Metodi Avanzati di Analisi Numerica
Docenti: Michele Ruggeri (m.ruggeri@unibo.it) e Valeria Simoncini (valeria.simoncini@unibo.it)

Le equazioni alle derivate parziali (PDEs) sono il linguaggio con cui vengono rappresentati mediante modelli matematici molti fenomeni continui, quali la diffusione, le onde, l'elasticità, i fluidi, ecc. Ma per passare dalla formulazione matematica ad una simulazione numerica, servono strumenti rigorosi che uniscano analisi funzionale, approssimazione e algebra lineare numerica. Questo corso si concentra sui fondamenti teorici dell'analisi numerica di PDEs: dalla formulazione variazionale ai metodi agli elementi finiti, dallo studio degli spazi di Sobolev all'analisi dell'errore, dalla rappresentazione del problema discreto alla affidabilità teorica e computazionale nella risoluzione del problema algebrico associato. Il corso è pensato per studenti interessati a una comprensione teorica e strutturata dei metodi numerici per PDEs, con l'obiettivo di fornire solide basi in argomenti rilevanti e all'avanguardia nell'ambito della matematica applicata.

a.a. 2025-2026. Corso opzionale della Laurea Magistrale in Matematica - Bologna


6 crediti (5cfu frontali, 40h; 1cfu lab, 15h)
Lezioni: I semestre


Orari del Corso (inizio lezioni: xx/09/2025 )

martedi 9:00-11:00
giovedi 11:00-13:00


Eventuali variazioni di orario saranno segnalate in fondo alla pagina.

Orario di Ricevimento Studenti

su appuntamento.

Programma

I docenti prevedono l'alternanza di lezioni delle due Parti 1 e 2, in modo da sincronizzare i contenuti.

Parte 1: Metodi di discretizzazione di equazioni differenziali. Docente: Prof. M. Ruggeri


* Problemi differenziali con valori al contorno :
- richiami di PDEs ellittiche (problema di Poisson e sue minime generalizzazioni),
- richiami di analisi funzionale (spazi di Sobolev, Lax Milgram, ...) finalizzati alla formulazione variazionale di problemi ellittici,
- teoria dell'approssimazione in spazi di Sobolev: Lemma di Deny-Lions e Lemma di Bramble-Hilbert,
- interpolazione di Lagrange ed errore di interpolazione in spazi di Sobolev,
- metodo di Galerkin per problemi ellittici e stime dell'errore: Lemma di Céa,
- formulazione mista di problemi ellittici e sua discretizzazione di Galerkin.

Parte 2: Algebra Lineare Numerica. Docente: Prof. V. Simoncini


* Metodi iterativi per sistemi lineari di grandi dimensioni
- Spazi di Krylov e generalità sui metodi di tipo proiettivo;
- CG, MINRES, GMRES: derivazione algoritmica e proprietà di convergenza con dipendenza dalla discretizzazione;
* Metodi di accelerazione
- Strategie di preconditionamento: fattorizzazioni incomplete, Algebraic Multigrid (AMG), operator preconditioning;
- Varianti inesatte e strategie di Sketching (randomized NLA);
* Appendice
- Equazioni matriciali per Equazioni differenziali;




Dettaglio

( Registro delle lezioni completo del corso per l'a.a. 202x-202x, 55 ore.)

Il corso prevede 55 ore. L'attività didattica alternerà lezioni frontali (con lucidi/tavoletta grafica/lavagna) da parte di entrambi i docenti, con applicazioni immediate al computer in ambiente Matlab con supervisione del docente, in cui gli studenti saranno incoraggiati ad implementare quanto appena visto a lezione.

Prerequisiti:

Concetti fondamentali acquisiti durante i corsi di analisi matematica e calcolo numerico della laurea triennale, Conoscenze di PDEs e di analisi funzionale sono utili, ma quello che serve verrà fornito dal corso.
Conoscenze dell'ambiente computazionale Matlab.


Testi di Consultazione:

- "Iterative methods for sparse linear systems", Y. Saad, SIAM 2003 (2nd edition), libro online
- "Recent computational developments in Krylov subspace methods for linear systems", Valeria Simoncini and Daniel B. Szyld, Num. Linear Algebra w/Appl, v. 14, n.1 (2007), pp.1-59. (2007). articolo (versione degli autori)
- "Mixed Finite Element Methods and Applications", Daniele Boffi, Franco Brezzi, Michel Fortin: Springer, 2013 libro Springer
- "Mathematical Theory of Finite Elements", Leszek F. Demkowicz, SIAM, 2023 libro SIAM
- "Numerical Approximation of Partial Differential Equations", Alfio Quarteroni, Alberto Valli: Springer, 1994 libro Springer
- Finite difference and Spectral Methods for ordinary and partial differential equations, N. Trefethen.
- "An analysis of the Finite Element Method", G. Strang, G. J. Fix, Prentice-Hall Inc, 1973
- " Finite Elements and Fast Iterative Solvers with applications in incompressible fluid dynamics", Howard Elman, David Silvester, and Andy Wathen, Oxford University Press, 2nd edition, 2014. libro OUP
- "Randomized numerical linear algebra: Foundations and algorithms" Per-Gunnar Martinsson e Joel A. Tropp, Acta Numerica (2020), pp. 403-572. articolo
- Altre refs e materiale di studio verranno aggiunti durante il corso.

Materiale del corso :


- Appunti delle lezioni su Virtuale
- Appunti: Autovalori di matrice di rigidezza e di massa.
- Lucidi: Precondizionamento

Esercitazioni pratiche:


Esercitazione dell'11/11/2025: Testo , mmread.m , tols2000.mtx , ellipt.mat .
Esercitazione dell'25/11/2025: Testo , mio_cg.m , pacchetto funzioni 2D prof. Ruggeri (su virtuale)
Esercitazione dell'11/12/2025: Testo ,

Appelli:


Modalità d'esame:

L'esame è costituito da due parti: i) una prova orale sul contenuto del corso, ii) la presentazione di un articolo scientifico di approfondimento/avanzamento dei contenuti del corso, deciso insieme ai docenti. La presentazione può includere aspetti computazionali, ma non è obbligatorio.

Articoli scientifici per l'esame :



Modulo NLA:

Harmonic Ritz values , Paige, Parlett e van der Vorst
In questo articolo viene coniato il termine di Harmonic Ritz values per gli zeri del polinomio residuale di MINRES/GMRES, e sviluppato il contesto.

MINRES Convergenza superlineare di MINRES e qualche stima (cita altre fonti)
Rassegna e studio della convergenza superlineare di MINRES (e CG), rimandando alla letteratura per approfondimenti.

Peaks and plateaux Cullum e Greenbaum (fino a sezione 4 esclusa)
In questo articolo viene analizzata in dettaglio la relazione algebrica tra GMRES e FOM, in particolare per il residuo, al fine dello studio della loro convergenza quando l'origine e' vicina alle informazioni spettrali.

LUinc Meijerink and H. A. van der Vorst
Questo articolo contiene tra i primi risultati sulla esistenza di LU incomplete, che sono tutt'ora allo stato dell'arte.

Costante di Crouzeix e suoi sviluppi per l'analisi di ||p(A)||
Questi articoli discutono recentissimi sviluppi di approssimazione complessa relativi a stime della norma di funzioni di matrici, e ne analizzano le possibili applicazioni per nello studio della convergenza di metodi di Krylov.

E1 Mark Embree.
L'articolo presenta una rassegna classica di stime per GMRES, e individua esempi in cui ognuna di queste stime fornisce una buona/pessima descrizione della convergenza di GMRES.

E2. Recenti sviluppi, Mark Embree.
L'articolo esplora una stima classica (di H. Elman) per la convergenza di GMRES, alla luce dei piu' recenti contributi di analisi complessa.

Sketching 1. Sketched large scaled eigenproblems
Questo articolo presenta alcuni algoritmi proiettivi di Krylov con procedure di accelerazione di sketching, applicato a sistemi lineari ed al problema agli autovalori.

Sketching 2. Sketched Krylov decomposition (fino a sez.8 esclusa)
In questo articolo viene introdotta una nuova rappresentazione dello Sketching di spazi di Krylov mediante decomposizioni di Krylov. Questo permette di formalizzare completamente il comportamento di procedure di sketching in questo ambito.

Equivalent Operator Preconditioning 1. Manteuffel etal, 1.
In questo articolo vengono richiamati alcuni metodi iterativi di base, e vengono studiati operatori spettralmente equivalenti per precondizionare (discretizzazioni di) equazioni ellittiche autoaggiunte.

Equivalent Operator Preconditioning 2. Manteuffel etal, 2.
In questo articolo vengono studiati, teoricamente e sperimentalmente, preconditioning operators per l'equazione di diffusione-convezione.

Preconditioning discretizations of systems of partial differential equations . Mardal and Winther.
Questo articolo di rassegna presenta il precondizionamento come operatore nel continuo, e sviluppa il passaggio da continuo a discreto per sistemi di equazioni differenziali (formulazioni miste, Stokes, ecc.)

A preconditioned iterative method for saddlepoint problems . Rusten and Winther
Questo articolo presenta per la prima volta un precondizionatore orientato al problema saddle point (misti per operatori ellittici e per Stokes), includendo stime spettrali ed equivalenza degli operatori.

Theory of Inexact Krylov Subspace Methods and Applications to Scientific Computing . Simoncini and Szyld
Questo articolo presenta la giustificazione teorica per la possibilita' di lavorare con matrici (operatori) inesatte nella risoluzione di sistemi lineari mediante metodi di Krylov mantenendo la convergenza inalterata.



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