o antidiagonale).