Argomenti trattati a lezione

24.09.13

Presentazione del corso (programma, modalità dell'esame, tutorato ecc.). Testo consigliato: D. Benedetto, M. Degli Esposti, C. Maffei: Matematica per le scienze della vita. Seconda edizione. Casa Editrice Ambrosiana, 2012. Chi non avesse una preparazione adeguata, potrà effettuare un ripasso della matematica di base con Alma Mathematica (corsi di e-learning).
Calcolo combinatorio: disposizioni, permutazioni e combinazioni (semplici), esempio. Formula di Newton per lo sviluppo delle potenze di un binomio, triangolo di Tartaglia o di Pascal dei coefficienti binomiali, proprietà dei coefficienti binomiali.
Esercizi (e soluzioni) sul calcolo combinatorio dal sito chihapauradellamatematica.

25.09.13

Disposizioni e combinazioni semplici e con ripetizione, prodotto cartesiano di insiemi finiti e sua cardinalità, esempi ispirati dalla genetica: codice genetico ("codons sun" by Mouagip, public domain), numero di codoni, genotipi, fenotipi.
Esercizi consigliati: foglio del 25/09/2013.

01.10.13

Esempi ed esercizi sul calcolo combinatorio: cardinalità di prodotti cartesiani, combinazioni con ripetizione (possibili genotipi rispetto ai gruppi sanguigni umani). Numeri naturali, interi, razionali, la radice di due non è un numero razionale, successione di intervalli che definisce la radice di due, cenno sulla costruzione dei numeri reali mediante (classi di equivalenza di) successioni di intervalli annidati (“scatole cinesi”), numeri razionali come numeri decimali periodici, somma parziale di una serie geometrica e somma di una serie geometrica. Potenze con base reale ed esponenti naturali.

02.10.13

Potenze con base positiva ed esponenti reali, regole del calcolo con le potenze, logaritmi e regole del calcolo con i logaritmi, in particolare cambiamento di base nei logaritmi. Crescita di un capitale investito ad un tasso fisso di interesse annuo, calcolo (della successione) del montante ad interesse composto discontinuo annuo, ad interesse composto discontinuo convertibile e ad interesse composto continuo, numero di Nepero o di Eulero = 2,7182818284 ... come limite di (1 + 1/n)ⁿ per n tendente all'infinito.
Esercizi consigliati: foglio del 02/10/2013.

08.10.13

Crescita lineare (esempio dell'interesse semplice) e crescita esponenziale (esempio dell'interesse composto discontinuo annuo), grafici di funzioni lineari e funzioni esponenziali, tempo di raddoppiamento, cambiamento di base nei logaritmi e nelle funzioni esponenziali, scala logaritmica e scala del pH, legge di Benford o legge della prima cifra (Benford's Law). Introduzione alle matrici che si utilizzano ad esempio nel metodo statistico BLUP (Best Linear Unbiased Prediction) per prevedere il valore genetico di animali: i valori genetici previsti sono funzioni lineari delle osservazioni, definizione di funzione lineare da R in R, esempio di una funzione (o trasformazione, applicazione) lineare da R² in R² e la matrice associata.

09.10.13

Definizione di matrice reale, vettore riga, vettore colonna, algebra delle matrici: uguaglianza, somma, differenza, matrice zero, moltiplicazione di una matrice per uno scalare, prodotto di matrici conformabili e composizione delle trasformazioni lineari definite dalle matrici fattori, prodotto scalare di vettori, esempi, matrice identità, non commutatività del prodotto matriciale, divisori dello zero, definizione di matrice inversa.
Esercizi consigliati: foglio del 09/10/2013.

15.10.13

Funzione (applicazione, trasformazione) lineare definita mediante una matrice, controimmagine (preimmagine, fibra) di un vettore del codominio, sistema di equazioni lineari in forma matriciale, risoluzione di un sistema lineare mediante l'algoritmo di Gauss-Jordan (C.F. Gauss, W. Jordan), esempio, calcolo dell'inversa di una matrice quadrata invertibile con l'algoritmo di Gauss-Jordan, esempio.

16.10.13

Esempio di un sistema lineare con matrice dei coefficienti non invertibile e con spazio delle soluzioni unodimensionale, risoluzione con l'algoritmo di Gauss-Jordan (riduzione della matrice completa del sistema a scala per righe, poi a scala per righe in forma ridotta), sistema omogeneo associato, soluzioni di un sistema non omogeneo come somma di una soluzione particolare e della soluzione "generale" del sistema omogeneo associato (si veda la dispensa, pag. 24), trasposta di una matrice, regole relative alle matrici trasposte e alle matrici inverse, calcolo del prodotto scalare di vettori nel piano utilizzando il prodotto tra matrici (ossia tra i vettori numerici).
Esercizi consigliati: foglio del 16/10/2013.

22.10.13

Definizione di funzione o applicazione, funzione numerica reale, successione numerica, grafico di funzione, funzione iniettiva, suriettiva e biiettiva, esempi, funzione inversa di una funzione biiettiva, alcune funzioni elementari, loro grafici e loro funzioni inverse, in particolare funzione lineare e lineare affine, quantità proporzionali, retta passante per due punti, funzione potenza (con esponente intero, razionale e irrazionale), quantità inversamente proporzionali, funzioni pari e dispari, cenno ai limiti di funzioni.

23.10.13

Funzioni esponenziali e logaritmiche, loro grafici (si veda la dispensa), crescita esponenziale, tempo di raddoppiamento, decadimento esponenziale e tempo di dimezzamento, esempio del decadimento radioattivo (si vedano i lucidi, pagine 13-16) del cesio-137, grafico della funzione esponenziale in un sistema di riferimento semilogaritmico, cioè linearizzazione della funzione esponenziale, grafico di y = x² in un sistema di riferimento logaritmico, misura di angoli orientati in radianti, definizione delle funzioni seno e coseno attraverso la circonferenza goniometrica.
Esercizi consigliati: foglio del 23/10/2013.

29.10.13

Grafici e proprietà delle funzioni trigonometriche (seno, coseno, tangente), relazioni tra le funzioni trigonometriche e valori particolari, limite di (sin x)/x per x tendente a zero, cenno ad alcune applicazioni delle funzioni trigonometriche (lavoro meccanico come prodotto scalare del vettore forza per il vettore spostamento, moto circolare uniforme, cioè moto circolare con velocità angolare costante, serie di Fourier), funzioni sinusoidali f(x) = A + B sin(Cx + D), significato delle costanti (traslazione, ampiezza, frequenza e "fase iniziale").
Esercizi consigliati: foglio del 30/10/2013.

05.11.13

Funzioni inverse delle funzioni trigonometriche (arcoseno, arcocoseno, arcotangente), loro grafici, alcune operazioni sulle funzioni e trasformazioni dei grafici (traslazioni e cambiamenti di scala sull'asse orizzontale, valore assoluto di una funzione, funzione del valore assoluto dell'argomento). Definizione di funzione numerica reale continua, definizione di derivata e di differenziale di una funzione reale, interpretazione geometrica (retta tangente) e cinematica (velocità) della derivata, equazione della retta tangente al grafico di una funzione derivabile, continuità delle funzioni derivabili.

06.11.13

Interpretazione cinematica (velocità) della derivata, derivate di alcune funzioni elementari (funzioni potenze, funzioni logaritmiche, funzioni trigonometriche) ed esempi per l'equazione della retta tangente al grafico di una funzione derivabile, derivata dell'inversa di una funzione derivabile, in particolare derivate di funzioni esponenziali e delle funzioni arcoseno e arcocoseno, derivata di una somma e di un prodotto di funzioni derivabili, esempi.
Esercizi consigliati: foglio del 06/11/2013.

12.11.13

Compilazione dei questionari sulla valutazione della didattica. Regole di derivazione ed esempi: derivata di un prodotto e di un quoziente di funzioni derivabili, differenziali e propagazione di errori: maggiorazione dell'errore relativo di un prodotto e di un quoziente attraverso la somma dei singoli errori relativi, derivazione di funzioni composte (regola della catena), esempi, in particolare regola della funzione reciproca, moto circolare uniforme, cioè moto circolare con velocità angolare (frequenza angolare) costante, vettori velocità e accelerazione come derivata prima e derivata seconda del raggio vettore.

13.11.13

Differenziale e propagazione degli errori, esempi per l'applicazione del differenziale alla stima di un errore assoluto, esempi di funzioni continue e non derivabili in un punto, applicazione del calcolo differenziale allo studio del grafico di una funzione reale: monotonia di una funzione derivabile in un intervallo e segno della sua derivata in tale intervallo, condizione necessaria (teorema di Fermat sui punti stazionari) e condizioni sufficienti per l'esistenza di massimi e minimi relativi interni, funzioni convesse e concave in un intervallo, relazione tra la convessità di una funzione e la monotonia della sua derivata, relazione tra la convessità e il segno della derivata seconda, punto di flesso ascendente e discendente, condizione necessaria e condizioni sufficienti per l'esistenza di un punto di flesso, esempio di studio di funzione (funzione gaussiana).
Esercizi consigliati: foglio del 13/11/2013.

19.11.13

Asintoti per il grafico di una funzione reale, applicazione del calcolo differenziale allo studio di funzione: equazione di van Deemter (pagine 5-6 del documento linkato) in gascromatografia. Introduzione al calcolo integrale: problema della primitiva (o antiderivata) di una funzione e problema della misura, integrale indefinito e primitive di funzioni elementari, definizione dell'integrale definito (secondo Riemann, 1826 - 1866) tramite le somme intermedie di Riemann, cenno all'integrale inferiore e all'integrale superiore.

20.11.13

Alcune proprietà dell'integrale definito: additività, confronto con la funzione costante zero, valore assoluto, teorema del valor medio integrale, idea della dimostrazione del teorema fondamentale del calcolo integrale, esempio per il calcolo di un integrale definito (area del sottografico di una funzione), regole e metodi di integrazione ed esempi, in particolare linearità, integrazione per parti.
Esercizi consigliati: foglio del 20/11/2013.

26.11.13

Integrazione per sostituzione, prima formula di sostituzione, formula della sostituzione lineare, seconda formula di sostituzione, esempi di integrali indefiniti per sostituzione di prima specie e di seconda specie, cioè calcolo dell'integrale attraverso la sostituzione della variabile di integrazione con una funzione invertibile, in particolare esempio di un integrale con sostituzione esponenziale, combinazione di integrazione per parti e integrazione per sostituzione, applicazione dell'integrale definito: lavoro impiegato per allungare una molla.

27.11.13

Esempi di integrali e applicazioni del calcolo integrale: calcolo del lavoro di una trasformazione isoterma di un gas ideale, equazioni differenziali a variabili separabili (dinamica delle popolazioni: crescita malthusiana, decadimento radioattivo), problema di Cauchy o problema ai valori iniziali, calcolo di integrali definiti con i metodi di integrazione per parti e di integrazione per sostituzione.
Esercizi consigliati: foglio del 27/11/2013.

03.12.13

Integrali impropri o generalizzati: integrazione con funzione integranda illimitata, integrazione su intervalli illimitati, esempi di integrali convergenti e divergenti. Equazioni differenziali a variabili separabili nella cinetica chimica: reazioni dirette di ordine zero, del primo ordine e del secondo ordine, grafici delle concentrazioni in funzione del tempo, grafici semilogaritmici, caso particolare della decomposizione di funzioni razionali fratte in frazioni semplici.

04.12.13

Equazione differenziale per la concentrazione dei reagenti di una reazione diretta del secondo ordine, sua integrazione, cioè integrazione di una funzione razionale fratta (caso particolare), integrazione per sostituzione lineare, esplizitazione della concentrazione in funzione del tempo, reazione di pseudo primo ordine. Modello di crescita limitata secondo P. F. Verhulst (1804-1849), integrazione dell'equazione logistica, funzione logistica di crescita (Verhulst, 1838).
Esercizi consigliati: foglio del 04/12/2013.

last updated 4th December 2013 Rüdiger Achilles