Nella geometria delle coordinate possiamo esprimere questa costruzione geometrica definendo le coordinate della somma di due coppie di numeri (cioè di due punti) come la somma delle coordinate corrispondenti :

(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d).

Qualunque sia il punto P, troviamo quindi che (x,y) = (x,0)+(0,y) , e quindi ogni punto può essere espresso come somma di punti degli assi coordinati.                                                                  

Rappresentiamo sul piano il punto P avente ascissa x = 2 e ordinata y = 3 e scriviamo P (2,3) . Se scambiamo il valore dell'ascissa con quello dell'ordinata otteniamo il punto Q (3,2) .Facciamo variare il valore dell'ascissa, mantenendo costante l'ordinata: osserveremo che il punto scorre, al variare dell'ascissa, sulla retta i cui punti hanno tutti ordinata uguale a 3; si proceda analogamente facendo variare l'ordinata e mantenendo costante l'ascissa oppure facendo variare l'ascissa x e l'ordinata y in modo tale che

y = x, y = -x,

assegnare ad x valori compresi tra -5 e 5 e rappresentare , per esempio, i punti Q ( , 3), R ( ), T , Z

assegnare ad y valori compresi tra -5 e 5 e rappresentare , per esempio, i punti , ;

Siano e due punti del piano; per il teorema di Pitagora, la distanza di A da B è data dalla formula

Se e sono le coordinate del punto A e e sono le coordinate del punto B la distanza tra i punti A e B è:

Geometria delle coordinate

L'idea di base della geometria analitica, e che collega la geometria all'algebra, è quella di identificare un punto dello spazio con una sequenza ordinata di numeri. Renè Descartes (Cartesio) pose le basi per lo sviluppo della geometria delle coordinate e nel 1637 scrisse :" Ho applicato l'algebra dei moderni alla geometria degli antichi e ho trovato così i fondamenti di una scienza meravigliosa ". Assai prima di Cartesio , con le prime carte geografiche, era già nata implicitamente la geometria analitica.

Il metodo delle coordinate

Come individuare la posizione di un punto sopra una retta, nel piano?

• Su una retta scegliamo un punto che assumiamo come origine O a cui assoceremo 0 e un altro punto U (punto unitario) a cui sarà associato 1 . L'origine è il punto di partenza, la distanza tra l'origine e il punto unitario stabilisce una scala sulla nostra retta. Ogni punto della semiretta che contiene il punto 1 può essere individuato tramite la sua distanza dall'origine, rappresentata come multiplo della distanza tra 0 e 1; se un punto sta sulla semiretta opposta, sarà individuato dalla sua distanza da 0, questa volta preceduta da un segno negativo.

In questo modo è stato scelto sulla retta un riferimento cartesiano e la retta è denominata                    retta cartesiana.

Si può perciò dire che ogni punto corrisponde a un numero reale, che è la sua coordinata (possiamo denominarla ascissa ), e viceversa ogni numero reale corrisponde a un punto.

Rappresentiamo sulla retta il punto P avente ascissa x = 8 e scriviamo P (8) . Facciamo variare il valore dell'ascissa: osserveremo che il punto scorre sulla retta al variare dell'ascissa ed potrà essere situato alla destra di O oppure alla sinistra di O o coincidere con O.

assegnare ad x valori compresi tra -10 e 10 e rappresentare , per esempio, i punti Q ( ), R ( ), T ( ), Z ( )       

Siano P (x1) e Q (x2) due punti della retta cartesiana r. Definiamo distanza di P da Q , e scriviamo d(P,Q), il valore assoluto , in simboli:

d(P,Q)=

Per esempio:

x 1= 5 e x 2 = 3 sono le ascisse dei punti P e Q

assegnare ad x1 e x2 altri valori reali e sarà di conseguenza calcolata la distanza tra i due punti

la distanza tra P e Q è: