Massimo  Ferri (*)  -   Carlo Gagliardi (**)
Ricordo  di  MARIO  PEZZANA

Mario Pezzana è morto il 13 aprile 1999. Persona schiva e riservata, era poco propenso a parlare di sé, e ben poco ci resta di documentato sulla sua vita e sulla sua attività  prima del suo arrivo a Modena  (a parte, ovviamente, le pubblicazioni).
Era nato a Genova il 4 febbraio 1922. Laureatosi in Matematica e Fisica all’Università di Genova il 24 febbraio 1954, prestò servizio come Assistente straordinario di Analisi fino all’ottobre del 1959 presso la stessa Università. Proseguì  quindi la sua attività in Svizzera con un periodo di insegnamento nella scuola media superiore, nel corso del quale ebbe contatti e collaborazioni con ricercatori del  CERN di Ginevra.
Nel 1963 rientrò nel mondo accademico come Assistente di ruolo di Geometria presso l’Università di Bologna.  Nel 1968 conseguì  la  Libera Docenza e nel 1970 divenne Professore Aggregato. Di quel periodo ci restano  le memorie dei colleghi, che lo ricordano come persona attivissima a livello didattico, organizzativo e soprattutto scientifico; in anni difficili per un’università che stava evolvendo tumultuosamente, era il riferimento per delicate mediazioni fra i docenti e fra docenti e studenti. Negli stessi anni conobbe Luigi Cavalieri D’Oro (anch’egli recentemente scomparso), con cui avviò una lunga e proficua collaborazione didattica.
Vincitore di un concorso a cattedra di Geometria del 1970, nel 1971 venne chiamato come professore di prima fascia all’Università di Modena. Qui insegnò prima agli allievi ingegneri, poi al Corso di Laurea in Matematica, tenendo l’insegnamento di Geometria Differenziale o di Topologia Algebrica e, ad anni alterni, di Geometria I e II. In questo periodo fu tra i proponenti del Dottorato di Ricerca in Matematica, in consorzio tra le Università di Firenze, Modena, Siena, Perugia e Cagliari; fece parte ininterrottamente del Collegio dei Docenti. È in questi anni che abbiamo avuto la fortuna di conoscerlo, prima come studenti e quindi come allievi (i primi, in ordine di tempo, della scuola che si stava formando attorno a lui).
Chiese il collocamento a riposo nel 1992. Si ritirò nella sua Liguria, nei pressi di Chiavari, dove comunque non cessò mai di impegnarsi nella sua unica passione: la Matematica.  Poco dopo il decesso, è stato seguito dalla moglie; lasciano un unico figlio.
La produzione scientifica di Mario Pezzana si apre nel 1954 con un lavoro tratto dalla tesi di laurea, in cui si occupa di differenziali asintotici. 
Pezzana pubblica nuovamente in periodici matematici a partire dal 1965. Le sue ricerche sono ora rivolte ad argomenti di Geometria differenziale, con particolare riguardo ad un tema di ricerca coltivato da alcune Scuole, ed in particolare da quella di Mario Villa: le trasformazioni puntuali. Queste sono trasformazioni di uno spazio proiettivo reale in sé, descritte mediante funzioni analitiche. L’interesse è focalizzato sull’approssimazione locale dei vari ordini in un punto regolare P di una trasformazione. Nel primo ordine, si tratta di omografie. Nel secondo ordine l’approssimazione è determinata dalle rette “caratteristiche”, cioè quelle le cui immagini hanno, nel punto trasformato di P, un flesso. Lo studio di tali trasformazioni fa largo uso del “riferimento mobile”, con i metodi introdotti da Boruvka-Čech.
Pezzana studia in diversi lavori le trasformazioni per le quali le direzioni delle rette caratteristiche sono disposte in particolari strutture. In particolare, estende alla dimensione n un bel risultato di Luigi Muracchini. Un risultato sorprendente di Pezzana è una caratterizzazione in cui ogni trasformazione puntuale fra piani è riconosciuta come corrispondenza fra proiezioni dei punti di una superficie da centri diversi. Il risultato generalizza quindi il ben noto teorema di caratterizzazione delle omografie come composizione di proiezioni e sezioni; infatti nel caso delle omografie la superficie risulta del primo ordine.
Una svolta nella sua attività scientifica si ha con il Convegno Internazionale di Geometria Differenziale, tenutosi a Bologna nel settembre del 1967, durante il quale viene a contatto con diversi ricercatori di livello internazionale. Durante il convegno Pezzana presenta il suo primo lavoro sulle varietà differenziabili, di cui parleremo fra breve. 
Il nuovo interesse per le varietà s’intreccia con il filone delle trasformazioni puntuali in un articolo del 1969, ispirato da ricerche di George Vranceanu. In questo lavoro viene definito, per ogni trasformazione puntuale, un particolare campo tensoriale che la caratterizza. Questo viene poi riconosciuto come tensore metrico di una varietà riemanniana a tensore di Riemann identicamente nullo. 
Nello stesso periodo Pezzana s’interessa anche alla teoria dei grafi, ed è forse l’accostamento di topologia combinatoria e di geometria delle varietà a suggerirgli i temi su cui avvierà la sua Scuola. L’articolo presentato al Congresso di Bologna contiene la prima formulazione di un’idea che si rivelerà estremamente feconda e in anticipo sui tempi: atlanti minimali di varietà compatte. Questo tema di ricerca si dipana in una serie di pubblicazioni che si intercalano con quelle del filone precedente. Il problema affrontato da Pezzana è sostanzialmente il seguente. Qual è il minimo numero di carte per un atlante di una varietà compatta n-dimensionale, dove carte, atlante e varietà sono soggetti a ben circostanziati criteri?
Intimamente correlata con tale studio è la nozione di triangolazione contratta, che da una parte permette di costruire atlanti minimali, dall’altra produce una rappresentazione combinatoria di notevole successo: la cristallizzazione.
Un complesso contratto di dimensione n può essere pensato come un complesso pseudosimpliciale K (nel senso di Hilton-Wylie, An introduction to algebraic topology – Homology theory, Cambridge Univ. Press 1960, p. 49), avente esattamente n+1 vertici.   Pezzana provò che ogni PL varietà compatta e senza bordo di dimensione n ammette una triangolazione contratta, (cioè può essere triangolata mediante un  complesso contratto). Inoltre le n+1 stelle aperte dei suoi vertici costituiscono un atlante minimale, in cui le carte e le componenti connesse delle loro intersezioni sono n-dischi.  Il grafo duale  di K,  colorato sugli spigoli in maniera naturale con n+1 colori, venne detto   struttura cristallina o cristallizzazione.  Da essa si possono agevolmente ricostruire la triangolazione contratta e l’atlante minimale associato:  nasce quindi, come conseguenza dei risultati fin qui riassunti, una nuova rappresentazione delle varietà  lineari a tratti, valida in ogni dimensione e totalmente combinatoria. 

Si noti come questa problematica preceda di diversi anni un filone parallelo di ricerca su triangolazioni con numero minimo di vertici (si veda, per esempio, “The 9-vertex complex projective plane” di W. Kühnel e T.F. Banchoff, Math. Intelligencer 5(3) (1983), 11-22). Inoltre le cristallizzazioni si inseriscono a pieno titolo fra le diverse rappresentazioni di varietà (soprattutto 3-dimensionali) con cui si aggrediscono tuttora i problemi di classificazione: spezzamenti e diagrammi di Heegaard, rivestimenti ramificati, link numerati, spine standard. Con queste tecniche di rappresentazione, le cristallizzazioni hanno interazioni ora ben note, e se ne distinguono per il carattere spiccatamente combinatorio ed n-dimensionale. Esse costituiscono il primo chiaro legame fra topologia geometrica  e teoria dei grafi.
Mario Pezzana era senz’altro più ambizioso per i suoi allievi che per sé; produceva a ritmo incessante idee nuove, accontentandosi di fermarne solo alcune nella bibliografia riportata in calce. Incidentalmente, l’introduzione del concetto di cristallizzazione non si può trovare in alcun articolo di Pezzana. Infatti regalò l’idea – certo in forma embrionale – ad uno di noi. Ricordiamo bene il giorno in cui entrò nello studio e disse: “Ferri, Lei che è appassionato ai grafi: ho un’idea che Le piacerà”! 
La seconda parte della bibliografia segnala la produzione sulle cristallizzazioni e su argomenti connessi, dovuta in parte ai suoi allievi (di prima o seconda generazione), ma anche a ricercatori di diverse parti del mondo (Spagna, Slovenia, Brasile, Messico, Corea, Giappone, USA), che hanno derivato la loro ricerca da quella della scuola di Pezzana  o  vi sono in qualche modo confluiti.

Bibliografia

•	M. Pezzana, Sulla differenziabilita` delle funzioni di piu` variabili reali, Rend. Sem. Mat. Univ. Padova  23 (1954), 299-309 .
•	M. Pezzana, Trasformazioni puntuali tra due Sn a configurazione caratteristica armonica, Boll. Un. Mat. Ital. 20 (1965), 344-350.
•	M. Pezzana, Un tipo di corrispondenza tra spazi che ammettono in ogni coppia soltanto tre direzioni caratteristiche distinte complanari, Boll. Un. Mat. Ital. 20 (1965), 471-480.
•	M. Pezzana, Una costruzione delle trasformazioni puntuali piane in un loro insieme di regolarita` e sue applicazioni, Boll. Un. Mat. Ital. 20 (1965), 481-485.
•	M. Pezzana, Trasformazioni puntuali tra due S3 a configurazione caratteristica quasi armonica I, Boll. Un. Mat. Ital. 21 (1966), 161-167.
•	M. Pezzana, Trasformazioni puntuali tra due S3 a configurazione caratteristica quasi armonica II, Boll. Un. Mat. Ital. 21 (1966), 251-258.
•	M. Pezzana, Sulle trasformazioni puntuali piane che si possono iperosculare in ogni coppia regolare con una trasformazione cubica I, Boll. Un. Mat. Ital. 21 (1966), 395-405.
•	M. Pezzana, Sulle trasformazioni puntuali piane che si possono iperosculare in ogni coppia regolare con una trasformazione cubica II, Boll. Un. Mat. Ital. 22 (1967), 73-82.
•	M. Pezzana, Atlanti minimali di varieta` differenziabili compatte,  Boll. Un. Mat. Ital. 1 (1968), 749-752.
•	M. Pezzana, Osservazioni sugli elementi caratteristici di una trasformazione puntuale tra due Sn  curve di un En a curvatura nulla, Boll. Un. Mat. Ital. 2 (1969), 403-408.
•	M. Pezzana, Derivate di Lie e invarianti delle  trasformazioni puntuali fra spazi euclidei, Boll. Un. Mat. Ital. 2 (1969), 393-402.
•	M. Pezzana, Alcune proprietà topologiche delle sfere e dei dischi n-dimensionali,  Boll. Un. Mat. Ital. 2 (1969), 215-221.
•	M. Pezzana, Alcune proprietà  topologiche delle V3 differenziabili,  Boll. Un. Mat. Ital. 2 (1969), 208-214.
•	M. Pezzana, Alcune osservazioni sui grafi piani, Atti Accad. Sci. Ist. Bologna  6 (1968-69), 194-212.
•	M. Pezzana, Fasci associati ad atlanti minimali, Boll. Un. Mat. Ital. 3 (1970), 275-282.
•	M. Pezzana, Sulla classificazione  delle V3 differenziabili compatte,  Boll. Un. Mat. Ital. 3 (1970), 269-274.
•	M. Pezzana, Gruppi di trasformazioni ricoprenti e varieta` differenziabili omografiche compatte,  Atti Sem. Mat. Fis. Univ. Modena 23  (1974), 27-43.
•	M. Pezzana, Sulla struttura topologica delle varieta`  compatte,  Atti Sem. Mat. Fis. Univ. Modena 23 (1974), 269-277.
•	M. Pezzana, Compattificazione di Rn e varieta` topologiche compatte triangolabili. Atti Sem. Mat. Fis. Univ. Modena 23 (1974), 278-285. 
•	M. Pezzana, Diagrammi di Heegaard e triangolazione contratta, Boll. Un. Mat. Ital. 12, Suppl. Fasc. 3 (1975), 98-105.
•	M. Pezzana - M. Ferri - C. Gagliardi, Omomorfismo di Mayer-Vietoris per varieta‘  tridimensionali, Boll. Un. Mat. Ital. 12, Suppl. Fasc. 3 (1975), 148-157.
•	L. Cavalieri d’Oro - M. Meschiari - M. Pezzana, Linearizzazione delle varieta` algebriche proiettive e delle loro polarita`, Atti Mem. Acc. Naz. Sci. Lett. Arti Modena 20 (1978), 75-100.
•	A. Cavicchioli - L. Grasselli - M. Pezzana, Su una decomposizione normale per le  n-varietà chiuse, Boll. Un. Mat. Ital. 17-B (1980), 1146-1165.
•	L. Cavalieri d’Oro - M. Pezzana,  Corso di Geometria, Vol.I-II, Esculapio, Bologna 1978-80.
    
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(*)  Dipartimento di Matematica, Università di Bologna, Piazza di Porta S. Donato 5, I-40126 BOLOGNA (Italia)
(**) Dipartimento di Matematica, Università di Modena e Reggio Emilia, Via Campi 213-B,  I-41100 MODENA (Italia)