Ricevimento studenti:
Mercoledì dalle 15 alle 17 presso il Dipartimento di
Matematica, ufficio 3 livello I.
Elenco degli appelli
per l'A.A. 2014/2015:
Primo appello (orale, giugno
2015, aula da definire);
Secondo appello (orale, giugno
2015, aula da definire);
Terzo appello scritto (orale,
luglio 2015, aula da definire);
Quarto appello autunnale (orale,
settembre 2015, aula da definire);
Quinto (orale, gennaio 2016,
aula da definire);
Sesto (orale, febbraio 2016, aula
da definire).
Si tratta di un calendario
formale. Le date verranno fissate in base alle esigenze degli
studenti e dei docenti
Il corso è suddiviso in due
moduli da 3 CFU ciascuno svolti dai proff. Fausto Ferrari e
Francesco Uguzzoni. Per informazioni inerenti il modulo del
prof. Francesco Uguzzoni sulla teoria del grado, si invita a
consultare direttamente il docente o a consultare la sua pagina
web.
L'esame prevede due prove orali,
una sulla parte di programma svolta con il prof. Ferrari,
l'altra sulla parte di programma svolta con il prof. Uguzzoni.
Gli studenti possono decidere di sostenere le due prove
indipendentemente l'una dall'altra contattando direttamente il
docente interessato. Il voto finale dell'esame è unico e sarà
ottenuto considerando la media dei risultati conseguiti nelle
due prove, con eventuale approssimazione per eccesso del
risultato ottenuto dopo il calcolo della media.
Per la parte inerente il modulo
del prof. Fausto Ferrari (equazioni a derivate parziali non
lineari) le informazioni principali sono reperibili su questa
pagina web.
Materiale didattico A.A.14/15
Il docente, durante le lezioni, proporrà agli studenti alcuni
esercizi da svolgere come compito per casa. Lo svolgimento di alcuni
dei suddetti esercizi potrà essere richiesto durante lo svolgimento
dell'esame. Durante il periodo delle lezioni e in ogni caso prima
dell'esame, gli studenti sono invitati a consultare il docente del
modulo in merito allo svolgimento dei suddetti esercizi, qualora
incontrino difficoltà nel loro svolgimento. Di seguito
l'elenco aggiornato degli esercizi proposti.
Modalità d'esame relative al modulo del prof. Ferrari. Qualche
giorno prima della prova lo studente consegnerà al docente lo
svolgimento degli esercizi proposti a lezione. Durante la prova
d'esame il docente potrà chiedere allo studente di ripetere lo
svolgimento degli esercizi svolti. Durante la prova verranno poi
posti quesiti sugli argomenti svolti a lezione. Il colloquio avrà
una durata compresa tra i 20 e i 30 minuti.
D'accordo con gli studenti che frequentano, a partire dal 20
aprile 2015 la lezione di analisi non lineare inizierà alle
ore 10 e durerà 3 ore (10-13).
Materiale riguardante la stima L^infty locale, parte
finale dell'ultima lezione
Esercizi proposti nelle lezioni del prof. Ferrari:
23/02/2015 (i) provare l'esistenza e l'unicità della soluzione
di u''=0, in ]-1,1[, con u(-1)=2 e u(1)=1. (ii) determinare
l'espressione del p-Laplaciano per funzioni radiali.
02/03/2015 (i) provare il principio di massimo forte per le
funzioni armoniche.
16/03/2015 (i) provare che P^+(S)=-P^-(-S). (ii) Provare che
M^-=P^-
23/03/2015 (i) provare che l'operatore P^+ è convesso e che
l'operatore P^- è concavo.
30/03/2015 (i) provare le proprietà principali di
\underline(S)(\lambda,\Lambda, f) e \overrline(S)(\lambda,\Lambda,
f).
13/04/2015 (i) provare la disuguaglianza tra media geometrica e
media aritmetica. Provare poi che se A e B sono matrici simmetriche
semidefinite positive allora
det(A)det(B)<=(Tr(AB)/n)^n avendo compreso che la
disuguaglianza vale anche se AB non è, in generale, simmetrica
(suggerimento: provare prima che se A è simmetrica e semidefinita
positiva allora esiste la matrice radice quadrata). (ii) provare che
se D^2u(y)\leq 0 in \Gamma^+, allora Du(y)-\epsilon y è 1-1.
20/04/2015 (i) provare l'esistenza di iperpiani supportanti per
funzioni convesse (usare il Teorema Hahn-Banach). (ii) Provare che
se u è soluzione viscosa di Tr(AD^2u)\geq=f, allora il Teorema di
Alexandroff Bakelman Pucci, nella versione per operatori
uniformemente ellittici, assume la stessa forma dell'enunciato
formulato per soluzioni di classe C^2 che soddisfano
Tr(AD^2u)\geq=f.
27/04/2015 (i) dimostrare la disuguaglianza di Harnack per funzioni
armoniche. (ii) provare la disuguaglianza di Harnack su un cubo di
lato r conoscendo la disuguaglianza su un cubo di lato 1/2. (iii)
verificare che è sufficiente assumere che inf_{Q_(1/4)}u<=1 e
||f||_{L^n(Q_{4\sqrt{n}}}<=\epsilon e poi sapendo che si può
dimostrare che ||u||_{L^{p_0}(Q_{1/4})}<=C=C(\lambda,\Lambda,n)
allora si dimostra la disuguaglianza di Harnack debole e se
sup_{Q_{1/4}}u<=C=C(\lambda,\Lambda,n) allora si ottiene la stima
L^\infty locale.
04/05/2015 (i) provare che dalla disuguaglianza di Harnack discente
il seguente teorema di tipo Liouville: se u\in S(0) in R^n,
limitata, allora u costante. (ii) Provare che se vale la
disuguaglianza di Harnack, allora vale il principio del massimo
forte.
11/05/2015 (i) rappresentazione delle funzioni L^p per mezzo della
funzione distribuzione. (ii) come dedurre che |{u>t}intersecato
Q|<dt^(-\eta) per ogni t>0 nel teorema H-C.