Ricevimento studenti: Mercoledì dalle 15 alle 17 presso il Dipartimento di Matematica, ufficio 3 livello I.

Elenco degli appelli per l'A.A. 2014/2015:

Primo appello (orale, giugno 2015, aula da definire);

Secondo appello (orale, giugno 2015, aula da definire);

Terzo appello scritto (orale, luglio 2015, aula da definire);

Quarto appello autunnale (orale, settembre 2015, aula da definire); 

Quinto (orale, gennaio 2016, aula da definire);

Sesto (orale, febbraio 2016, aula da definire).

Si tratta di un calendario formale. Le date verranno fissate in base alle esigenze degli studenti e dei docenti

Il corso è suddiviso in due moduli da 3 CFU ciascuno svolti dai proff. Fausto Ferrari e Francesco Uguzzoni. Per informazioni inerenti il modulo del prof. Francesco Uguzzoni sulla teoria del grado, si invita a consultare direttamente il docente o a consultare la sua pagina web.

L'esame prevede due prove orali, una sulla parte di programma svolta con il prof. Ferrari, l'altra sulla parte di programma svolta con il prof. Uguzzoni. Gli studenti possono decidere di sostenere le due prove indipendentemente l'una dall'altra contattando direttamente il docente interessato. Il voto finale dell'esame è unico e sarà ottenuto considerando la media dei risultati conseguiti nelle due prove, con eventuale approssimazione per eccesso del risultato ottenuto dopo il calcolo della media.

Per la parte inerente il modulo del prof. Fausto Ferrari (equazioni a derivate parziali non lineari) le informazioni principali sono reperibili su questa pagina web.


Materiale didattico A.A.14/15

Il docente, durante le lezioni, proporrà agli studenti alcuni esercizi da svolgere come compito per casa. Lo svolgimento di alcuni dei suddetti esercizi potrà essere richiesto durante lo svolgimento dell'esame. Durante il periodo delle lezioni e in ogni caso prima dell'esame, gli studenti sono invitati a consultare il docente del modulo in merito allo svolgimento dei suddetti esercizi, qualora incontrino difficoltà nel loro svolgimento.  Di seguito l'elenco aggiornato degli esercizi proposti.


Modalità d'esame relative al modulo del prof. Ferrari. Qualche giorno prima della prova lo studente consegnerà al docente lo svolgimento degli esercizi proposti a lezione. Durante la prova d'esame il docente potrà chiedere allo studente di ripetere lo svolgimento degli esercizi svolti. Durante la prova verranno poi posti quesiti sugli argomenti svolti a lezione. Il colloquio avrà una durata compresa tra i 20 e i 30 minuti.

D'accordo con gli studenti che frequentano, a partire dal 20 aprile 2015 la lezione di analisi non lineare  inizierà alle ore 10 e durerà 3 ore (10-13).

Materiale riguardante la stima L^infty locale, parte finale dell'ultima lezione

Esercizi proposti nelle lezioni del prof. Ferrari:

 23/02/2015 (i) provare l'esistenza e l'unicità della soluzione di u''=0, in ]-1,1[, con u(-1)=2 e  u(1)=1. (ii) determinare l'espressione del p-Laplaciano per funzioni radiali.

 02/03/2015 (i) provare il principio di massimo forte per le funzioni armoniche.

 16/03/2015 (i) provare che P^+(S)=-P^-(-S). (ii) Provare che M^-=P^-

 23/03/2015 (i) provare che l'operatore P^+ è convesso e che l'operatore P^- è concavo.

30/03/2015 (i) provare le proprietà principali di \underline(S)(\lambda,\Lambda, f) e \overrline(S)(\lambda,\Lambda, f).

13/04/2015 (i) provare la disuguaglianza tra media geometrica e media aritmetica. Provare poi che se A e B sono matrici simmetriche semidefinite positive allora det(A)det(B)<=(Tr(AB)/n)^n   avendo compreso che la disuguaglianza vale anche se AB non è, in generale, simmetrica (suggerimento: provare prima che se A è simmetrica e semidefinita positiva allora esiste la matrice radice quadrata). (ii) provare che se D^2u(y)\leq 0 in \Gamma^+, allora Du(y)-\epsilon y è 1-1.

20/04/2015 (i) provare l'esistenza di iperpiani supportanti per funzioni convesse (usare il Teorema Hahn-Banach). (ii) Provare che se u è soluzione viscosa di Tr(AD^2u)\geq=f, allora il Teorema di Alexandroff Bakelman Pucci, nella versione per operatori uniformemente ellittici, assume la stessa forma dell'enunciato formulato per soluzioni di classe C^2 che soddisfano Tr(AD^2u)\geq=f.

27/04/2015 (i) dimostrare la disuguaglianza di Harnack per funzioni armoniche. (ii) provare la disuguaglianza di Harnack su un cubo di lato r conoscendo la disuguaglianza su un cubo di lato 1/2. (iii) verificare che è sufficiente assumere che inf_{Q_(1/4)}u<=1 e ||f||_{L^n(Q_{4\sqrt{n}}}<=\epsilon e poi sapendo che si può dimostrare che ||u||_{L^{p_0}(Q_{1/4})}<=C=C(\lambda,\Lambda,n) allora si dimostra la disuguaglianza di Harnack debole e se sup_{Q_{1/4}}u<=C=C(\lambda,\Lambda,n) allora si ottiene la stima L^\infty locale.

04/05/2015 (i) provare che dalla disuguaglianza di Harnack discente il seguente teorema di tipo Liouville: se u\in S(0) in R^n,  limitata, allora u costante. (ii) Provare che se vale la disuguaglianza di Harnack, allora vale il principio del massimo forte.

11/05/2015 (i) rappresentazione delle funzioni L^p per mezzo della funzione distribuzione. (ii) come dedurre che |{u>t}intersecato Q|<dt^(-\eta) per ogni t>0 nel teorema H-C.