Argomenti trattati a lezione

27.09.12

Presentazione del corso (programma, modalità dell'esame, tutorato ecc.). Testi consigliati:
M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa : Matematica. Calcolo infinitesimale e algebra lineare. 2a ed., Zanichelli, Bologna, 2004.
S. Salsa, A. Squellati, Esercizi di Analisi matematica 1, 2 (due volumi), Zanichelli, Bologna, 2011.
Numeri complessi, definizione e operazioni aritmetiche, esempi, piano dei numeri complessi o piano di Wessel-Argand-Gauss, vettori nel piano (cenno), complesso coniugato, valore assoluto o modulo di un numero complesso, coordinate polari, conversione da coordinate polari a coordinate cartesiane e viceversa, funzione atan2(y,x) (cenno).

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 20-26 (numeri complessi).

28.09.12

Traslazione e rotazione nel piano, formule di addizione, di sottrazione e di duplicazione per le funzioni seno e coseno, numeri complessi in forma polare o trigonometrica, interpretazione geometrica della loro moltiplicazione (trasformazioni di similitudine del piano), numero di Nepero o di Eulero = 2,7IbsenIbsen4590 ... (Henrik Ibsen, 1828-1906, poeta e drammaturgo norvegese), cenno alle serie (sommatorie infinite), sviluppo in serie di Taylor della funzione esponenziale e delle funzioni seno e coseno, funzione esponenziale complessa, formula di Eulero, formula di de Moivre, radici n-esime, in particolare radici dell'unità, teorema fondamentale dell'algebra, le radici di un polinomio a coefficienti reali sono complesse coniugate.
Esercizi consigliati: foglio del 30/09/2012.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 26-31 (numeri complessi), pp. 275-276 (esponenziale complesso, formula di Eulero).

11.10.12

Vettori: scalari e vettori, vettori geometrici (si veda anche il video - in lingua inglese - on YouTube), somma o risultante di vettori, poligono vettoriale, differenza di vettori, vettore nullo o vettore zero, moltiplicazione di un vettore per uno scalare, regole dell'algebra vettoriale, definizione di spazio vettoriale, componenti di un vettore, vettori numerici o algebrici, norma, operazioni con i vettori numerici, prodotto interno o prodotto scalare, esempio introduttivo (lavoro meccanico in fisica) e definizione per vettori di Rⁿ e di Cⁿ, proprietà del prodotto scalare.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 35-41 (vettori nel piano e nello spazio), pp. 43, 44 (prodotto scalare), pp. 57-59 (spazi vettoriali), pp.. 63-65 (prodotto scalare in Rⁿ).

12.10.12

Definizione di funzione, trasformazione o applicazione lineare, esempi e controesempi, prodotto scalare o prodotto interno in uno spazio vettoriale reale (complesso) come forma bilineare (sesquilineare), simmetrica (hermitiana) e definita positiva, norma indotta dal prodotto scalare, proprietà della norma, disuguaglianza triangolare, vettori normalizzati (versori), proiezione di un vettore su un vettore non nullo, procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt, disuguaglianza di Cauchy-Buniakovskii-Schwarz, angolo tra due vettori di Rⁿ, distanza (metrica) indotta dalla norma, esempi ed esercizi sui suddetti argomenti del calcolo vettoriale in Rⁿ e in Cⁿ, combinazione lineare di una famiglia di vettori, famiglia di vettori linearmente indipendente e linearmente dipendente.
Esercizi consigliati: foglio del 14/10/2012.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 69-70 (funzioni lineari), pp. 63-65 (prodotto scalare, disuguaglianza di Caychy-Schwarz), pp. 66-68 (procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt).

18.10.12

Esempi di vettori linearmente indipendenti e linearmente dipendenti, sottospazi vettoriali, span (copertura) lineare o sottospazio generato da una famiglia di vettori, base di uno spazio vettoriale, coordinate di un vettore, base canonica di Rⁿ, dimensione di uno spazio vettoriale, esempi di spazi vettoriali di dimensione finita e di dimensione infinita, loro basi, basi ortonormali, algebra delle matrici: uguaglianza, somma, differenza, moltiplicazione di una matrice per uno scalare.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 60-63 (indipendenza lineare, base e dimensione), pp. 65-69 (basi ortonormali, procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt), pp. 71-75 (algebra delle matrici).

19.10.12

Prodotto di matrici conformabili, esempi, non commutatività del prodotto matriciale, divisori dello zero, matrici speciali: matrice zero, matrice identità, matrice triangolare superiore (alta) e inferiore (bassa), matrice diagonale, trasposta di una matrice, matrice simmetrica, matrice hermitiana, matrice inversa, calcolo della matrice inversa di una matrice quadrata non singolare (o invertibile) risolvendo sistemi di equazioni lineari, sistemi lineari in forma matriciale, regole relative alle matrici trasposte e alle matrici inverse, matrice contragrediente, spazio vettoriale delle applicazioni lineari tra spazi vettoriali e spazio vettoriale delle matrici dello stesso tipo, esempi di trasformazioni lineari (proiezione, rotazione, e riflessione nel piano), sistema di riferimento e vettore delle coordinate (o delle componenti) di un vettore rispetto a una base, rappresentazione matriciale delle trasformazioni lineari: matrice associata ad una trasformazione lineare tra spazi vettoriali di dimensione finita con basi fissate, trasformazione lineare associata ad una matrice, esempio (proiezione dei vettori di R² un vettore fisso).
Esercizi consigliati: foglio del 20/10/2012.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 71-77 (algebra delle matrici, matrici speciali), pp. 78-81 (rappresentazione matriciale delle trasformazioni lineari).

25.10.12

Esempi per la rappresentazione matriciale di trasformazioni lineari: proiezione dei vettori del piano su un vettore fisso, cenno agli autovettori e autovalori di un endomorfismo, passaggio dalla base canonica a una base formata da autovettori, matrici di riflessione e di rotazione nel piano, matrice inversa della matrice di rotazione, la matrice dell'inversa di una trasformazione lineare è l'inversa della matrice della trasformazione, composizione di trasformazioni lineari e moltiplicazione delle loro matrici di rappresentazione, esempio della matrice jacobiana di una composizione di funzioni differenziabili in più variabili reali a valori vettoriali.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 76-77 (rotazione nel piano), p. 81 (matrice della composizione di trasformazioni lineari), p. 109 (autovettori ed autovalori), pp. 469-470 (funzioni di più variabili a valori vettoriali), p. 476 (matrice jacobiana).

26.10.12

Esempio di una linearizzazione di una funzione di due variabili reali a valori in R², visualizzazione come campo vettoriale, immagine e nucleo di una trasformazione lineare, trasformazioni lineari iniettive, suriettive e biiettive (monomorfismi, epimorfismi, isomorfismi), endomorfismo di uno spazio vettoriale, rango di una trasformazione lineare, rango (o caratteristica) di una matrice, teorema del rango (formula di dimensione), gruppo generale lineare GL(n), cambiamento di base e cambiamento delle coordinate mediante la matrice contragrediente della matrice di trasformazione dei vettori di base, le relazioni di equivalenza e di similitudine fra matrici, matrici sono equivalenti, cioè rappresentano rispetto a basi diverse la stessa trasformazione lineare, se e solo se le matrici hanno lo stesso rango, la matrice "più semplice" fra le matrici equivalenti (matrice in froma canonica), matrici rappresentano lo stesso endomorfismo di uno spazio vettoriale di dimensione finita rispetto a basi diverse dello spazio se e solo se sono simili, sistema di due equazioni lineari in due incognite, soluzione con il metodo di eliminazione Gauss e con la regola di Cramer, determinante (sviluppo di Laplace), esempi, determinante di matrici triangolari, cenno alla definizione assiomatica del determinante secondo Weierstrass, proprietà elementari del determinante.
Esercizi consigliati: foglio del 27/10/2012.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 473-474 (campo vettoriale), pp. 100-103 (immagine, nucleo, trasformazioni inettive e suriettive), pp. 94-97 (sistemi lineari), pp. 81-85 (determinante).

08.11.12

Proprietà elementari del determinante, calcolo del determinante di una matrice 3 × 3 con la regola di Sarrus, calcolo del determinate con lo sviluppo di Laplace, minori e rango di una matrice, teorema di Binet sul determinante del prodotto di matrici, calcolo della matrice inversa di una matrice quadrata non singolare con il metodo della matrice dei cofattori (o dei complementi algebrici o aggiunti), esempi, significato geometrico del determinante (volume con un segno), prodotto misto, volume di un parallelepipedo, costo computazionale del calcolo del determinate con lo sviluppo di Laplace, supercomputer Titan (20 PetaFLOPS).

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 86-92 e, se necessario, pp. 45-48 (prodotto vettoriale e prodotto misto nello spazio tridimensionale).

09.11.12

Determinante di un endomorfismo, determinante di una composizione di endomorfismi, sistema di equazioni lineari, risoluzione mediante l'algoritmo di Gauss, cioè la riduzione della matrice completa del sistema a scala per righe, esempi, rango di una matrice a scala, sistema omogeneo associato e dimensione dello spazio vettoriale delle sue soluzioni, spazio (affine) delle soluzioni del sistema non omogeneo, teorema di Rouché-Capelli, esempio di riduzione di un sistema costituito da m equazioni in n incognite a un sistema di r equazioni ed r incognite (che può essere risolto ad esempio con il metodo di Cramer), autovalori e autovettori di un endomorfismo di uno spazio vettoriale e di una matrice quadrata, polinomio caratteristico di una matrice quadrata e di un endomorfismo, autospazio relativo a un autovalore, esempi (matrice diagonale, matrice di rotazione nel piano).
Esercizi consigliati: foglio del 10/11/2012.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 96-106 (sistemi lineari), pp. 109-111 (autovalori ed autovettori).

15.11.12

Autovalori e autovettori (reali e complessi) della rotazione nel piano, normalizzazione degli autovettori complessi (richiamo sul prodotto scalare standard in Rⁿ e in Cⁿ, spazio euclideo e spazio unitario o prehilbertiano, norma e distanza o metrica indotte dal prodotto scalare), significato geometrico: rette isotrope (pag. 62 del documento linkato), autovalori e autovettori di una composizione di due rotazioni nello spazio (asse della rotazione come autospazio rispetto all'autovalore uno, ricavare l'angolo della rotazione dagli autovalori complessi coniugati).

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 76-77 (rotazione nel piano), p. 113, Esempio 6.2 (rotazione per 90 gradi), pp. 120-121 (rotazioni nello spazio).

16.11.12

Rotazioni nello spazio (asse della rotazione come autospazio rispetto all'autovalore uno, ricavare l'angolo della rotazione dagli autovalori complessi coniugati), metodo di Ruffini-Horner (Paolo Ruffini, 1765-1822, William George Horner, 1786-1837) per la valutazione efficiente di un polinomio e per la divisione di polinomi, formule di Viète (François Viète, 1540-1603) che collegano i coefficienti di un polinomio a somme e prodotti delle sue radici, polinomi simmetrici elementari, coefficienti del polinomio caratteristico (con segno alternato) come somme dei minori diagonali di ordine fissato, ricavare l'angolo di una rotazione nello spazio dalla traccia di una sua matrice rappresentativa, diagonalizzabilità di un endomorfismo o di una matrice, la dimensione dell'autospazio di un autovalore (ossia la sua molteplicità geometrica) non supera la sua molteplicità algebrica, autovalori regolari, esempio di un endomorfismo con un autovalore non regolare, condizione sufficiente e necessaria di diagonalizzabilità, esempi di matrici non diagonalizzabili e diagonalizzabili, definizione di matrice ortogonale e matrice unitaria, esempi di diagonalizzazione di matrici reali simmetriche con matrici di passaggio ortogonali, procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.
Esercizi consigliati: foglio del 17/11/2012.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 113-122.

22.11.12

Esempio per il calcolo degli autovalori, degli autovettori e della diagonalizzazione di una matrice quadrata, di una base costituita da autovettori e della matrice di passaggio, calcolo della matrice inversa con il metodo della matrice dei cofattori (o dei complementi algebrici o aggiunti), esempio di una matrice non diagonalizzabile, richiamo sul prodotto scalare standard di Rⁿ e di Cⁿ (prodotto hermitiano), spazio euclideo e spazio unitario o prehilbertiano, norma e distanza (metrica) indotte dal prodotto scalare, endomorfismi autoaggiunti e loro matrici rappresentative rispetto a una base ortonormale: matrici reali e simmetriche e matrici hermitiane.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 113-122 (condizioni di diagonalizzabilità).

23.11.12

Dimostrazione che gli endomorfismi autoaggiunti hanno rispetto a basi ortonormali matrici rappresentative reali e simmetriche o matrici hermitiane, definizione di matrice ortogonale e matrice unitaria, loro proprietà e significato geometrico, teorema spettrale nel caso finito-dimensionale reale e complesso, dimostrazione che gli autovalori di un endomorfismo autoaggiunto sono reali e autovettori relativi ad autovalori distinti sono ortogonali, cenno alla decomposizione spettrale, empio per il calcolo degli autovalori, degli autovettori e della diagonalizzazione di una matrice quadrata reale simmetrica con un autovalore doppio, di una base ortonormale costituita da autovettori e della matrice ortogonale di passaggio, procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt, diagonalizzazione di una matrice hermitiana mediante una matrice unitaria di passaggio, autovalori delle potenze e delle potenze inverse di una matrice.
Esercizi consigliati: foglio del 24/11/2012.

29.11.12

Matrice hermitiana o simmetrica reale definita positiva e sua caratterizzazione mediante la positività di tutti i suoi autovalori o di tutti i suoi minori "nord-ovest" ( criterio di Sylvester, James J. Sylvester, 1814-1897), matrici definite negative, semidefinite e indefinite, richiamo sulla formula di Taylor al secondo ordine per funzioni di n variabili reali, studio della natura dei punti critici mediante la matrice hessiana della funzione nel punto critico che può risultare definita positiva (punto di minimo), definita negativa (punto di massimo), indefinita (punto di sella) o semidefinita (non permette una decisione), esempio per lo studio dei punti critici di una funzione di tre variabili reali, diagonalizzazione della matrice hessiana, calcolo di una matrice ortogonale di passaggio.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 439-441 (Formula di Taylor al secondo ordine), pp. 444-450 (Forme quadratiche, segno di una forma quadratica e autovalori, studio della natura dei punti critici), p. 453, Esempio 6.9 (esempio della lezione).

30.11.12

Riduzione delle coniche a forma canonica: coniche come sezioni piane di un cono circolare retto, coniche degeneri, equazioni delle coniche non degeneri in forma canonica metrica, coniche ed equazioni quadratiche, matrici associate alla conica, diagonalizzazione della matrice simmetrica associata alla forma quadratica della conica attraverso una rotazione del sistema di riferimento, traslazione in modo che il centro o il vertice della conica coincida con l'origine del sistema di riferimento (completamento dei quadrati o completamento del quadrato e eliminazione del termine noto), esempio della riduzione in forma canonica di una conica a centro effettuando prima la rotazione e poi la traslazione, lo stesso esempio effettuando prima la traslazione definita dal centro e poi la rotazione, esempio di una parabola, esercizio sui numeri complessi in forma algebrica e in forma trigonometrica.
Esercizi consigliati: foglio del 01/12/2012.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 626-627 (coniche); F. Flamini, esercizi svolti, pp. 1-5; A. Calamai, schema della riduzione in forma canonica di coniche e quadriche.

06.12.12

Prodotto vettoriale (o prodotto esterno) di vettori dello spazio tridimensionale, "regola della mano destra", esempi: forza di Lorentz e momento di una forza rispetto a un punto, proprietà algebriche del prodotto vettoriale, prodotto vettoriale di vettori numerici come determinante "formale", formula di Langrange, dimostrazione della formula di Lagrgange, esempio di un prodotto vettoriale per calcolare l'area di un triangolo.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 45-48, pp. 87-88.

07.12.12

Esempi e applicazioni del prodotto vettoriale di vettori dello spazio tridimensionale: calcolo di aree, equazioni parametriche e cartesiane della retta nello spazio, equazione vettoriale della retta nello spazio in forma parametrica e nella forma di Plücker (cioè usando il prodotto vettoriale), quaternioni di Hamilton in notazione scalare/vettore (cenno), ortogonalizzazione di autovettori di una matrice simmetrica 3 × 3 usando il prodotto vettoriale, richiami sul metodo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt, sulla proiezione di un vettore su un sottospazio, sul calcolo del polinomio caratteristico di una matrice quadrata, sulla regola di Ruffini(-Horner), sul calcolo delle radici di un numero complesso, sul teorema di Rouché-Capelli e sulla risoluzione di un sistema lineare con il metodo di riduzione a scala (metodo di eliminazione di Gauss).
Esercizi consigliati: foglio del 08/12/2012.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 48-55 (equazione della retta, equazione del piano).

13.12.12

Compilazione delle schede per la valutazione della didattica. Esempi ed esercizi sui seguenti argomenti: calcolo di autovalori e autovettori di una matrice quadrata, coefficienti del polinomio caratteristico (con segno alternato) come somme dei minori diagonali di ordine fissato, molteplicità algebrica e molteplicità geometrica di un autovalore, diagonalizzabilità di una matrice o di un endomorfismo, equazione parametrica vettoriale di una retta, autovalori complessi coniugati di una matrice reale.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 109-117.

14.12.12

Esempi ed esercizi sui seguenti argomenti: operazioni aritmetiche con i numeri complessi, piano dei numeri complessi, complesso coniugato, valore assoluto o modulo di un numero complesso, coordinate polari, numeri complessi in forma polare o trigonometrica, formula di Eulero, rotazione nel piano usando la moltiplicazione di numeri complessi o la matrice di rotazione, matrice ortogonale, formula di de Moivre, radici di numeri complessi, equazione di secondo grado a coefficienti complessi, spazio di Hilbert con il prodotto interno standard e verifica della ortonormalità delle funzioni sinusoidali fondamentali, cenno sull'analisi di Fourier (J. Fourier, 1768-1830).
Esercizi consigliati: foglio del 15/12/2012.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 20-31 (numeri complessi), p. 588 (forma esponenziale complessa della serie di Fourier).

20.12.12

Esempi ed esercizi sui seguenti argomenti: autovalori e autovettori di un endomorfismo di uno spazio vettoriale e di una matrice quadrata, teorema di Rouché-Capelli, polinomio caratteristico di una matrice quadrata, autospazio relativo a un autovalore, teorema spettrale nel caso finito-dimensionale reale e complesso, diagonalizzazione di una matrice hermitiana mediante una matrice unitaria di passaggio.

21.12.12

Esempi ed esercizi sui seguenti argomenti: autovalori e autovettori complessi di un endomorfismo (prova del 13/02/2012, Esercizio 2), formula di Eulero, funzione esponenziale con esponente complesso (foglio del15/12/2012, Esercizio 7).

last updated 27nd December 2012 Rüdiger Achilles