Contenuto
Rappresentazione dei dati su un elaboratore e aritmetica floating point. Approssimazione di dati sperimentali e approssimazione di funzioni mediante interpolazione polinomiale. Formule di quadratura per la stima di integrali di funzioni (Modulo 1). Calcolo degli zeri di funzioni non lineari e risoluzione di sistemi lineari (Modulo 2). La parte teorica sarà affiancata da una attività di laboratorio in cui verrà utilizzato il sistema MATLAB/Octave per la sperimentazione dei metodi proposti e la loro applicazione al disegno 2D vettoriale.

Testi consigliati per approfondimenti

• A. Quarteroni, R.sacco, F. Saleri, Matematica Numerica, Springer (2008);
• A. Quarteroni, F. Saleri, Calcolo Scientifico esercizi e problemi risolti con Matlab e Octave. Springer (2008);
• V.Comincioli, Analisi Numerica Metodi Modelli Applicazioni, McGraw-Hill Libri Italia, (1995)

• R.Bevilacqua, D.Bini, M.Capovani, O.Menchi, Metodi numerici, Zanichelli (1992)
• J.Stoer, R.Bulirisch, Introduction to Numerical Analisys, (second edition) Springer Verlag (1997)
• I. Galligani, Elementi di Analisi Numerica, Calderini (1986)
• F.Fontanella, A.Pasquali, Calcolo Numerico, Vol.I e II, Pitagora Editrice Bologna (1985)

• mercoledì ore 12:00-14:00 Aula San Giacomo (via San Giacomo 3)
• giovedì ore 15:00-17:00 Aula G1 (Dip. Geologia); dal 9 ottobre ore 15:00-18:00
• venerdì ore 13:00-16:00 Aula G1 (Dip. Geologia)

• Modulo 1
• Ma.17/09/25, ore 12:00-14:00: Aula G1
  Slide: Introduzione e informazioni sul corso. (file .pdf)
  Richiami sui numeri reali: rappresentazione in base, forma mista, forma scientifica o normalizzata, notazione posizionale e suo significato.
• Me.18/09/25, ore 15:00-17:00: Aula G1
  Numeri Finiti
  Insieme F dei numeri finiti: base, mantissa, range degli esponenti. Esempio: dato l'insieme F(2,3,-1,2), determinare i suoi elementi e posizionarli sull'asse reale.
  Standard ANSI/IEEE 754 (1985): formati Basic-Single e Basic-Double, rispettivamente a 32 e 64 bit, rappresentazione in memoria (segno, esponente e mantissa) e relativi insiemi dei numeri finiti. Rappresentazione di un numero reale nell'insieme dei numeri finiti: approssimazione della mantissa per troncamento e arrotondamento, rappresentazione dell'esponente (casi di underflow e overflow). Esempi in base 10 e base 2. Standard ANSI/IEEE 754 (1985): arrotondamento ai pari, Nan, Infinity e cenno ai Gradual Underflow.
  Esercizio 1: seguendo lo standard ANSI/IEEE 754 si considerino 8 bit per rappresentare i numeri finiti (1 segno, 3 esponente, 4 mantissa). Dato in input il numero reale -13.9 in base 10 lo si vuole prima rappresentare in memoria, quindi dalla memoria produrlo in stampa.
• Me.24/09/25, ore 12:00-14:00: Aula San Giacomo
  Soluzione dell'Esercizio 1: l'insieme dei numeri finiti è F(2,5,-3,4); richiamata conversione da base 10 a base 2 di un numero reale (parte intera e frazionaria) ed effettuata rappresentazzione in memoria, quindi decodifica e valore in stampa.
  Definizioni di Errore Assoluto e Relativo. Calcolo degli errori assoluto e relativo sulla rappresentazione del numero -13.9 dell'Esercizio 1.
  Definizione di unita' di arrotondamento. Teorema di maggiorazione dell'errore relativo di rappresentazione. Verifica sull'errore relativo ottenuto nell'Esercizio 1. Corollario sulla rappresentazione di fl(a). Unita' di arrotondamento in Basic-Single e Basic-Double.
  Esercizio 2: Si consideri il numero +13.9 in base 10 e si determini la sua rappresentazione in F(2,4,-7,8).
  Precisione e cifre significative in base 10 rispetto alle cifre di mantissa in base 2. Aritmetica floating point e precisione di calcolo. Caratterizzazione dell'unita' di arrotondamento, sia per arrotondamento (fl_A) che per arrotondamento ai pari (fl_AP).
• Gi.25/09/25, ore 15:00-17:00: Aula G1
  Problema ben posto. Modellizzazione di un problema come f:R->R e piu' in generale come f:R^n->R. Analisi degli errori in avanti e all'indietro. Esempio di analisi degli errori in avanti sulla moltiplicazione e sull'addizione di due numeri reali. Cancellazione numerica. Esempio numerico di cancellazione numerica. Errori Totale, Inerente e Algoritmico: condizionamento di un problema e stabilità di un algoritmo. Teorema su E_TOT, E_IN ed E_ALG. Esempio di analisi in avanti per ricavare E_ALG ed E_IN nell' esempio dell'addizione di due reali.
• Ve.26/09/25, ore 13:00-16:00: Aula G1 Lezione di LABoratorio
  Esercitazione 1 Ambiente MatLab e script (istruzioni/comandi, built-in function) (vedi Testo, File .zip e Slide in Download Materiale LAB).
  svolto l'esercizio A.1; svolto l'esercizio B.1 e fatto insieme il B.2; lasciato il B.3 come compito a casa.
• Me.01/10/25, ore 12:00-14:00: Aula San Giacomo
  Esempio di analisi in avanti per ricavare E_ALG ed E_IN per l'espressione ((1+x)-1)/x. Stima di E_IN nel caso di un problema modellizzato come f:R->R continuo e differenziabile; numero di condizione. Esempio su sqrt(1-x) ed esempio numerico. Generalizzazione della stima di E_IN nel caso di problemi f:R^n->R; numero/i di condizione. Esempi sulle operazioni aritmetiche di addizione e moltiplicazione fra numeri reali. Esempio: sqrt(x_1+x_2) - sqrt(x_1).
• Gi.02/10/25, ore 15:00-17:00: Aula G1
  Ripreso e completato Esempio: sqrt(x_1+x_2) - sqrt(x_1). Esempio: radici di un'equazione di secondo grado. Errore Analitico.
  Funzioni Polinomiali
  Richiami sulle funzioni polinomiali. Valutazione numerica di una funzione polinomiale. Metodo dalla definizione in forma canonica, metodo di Horner, complessità computazionale.
• Ve.03/10/25, ore 13:00-16:00: Aula G1
  La lezione di LAB non si è potuta tenere per chiusura del Dip. di Geologia per sciopero.
• Me.08/10/25, ore 12:00-14:00: Aula San Giacomo
  Metodo di Ruffini; esempio numerico di valutazione; valutazione numerica della derivata. Esempio numerico di valutazione della derivata. Errore Algoritmico nella valutazione polinomiale con Ruffini/Horner.
  Esercizio 3: Applicare l'analisi in avanti degli errori per determinare E_ALG con il metodo di Ruffini-Horner per la valutazione di a_0 + a_1 x.
  Stima di E_IN per il problema della valutazione polinomiale.
  Esercizio 4: Applicare l'analisi in avanti degli errori per determinare E_IN per la valutazione di a_0 + a_1 x.
  Esempio di valutazione di un polinomio lineare: esempio numerico ed errore inerente.
• Gi.09/10/25, ore 15:00-18:00: Aula G1
  Stima di E_IN per valutazione di polinomi espressi in una generica base. Base dei polinomi di Bernstein su un intervallo. Proprietà dei polinomi base di Bernstein. E_IN per l'esempio del polinomio lineare nella base di Bernstein ed esempio numerico. Polinomi e cambio di variabile. Cambio di variabile per polinomi nella base di Bernstein. Esempio numerico nella base di Bernstein con riduzione di E_IN dopo il cambio di variabile. Formula ricorrente per polinomi base di Bernstein. Algoritmo di valutazione (Alg.1) e considerazioni sulla stabilità (E_ALG). Esempio numerico di valutazione di un polinomio nella base di Bernstein con Alg.1.
• Ve.10/10/25, ore 13:00-16:00: Aula G1 Lezione di LABoratorio
  Esercitazione 2 Script, function, grafici e toolbox anmglib_5.0 per il disegno (function, grafici di funzioni, disegni di curve in forma parametrica, caricare e salvare dati da file, funzioni come curve, toolbox anmglib) (vedi Testo, File .zip e Slide in Download Materiale LAB).
  Svolti gli esercizi A.1 e A.2; lasciato per casa l'A.3, svolto A.4, ma lasciato da fare la seconda parte; lasciato B.1 da fare a casa, svolti insieme gli esercizi B.2 e B.3 e lasciato da completare il B.4.
• Me.15/10/25, ore 12:00-14:00: Aula San Giacomo
  Riprese alcune proprietà e l'algoritmo di valutazione (Alg.1), complessità computazionale. Algoritmo di valutazione di de Casteljau (Alg.2), complessità computazionale, stabilità. Esempio numerico di valutazione con Alg.2.
  Esercizio 5: Dato il polinomio p(x) di grado 2 nella base di Bernstein di coefficienti [2,-2,2] defininito in [0,1] valutarlo con Alg.2 nei punti [0, 1/4, 1/2, 3/4, 1].
• Gi.16/10/25, ore 15:00-18:00: Aula G1
  Suddivisione di una funzione polinomiale. Soluzione dell'Esercizio 5 e suddivisione in x=1/4. Formula per la derivata di polinomi base di Bernstein. Derivata di un polinomio nella base di Bernstein. Valutazione della derivata.
  Esercizio 6: Dato il polinomio p(x) di grado 2 nella base di Bernstein di coefficienti [2,-2,2] definito in [0,1] valutare la sua derivata prima nei punti [0, 1/4, 1/2, 3/4, 1].
  Presentazione delle slide Curve di Bézier e Grafica Vettoriale (vedi bezier_vector_graphics.pdf in Documenti).
• Ve.17/10/25, ore 13:00-16:00: Aula G1 Lezione di LABoratorio
  Esercitazione 3 Numeri Finiti e Trasformazioni Geometriche (sperimentazione con i numeri finiti, definizione e applicazione di trasformazioni geometriche nel piano) (vedi Testo, File .zip e Slide in Download Materiale LAB). Svolti gli esercizi A.1, A.2, A.3 e A.4; svolto l'esercizio B.1; lasciato come compito per casa il B.2. Gli esercizi B.3 e B.4 verranno ripresi e svolti la prossima esercitazione.
• Me.22/10/25, ore 12:00-14:00: Aula San Giacomo
  Ripreso e formulato algoritmo per la valutazione della derivata di un polinomio nella base di Bernstein. Primitiva o antiderivata di una funzione polinomialiale nella base di Bernstein e calcolo del suo integrale. Integrale di una funzione base di Bernstein.
  Esercizio 7: Dato il polinomio p(x) di grado 2 nella base di Bernstein di coefficienti [2,-2,2] definito in [0,1] determinare una sua primitiva e calcolare l'integrale fra 0 ed 1.
  Interpolazione Polinomiale
  Introduzione al problema di interpolazione polinomiale.
• Gi.23/10/25, ore 15:00-18:00: Aula G1
  Teorema di esistenza e unicità del polinomio interpolante: sistema lineare e matrice di Vandermonde. Esempi numerici. Interpolazione nella forma di Bernstein, soluzione via sistema lineare con matrice totalmente positiva. Esempio numerico. Interpolazione nella Forma di Lagrange: funzioni elementari di Lagrange.
  Ripresi e svolti insieme gli esercizi lasciati da fare a casa o lasciati da completare delle Esercitazioni 2 e 3 di LAB.
• Ve.24/10/25, ore 13:00-16:00: Aula G1 Lezione di LABoratorio
  Esercitazione 4 Funzioni Polinomiali e curve 2D (Curve di Bézier) (sperimentazione sulla valutazione polinomiale e disegno di curve di Bézier) svolti gli esercizi A.1, A.2, A.3, A.4, A.5 e lasciati A.6 e B.1 come compito per casa. Svolti gli esercizi B.2, B.3 e descritto come fare il B.4.
• Me.05/11/25, ore 12:00-14:00: Aula San Giacomo
  Complessità computazionale nella forma di Bernstein. Complessità computazionale nella forma di Lagrange.
  Valutazione polinomio nella base di Lagrange: prima e seconda forma baricentrica; complessità computazionale.
  Problema di interpolazione polinomiale di funzioni. Teorema sull'errore di interpolazione polinomiale di funzioni e Corollario. Esempioi su e^x e convergenza dell'interpolante all'aumentare del numero dei punti; esempio di Runge; distribuzione di Chebyshev e teorema di convergenza.
  Errore Inerente (condizionamento) per l'interpolazione polinomiale.
• Gi.06/11/25, ore 15:00-18:00: Aula G1
  Funzioni polinomiali a tratti: motivazioni, differenze con il modello polinomiale, regolarita' e flessibilita'. Interpolazione con funzioni polinomiali a tratti: interpolazione lineare a tratti C^0; risultato sulla convergenza e velicità di convergenza; interpolazione quadratica a tratti C^0; interpolazione cubica a tratti C^1 (interpolazione di Hermite).
  Ripresi e corretti gli esercizi A.5, A.6, B1 e B.4 dell'Esercitazione 4.
• Ve.07/11/25, ore 13:00-16:00: Aula G1 Lezione di LABoratorio
  Esercitazione 5 Interpolazione Polinomiale di dati, funzioni, punti e curve (sperimentazione sull'interpolazione polinomiale e polinomiale a tratti di dati, funzioni, punti e curve). Svolti gli esercizi A.1, B.1, A.2, A.3, B.2 (quest'ultimo neccesita di essere completato come codice e di fare un po' di sperimentazione). Nell'esercizio A.3 lo studente deve provare a realizzare la function polint_lagr_fun come indicato nel testo. Gli esercizi A.4, B.3 e B.4 verranno ripresi la prossima lezione di LAB. L'esercizio B.5 viene lasciato come compito per casa.
• Me.12/11/25, ore 12:00-14:00: Aula San Giacomo
  Calcolo della funzione polinomiale a tratti cubica C^1 di interpolazione nella base di Bernstein e sua valutazione. Teorema sull'errore di interpolazione a tratti cubica C^1 di una funzione (interpolazione di Hermite). Esempio.
  Integrazione Numerica
  Formule di quadratura di Newton-Cotes (formule interpolatorie nella forma di Lagrange su punti equispaziati); caso n=1 (trapezi), caso n=2 (Simpson). Errori di integrazione per trapezi e Simpson.
• Gi.13/11/25, ore 15:00-18:00: Aula G1
  Riprese formule dei Trapezi e Simpson; tabella coefficienti pesi per formule di quadratura per n=1:5; errori e generalizzazione per n pari ed n dispari. Grado di precisisone di una formula di quadratura. Errore inerente nelle formule di quadratura. Formule composte; formula composta dei Trapezi; errore e convergenza; esempio. Formula composta di Simpson; errore e convergenza.
  Esercizio 8: Si determini il passo da utilizzare nella formula di Simpson composta affinché l'integrale fra 0 ed 1 di 1/(1+x) sia approssimato alla tolleranza 0.5x10^-3.
  Estrapolazione di Richardson nel caso Trapezi Composto; cenno ai metodi adattivi; esempio.
• Ve.14/11/25, ore 13:00-16:00: Aula G1 Lezione di LABoratorio
  Ripresa e completata l'Esercitazione 5. L'esercizio A.3 lasciato da completare non è stato corretto perché non svolto da quasi nessuno. Svolti insiem gli esercizi A.4, B.3 e B.4. Discusso l'esercizio B.5 (che era stato lasciato per casa) e fatto svolgere/completare in aula.
  Esercitazione 6 Integrazione Numerica, Lunghezza ed Area di una curva (sperimentazione sui metodi di integrazione numerica e loro applicazioni per lunghezza ed area di curve nel disegno)
  Letta l'Esercitazione 6 e assegnato per casa l'esercizio B.4. L'Esercitazione 6 verrà ripresa e svolta la prossima lezione di LAB.
• Ve.21/11/25, ore 13:00-16:00: Aula G1 Lezione di LABoratorio
  Esercitazione 6
  Svolti gli esercizi A.1 e A.2. Nozioni su lunghezza ed area di una curva in forma parametrica; nozioni sul disegno vettoriale. Svolti gli esercizi B.1 e B.2. Visto l'esercizio B.3 sulla modellazione procedurale di una forma 2D; l'esercizio non è stato completato, completarlo come compito per casa. L'esercizio B.4 è stato spiegato e svolto in aula dagli studenti a gruppi; si &egarve verificato chi sia riuscito a completarlo.

• Modulo 2
• Me.19/11/25, ore 12:00-14:00: Aula San Giacomo
  Metodi numerici per equazioni non lineari
  Introduzione al problema della determinazione delle radici di un'equazione non lineare; teorema di Bolzano; molteplicità di una radice; principi generali dei metodi iterativi (convergenza, consistenza, velocità di convergenza); errore inerente. Metodo di bisezione: ipotesi di applicabilità, procedura iterativa e criteri di arresto. Metodo della falsa posizione. Definizione dell'ordine di convergenza, ordine di convergenza del metodo di bisezione.
• Gi.20/11/25, ore 15:00-18:00: Aula G1
  Metodi di iterazione funzionale. Metodo del punto fisso: formulazione dell'iterazione, interpretazione geometrica, dimostrazione del teorema di convergenza e del teorema sull'ordine di convergenza. Metodo di Newton. Derivazione della formula iterativa, interpretazione geometrica, teorema di convergenza e analisi dell'ordine di convergenza nel caso di radici semplici e multiple. Discussione sui criteri di arresto: incremento relativo, residuo e massimo numero di iterazioni. Discussione di alcune situazioni problematiche per il metodo di Newton, individuazione preliminare della radice mediante il metodo di bisezione e successivo miglioramento dell'accuratezza tramite il metodo di Newton.
• Me.26/11/25, ore 12:00-14:00: Aula San Giacomo
  Metodo delle secanti: formula iterativa, interpretazione geometrica e teorema di convergenza. Applicazioni del calcolo degli zeri di polinomi: determinazione della posizione di un punto rispetto a una curva (interno/esterno), ricerca dei punti estremi di una curva e calcolo della distanza punto-curva. Introduzione al calcolo degli zeri di un polinomio tramite separazione delle radici e successiva applicazione di metodi numerici appropriati per l'individuazione delle soluzioni.
• Gi.27/11/25, ore 15:00-18:00: Aula G1 Lezione di LABoratorio
  Esercitazione 7 Equazioni non lineari, Intersezione di curve 2D (sperimentazione su metodi per la ricerca di radici di equazioni e loro applicazione nel disegno). Sono stati svolti gli esercizi A.1, A.2 (la parte sul metodo delle secanti è da completare autonomamente) A.3 e B.1. Gli esercizi A.1, A.2 e A.3 richiedono un po' di sperimentazione aggiuntiva, lasciata come lavoro per casa. Assegnato per casa l'Esercizio B.2. Gli esercizi B.2 e B.3 saranno ripresi e approfonditi durante la prossima lezione di LAB.
• Ve.28/11/25, ore 13:00-16:00: Aula G1
  Lezione annullata causa sciopero.
• Me.03/12/25, ore 12:00-14:00: Aula San Giacomo
  
• Gi.04/11/25, ore 15:00-18:00: Aula G1
  
• Ve.05/11/25, ore 13:00-16:00: Aula G1
  Esercitazione 7

• Indicazioni principali
• FAQ sul compito d'esame

• Dispensa del Corso (file .pdf)
• anmglib_user_guide.pdf (Guida al toolbox anmglib_5.0)
  
• IEEE Standard 754, 1985 (file .pdf)
• IEEE Standard 754, 2008 (file .pdf)
• What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic, by David Goldberg (file .pdf)
• bezier_vector_graphics.pdf Slide su 'Curve di Bézier e Grafica Vettoriale' (file pdf)

• Esercitazione 1
  • mnc2526_es1.pdf (Testo Esercitazione 1)
  • mnc2526_es1.zip (Script MATLAB per Esercitazione 1)
  • LAB1_matlab_Iparte.pdf Slide su 'MATLAB/Octave I parte' (file pdf)
• Esercitazione 2
  • mnc2526_es2.pdf (Testo Esercitazione 2)
  • mnc2526_es2.zip (Script MATLAB per Esercitazione 2)
  • LAB2_matlab_IIparte.pdf Slide su 'MATLAB/Octave II parte' (file pdf)
  • anmglib_5.0.zip (toolbox anmglib 5.0)
• Esercitazione 3
  • mnc2526_es3.pdf (Testo Esercitazione 3)
  • mnc2526_es3.zip (Script MATLAB per Esercitazione 3)
  • LAB3_finiti_trasgeom.pdf Slide su 'Numeri Finiti e Trasformazioni Geometriche' (file pdf)
    
• Esercitazione 4
  • mnc2526_es4.pdf (Testo Esercitazione 4)
  • mnc2526_es4.zip (Script MATLAB per Esercitazione 4)
  • LAB4_poly_curve2d.pdf Slide su 'Funzioni polinomiali e curve 2D (Curve di Bézier)' (file pdf)
    
• Esercitazione 5
  • mnc2526_es5.pdf (Testo Esercitazione 5)
  • mnc2526_es5.zip (Script MATLAB per Esercitazione 5)
  • LAB5_curve2d_interp.pdf Slide su 'Curve di Bézier e Bézier a tratti di interpolazione' (file pdf)
    
• Esercitazione 6
  • mnc2526_es6.pdf (Testo Esercitazione 6)
  • mnc2526_es6.zip (Script MATLAB per Esercitazione 6)
  • LAB6_area_lung_curve2d.pdf Slide su 'Lunghezza ed Area di Curve di Bézier, Bézier a tratti e Bézier a tratti multi-grado' (file pdf)
    
  • anmglib_5.0.zip (toolbox anmglib 5.0; versione modificata)
• Esercitazione 7
  • mnc2526_es7.pdf (Testo Esercitazione 7)
  • mnc2526_es7.zip (script MATLAB per Esercitazione 7)
  • LAB7_intersez_curve2d.pdf Slide su 'Equazioni non lineari, Intersezione di Curve 2D' (file pdf)
    

• ANSI/IEEE Std 754-1985 Wikipedia
• MATLAB The Language of Technical Computing
• Octave home page
• Vector Graphics - Wikipedia

• Vedi: modalità d'esame