Argomenti trattati a lezione

10.10.13

Presentazione del corso (programma, modalità dell'esame, esercizi settimanali, tutorato ecc.). Testi consigliati:
M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa : Matematica. Calcolo infinitesimale e algebra lineare. 2a ed., Zanichelli, Bologna, 2004.
S. Salsa, A. Squellati, Esercizi di Analisi matematica 1, 2 (due volumi), Zanichelli, Bologna, 2011.
Numeri complessi, definizione e operazioni aritmetiche, esempi, piano dei numeri complessi o piano di Wessel-Argand-Gauss, vettori nel piano (cenno), complesso coniugato, coordinate polari, conversione da coordinate polari a coordinate cartesiane e viceversa, richiamo sulle funzioni trigonometriche e loro funzioni inverse (da finire).

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 20-22 (numeri complessi).

11.10.13

Conversione di coordinate cartesiane in coordinate polari usando le funzioni arcocoseno, arcoseno, arcotangente, arcotangente2, esempi. Traslazione e rotazione nel piano, formule di addizione, sottrazione e duplicazione per le funzioni seno e coseno, numeri complessi in forma polare o trigonometrica, valore assoluto o modulo di un numero complesso, proprietà del valore assoluto e del complesso coniugato, in particolare la disuguaglianza triangolare, interpretazione geometrica della moltiplicazione di numeri complessi (similitudine del piano), esempi, formula di de Moivre, radici n-esime, in particolare radici dell'unità e poligoni regolari.
Esercizi consigliati: foglio del 13/10/2013.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 23-31 (numeri complessi).

17.10.13

Equazioni polinomiali di secondo grado con coefficienti complessi, formula risolutiva (si veda la dispensa, pag. 5), esempio, radici di un polinomio a coefficienti reali sono complesse coniugate, teorema fondamentale dell'algebra (si veda la dispensa, pag. 5), intorno di un numero complesso e limiti di successioni complesse (cenno, si veda la dispensa, pag. 6), sviluppo in serie di Taylor della funzione esponenziale e delle funzioni seno e coseno, funzione esponenziale complessa, formula di Eulero, numeri complessi in forma esponenziale (da finire).

18.10.13

Calcolo della radice quadrata di un numero complesso usando le formule di bisezione per il coseno e il seno, funzione esponenziale complessa, richiamo sulle funzioni esponenziali e logaritmiche reali e loro proprietà, crescita esponenziale (esempio dell'interesse composto discontinuo annuo e del interesse composto continuo), cenno alla formula di Newton per lo sviluppo delle potenze di un binomio, triangolo di Tartaglia o di Pascal dei coefficienti binomiali, numero di Nepero o di Eulero = 2,7182818284 ... come limite di (1 + 1/n)ⁿ per n tendente all'infinito e come somma della serie 1/n!, tempo di raddoppiamento, cambiamento di base nei logaritmi e nelle funzioni esponenziali, pH come applicazione del logaritmo, numeri complessi in forma esponenziale, esercizi sul calcolo con i numeri complessi. Vettori: scalari e vettori, vettori geometrici (si veda anche il video - in lingua inglese - su YouTube), somma o risultante di vettori, poligono vettoriale, differenza di vettori, vettore nullo o vettore zero, moltiplicazione di un vettore per uno scalare, regole dell'algebra vettoriale, definizione di spazio vettoriale.
Esercizi consigliati: foglio del 20/10/2013.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 275-276 (esponenziale complesso, formula di Eulero), pp. 35-41 (vettori nel piano e nello spazio).

24.10.13

Scomposizione di un vettore lungo due direzioni assegnate, componenti di un vettore, vettori numerici o algebrici, modulo o norma euclidea di un vettore numerico, operazioni con i vettori numerici, prodotto interno o prodotto scalare, esempio introduttivo (lavoro meccanico in fisica) e definizione per vettori di Rⁿ, definizione di norma su uno spazio vettoriale, definizione di distanza (metrica).

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 35-41 (vettori nel piano e nello spazio), pp. 43, 44 (prodotto scalare), pp. 57-59 (spazi vettoriali), pp. 63-65 (prodotto scalare in Rⁿ).

25.10.13

Prodotto scalare standard di Rⁿ, proprietà del prodotto scalare e sua definizione assiomatica come forma bilineare simmetrica definita positiva, norma indotta da un prodotto scalare, distanza (metrica) indotta da una norma, vettori normalizzati (versori), ortogonali, ortonormali, proiezione di un vettore su un vettore non nullo, disuguaglianza di Cauchy-Buniakovskii-Schwarz, angolo tra due vettori di Rⁿ, spazio euclideo Rⁿ, combinazione lineare di una famiglia di vettori, sottospazi vettoriali, span (copertura) lineare o sottospazio generato da una famiglia di vettori, famiglia di vettori linearmente indipendente e linearmente dipendente. Esercizi sui seguenti argomenti: funzione esponenziale complessa, formula di Eulero, radici cubiche di un numero complesso, interpretazione geometrica di operazioni sui numeri complessi, complesso coniugato, inversione circolare.
Esercizi consigliati: foglio del 27/10/2013.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 63-65 (prodotto scalare, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz), pp. 60-63 (indipendenza lineare, base e dimensione).

07.11.13

Base e dimensione di uno spazio vettoriale, base canonica di Rⁿ, esempi di basi di R², coordinate di un vettore rispetto ad una base, basi ortonormali, procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt (J. P. Gram, 1850-1916; E. Schmidt, 1876-1959), proiezione di un vettore in un sottospazio, esempio (trovare una base ortonormale di un sottospazio di dimensione due di R³), prodotto scalare standard di Cⁿ (prodotto hermitiano) e la norma indotta, esempio.

08.11.13

Norma indotta dal prodotto hermitiano, esempio. Matrici e trasformazioni lineari, definizione di funzione, trasformazione o applicazione lineare, trasformazioni lineari "preservano combinazioni lineari", unicità dell'applicazione lineare, cioè le immagini dei vettori di base dello spazio di partenza determinano unicamente la trasformazione, esempi di trasformazioni lineari (funzioni lineari reali di una variabile reale, proiezione dei vettori del piano su un vettore, rotazione del piano) e non esempi (funzioni affini, norma su uno spazio vettoriale reale), matrice associata ad un'applicazione lineare tra spazi vettoriali di dimensioni finite, esempio della matrice di rotazione nel piano, definizione di matrice, vettore riga, vettore colonna, algebra delle matrici: uguaglianza, somma, differenza, matrice zero, moltiplicazione di una matrice per uno scalare, prodotto di matrici conformabili e composizione delle trasformazioni lineari definite dalle matrici fattori, prodotto scalare di vettori, matrice identità, proprietà delle operazioni con le matrici (senza dimostrazione) ed esempi, non commutatività del prodotto matriciale, divisori dello zero, alcuni esempi per la moltiplicazione di matrici in vari modi: calcolo del prodotto (1) elemento per elemento (righe per colonne), (2) colonna per colonna, (3) riga per riga, (4) come somma di colonne per righe (si veda la lezione del Prof. Gilbert Strang del MIT su YouTube).
Esercizi consigliati: foglio del 09/11/2013.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 71-81 (algebra delle matrici, matrici speciali, rotazione nel piano, rappresentazione matriciale delle trasformazioni lineari, matrice della composizione di trasformazioni lineari).

14.11.13

Esempio per il calcolo del prodotto di matrici come somma di "colonne per righe", matrice trasposta e sue proprietà, nucleo di una trasformazione lineare e trasformazioni iniettive, immagine di una trasformazione lineare e trasformazioni suriettive, formula di dimensione (teorema del rango) e trasformazioni biiettive tra spazi vettoriali di dimensione finita, matrice invertibile (non singolare) e l'inversa di una matrice invertibile, sue proprietà.

15.11.13

Esempio per il calcolo dell'inversa di una matrice invertibile risolvendo sistemi lineari, rango o caratteristica di una matrice come il massimo numero di colonne della matrice che sono linearmente indipendenti, il rango è uguale al massimo numero di righe linearmente indipendenti (senza dimostrazione), matrici quadrate sono invertibili se e solo se hanno rango massimo, la matrice dell'inversa di una trasformazione lineare è l'inversa della matrice della trasformazione, l'insieme delle trasformazioni lineari tra due spazi vettoriali è uno spazio vettoriale, l'insieme delle matrici di formato fissato è uno spazio vettoriale, la corrispondenza tra applicazioni lineari e matrici è un isomorfismo di spazi vettoriali, esempio per tale corrispondenza (proiezione ortogonale del piano su una retta), cambiamento di base e cambiamento delle coordinate mediante la matrice contragrediente della matrice di trasformazione dei vettori di base, esempio, definizione di matrice ortogonale, una matrice invertibile coincide con la sua contragrediente se e solo se essa è ortogonale.
Esercizi consigliati: foglio del 16/11/2013.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, p. 92 (prodotto di matrici invertibili), pp. 89, 101 (rango; la conseguenza del teor. 4.2 è la nostra def.), pp. 78-81 (rappresentazione matriciale delle trasformazioni lineari), pp. 109, 110 (cambiamento di base, fino a x^∼ = S^-1x).

21.11.13

Cambiamenti di base negli spazi di partenza e di arrivo di un'applicazione lineare e formula di trasformazione della matrice rappresentativa dell'applicazione rispetto alle basi, relazioni di equivalenza e di similitudine fra matrici, matrici sono equivalenti, cioè rappresentano rispetto a basi diverse la stessa trasformazione lineare, se e solo se le matrici hanno lo stesso rango, la matrice "più semplice" fra le matrici equivalenti (matrice in forma canonica), matrici rappresentano lo stesso endomorfismo di uno spazio vettoriale di dimensione finita rispetto a basi diverse dello spazio se e solo se sono simili, sistema di due equazioni lineari in due incognite, sistema lineare in forma matriciale, interpretazione geometrica del sistema per righe e per colonne, soluzione del sistema con il metodo di eliminazione di Gauss e con la regola di Cramer.

22.11.13

Risoluzione di un sistema di equazioni lineari con l'algoritmo di Gauss-Jordan (C.F. Gauss, 1777-1855; W. Jordan, 1842-1899), cioè riduzione della matrice completa del sistema a scala per righe e poi a scala per righe in forma ridotta, esempi, operazioni elementari sulle righe di una matrice e loro interpretazione come moltiplicazione (dalla sinistra) con matrici elementari (cenno), applicazione dell'algoritmo di Gauss-Jordan al calcolo dell'inversa di una matrice invertibile e al calcolo del rango di una matrice, teorema di Rouché-Capelli (E. Rouché, 1832-1910; A. Capelli, 1855-1910), sistema omogeneo associato e dimensione dello spazio vettoriale delle sue soluzioni (spazio nullo), spazio (affine) delle soluzioni del sistema non omogeneo, soluzioni di un sistema non omogeneo come somma di una soluzione particolare e della soluzione "generale" del sistema omogeneo associato (si veda la dispensa, pag. 24).
Esercizi consigliati: foglio del 23/11/2013.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 96-106 (sistemi lineari).

28.11.13

Definizione assiomatica del determinante secondo Weierstrass come funzione lineare, alternante e normalizzata delle righe di una matrice quadrata, esistenza, unicità e proprietà elementari del determinante ed esempi, in particolare: determinante di una matrice triangolare, calcolo del determinante con l'algoritmo di Gauss, teorema di Binet (J. Binet, 1786-1856), formula di Leibniz per il determinante (definizione costruttiva), richiamo sulle permutazioni (trasposizioni, inversioni, segno di una permutazione), determinante di matrici quadrate di ordine 2 e 3, regola di Sarrus (P. F. Sarrus, 1798-1861), determinante della trasposta di una matrice.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 81-88 (determinante).

29.11.13

Calcolo del determinante mediante lo sviluppo di Laplace, esempio, calcolo della matrice inversa di una matrice quadrata non singolare con il metodo della matrice dei cofattori (o dei complementi algebrici o aggiunti), esempi, calcolo dell'inversa di una matrice quadrata invertibile con l'algoritmo di Gauss-Jordan (C.F. Gauss, 1777-1855, W. Jordan, 1842-1899), esempio, significato geometrico del determinante (volume con un segno), richiamo sul prodotto vettoriale (o prodotto esterno) di vettori dello spazio tridimensionale, "regola della mano destra", prodotto vettoriale di vettori numerici come determinante "formale", prodotto misto, volume di un parallelepipedo.
Esercizi consigliati: foglio del 30/11/2013.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 45-48 (prodotto vettoriale e prodotto misto nello spazio tridimensionale), pp. 81-83 (sviluppo di Laplace), pp. 88-88 (prodotto vettoriale e prodotto misto, significato geometrico del determinante), pp. 90-92 (calcolo dell'inversa di una matrice invertibile con il metodo dei cofattori).

05.12.13

Cambiamento di base di spazi vettoriali di dimensione finita e la formula di trasformazione per la matrice rappresentativa di un'applicazione lineare, matrici equivalenti, la matrice "più semplice" fra le matrici equivalenti (matrice in forma canonica), ricerca di basi negli spazi di partenza e di arrivo di una trasformazione lineare per ottenere la sua matrice rappresentativa in forma canonica, esempio, formula di trasformazione per la matrice rappresentativa di un endomorfismo, matrici simili, autovettori e autovalori di endomorfismi e matrici, esempi nel caso di dimensione infinita, endomorfismi diagonalizzabili (di spazi vettoriali di dimensione finita).

06.12.13

Autovalori e autovettori di un endomorfismo di uno spazio vettoriale e di una matrice quadrata, endomorfismo (e matrice) diagonalizzabile, autospazio relativo a un autovalore, autospazi relativi ad autovalori distinti hanno solo il vettore nullo in comune, autovettori relativi ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti, polinomio caratteristico di una matrice quadrata e di un endomorfismo, determinante di un endomorfismo, coefficienti del polinomio caratteristico (con segno alternato) come somme dei minori diagonali (pag. 124 del documento linkato) di ordine fissato, la dimensione dell'autospazio di un autovalore (ossia la sua molteplicità geometrica) non supera la sua molteplicità algebrica, condizione sufficiente e necessaria per la diagonalizzabilità di un endomorfismo, esempi per il calcolo di autovalori e autospazi, in particolare proiezione ortogonale del piano su una retta, esempio di una matrice non diagonalizzabile, rotazione del piano.
Esercizi consigliati: foglio del 07/12/2013.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 76-77 (rotazione nel piano), p. 113, Esempio 6.2 (rotazione per 90 gradi), pp. 113-116 (diagonalizzabilità).

12.12.13

Riassunto sul calcolo di autovalori, autovettori e sulla diagonalizzazione di matrici quadrate, passaggio dalla base canonica di Rⁿ o Cⁿ ad un'altra base, matrice di passaggio, matrici che rappresentano lo stesso endomorfismo (matrici simili) hanno lo stesso polinomio caratteristico, richiamo sulla molteplicità algebrica e sulla molteplicità geometrica di un autovalore, autovalori regolari, teorema di diagonalizzabilità, esempi, in particolare autovalori e autovettori reali e complessi di rotazioni nel piano e di rotazioni nello spazio (asse della rotazione come autospazio rispetto all'autovalore uno, ricavare l'angolo della rotazione dagli autovalori complessi coniugati o dalla traccia), rette isotrope, definizione di matrice ortogonale e matrice unitaria, matrici ortogonali rappresentano isometrie, gli autovalori di matrici ortogonali o unitarie hanno valore assoluto uno, matrici reali e simmetriche e matrici hermitiane.
Esercizi consigliati: foglio del 14/12/2013.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 109-117 (autovettori ed autovalori, diagonalizzazione), p. 120 (rotazioni dello spazio).

19.12.13

Proprietà delle matici ortogonali, matrici ortogonali rappresentano rispetto a basi ortonormali endomorfismi che sono isometrie (rotazioni se il determinante è 1 e la composizione di una rotazione e una riflessione se il determinante è -1), cenno al gruppo ortogonale, matrici reali simmetriche, esempi: matrice hessiana di una funzione reale di n variabili reali con derivate parziali seconde continue, matrice associata a un prodotto scalare, formula di trasformazione di coordinate per una forma bilineare simmetrica, esempio, matrice simmetrica reale e definita positiva, condizioni necessarie e sufficienti affinché una matrice simmetrica sia definita positiva (positività degli autovalori, criterio di Sylvester), definizione di endomorfismo autoaggiunto di uno spazio euclideo (prehilbertiano), sua matrice rappresentativa rispetto una base ortonormale e simmetrica (hermitiana). Compilazione dei questionari sulla valutazione della didattica.

09.01.14

Richiami e riassunto sulla rappresentazione matriciale di applicazioni lineari fra spazi vettoriali di dimensione finita, costruzione di basi per ottenere la matrice della trasformazione lineare in forma canonica, formula del cambiamento di base per la matrice di applicazioni lineari ed endomorfismi, autovettori e diagonalizzabilità di endomorfismi, teorema spettrale per endomorfismi autoaggiunti di spazi vettoriali reali o complessi muniti di un prodotto scalare e di dimensione finita (senza dimostrazione), endomorfismi autoaggiunti hanno (sia nel caso reale che complesso) autovalori reali ed autospazi ortogonali, esempio per la diagonalizzazione di una matrice quadrata reale simmetrica con una matrice di passaggio ortogonale.

10.01.14

Esempi di diagonalizzazione di endomorfismi autoaggiunti di R² e R³ con autospazi di dimensione 1 o 2 mediante matrici di passaggio ortogonali, descrizione geometrica degli endomorfismi, cambiamenti di basi ortonormali, in particolare rotazioni, equazione parametrica vettoriale di una retta e di un piano.

16.01.14

Esempio della diagonalizzazione di un endomorfismo autoaggiunto di R³ (con un autovalore di molteplicità due) mediante una rotazione, rotazioni nello spazio (asse della rotazione come autospazio rispetto all'autovalore uno, ricavare l'angolo della rotazione dagli autovalori complessi coniugati o dalla traccia).

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 76-77 (rotazione nel piano), p. 113, Esempio 6.2 (rotazione per 90 gradi), pp. 120-121 (rotazioni nello spazio).

17.01.14

Esempio della diagonalizzazione di una matrice hermitiana mediante una matrice unitaria di passaggio, prodotto vettoriale (o prodotto esterno) di vettori dello spazio tridimensionale, "regola della mano destra", proprietà algebriche del prodotto vettoriale, prodotto vettoriale di vettori numerici come determinante "formale", prodotto misto, volume di un parallelepipedo, esercizi sui numeri complessi.
Esercizi consigliati: foglio del 15/12/2012.

last updated 18th January 2014 Rüdiger Achilles