Argomenti trattati a lezione

06.10.16

Presentazione del corso (programma, modalità dell'esame, esercizi settimanali, tutorato ecc.). Testo consigliato:
M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa: Matematica. Calcolo infinitesimale e algebra lineare. 2a ed., Zanichelli, Bologna, 2004, per il modulo del prof. Negrini: S. Salsa, A. Squellati, Esercizi di Analisi matematica 1, 2 (due volumi), Zanichelli, Bologna, 2011.
Insiemi numerici: numeri naturali, interi, razionali e reali, rappresentazione decimale dei numeri reali, numeri razionali come numeri decimali periodici, la radice di due non è un numero razionale, numeri complessi, definizione e operazioni aritmetiche, esempi.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, p. 3 (insiemi numerici), pp. 20-21 (numeri complessi).

07.10.16

Piano dei numeri complessi o piano di Wessel-Argand-Gauss, complesso coniugato e sue proprietà, ordine totale o ordine lineare dei numeri reali, i numeri complessi non possono essere ordinati in modo compatibile con le operazioni aritmetiche, valore assoluto o modulo di un numero complesso e distanza fra due punti del piano complesso, intorno simmetrico (o circolare) di un numero reale e di un numero complesso, proprietà del valore assoluto, in particolare disuguaglianza triangolare, intepretazione geometrica della addizione e sottrazione di numeri complessi come addizione e sottrazione di vettori nel piano, coordinate polari, conversione da coordinate polari a coordinate cartesiane e viceversa, numeri complessi in forma polare o trigonometrica, intepretazione geometrica della moltiplicazione di numeri complessi come la composizione di una rotazione nel piano complesso e di una omotetia, esempi, formula di de Moivre.
Esercizi consigliati: foglio del 08/10/2016.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 22-30 (somma e differenza di vettori nel piano, coniugato e modulo, forma trigonometrica, formula di de Moivre).

20.10.16

Radici n-esime di numeri complessi, in particolare radici dell'unità e poligoni regolari, radice è funzione polidroma, esempi, esempio di roto-omotetia (ossia la composizione di una rotazione nel piano complesso e di una omotetia) mediante moltiplicazione per un numero complesso usando il software Octave (l'alternativa free a MATLAB; download Octave e pacchetti da Octave-Forge), calcolo delle radici quadrate di un numero complesso usando le formule di riduzione della potenza o di bisezione per le funzioni seno e coseno, esempio, formula risolutiva per equazioni algebriche di secondo grado, esempio per la soluzione di un'equazione algebrica di secondo grado a coefficienti complessi.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 28-30 (radici n-esime, equazioni di secondo grado).

21.10.16

Richiamo sulle serie, esempio della serie geometrica, sua somma parziale e comportamento della serie, sviluppo in serie di Maclaurin della funzione esponenziale e delle funzioni goniometriche, formula di Eulero, numeri complessi in forma esponenziale, funzione esponenziale complessa, cenno al logaritmo complesso, esercizi sui numeri complessi.
Esercizi consigliati: foglio del 23/10/2016.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 138-140 (serie numeriche, serie geometrica), pp. 272-277 (serie di Taylor, serie di potenze, esponenziale complesso, formula di Eulero, logaritmo nel campo complesso, elevamento a potenza complessa).

27.10.16

Vettori geometrici (si veda anche il video - in lingua inglese - su YouTube), somma o risultante di vettori, differenza di vettori, vettore nullo o vettore zero, moltiplicazione di un vettore per uno scalare, regole dell'algebra vettoriale, definizione di spazio vettoriale, vettori numerici o algebrici, operazioni con i vettori numerici, modulo o norma euclidea di un vettore numerico, prodotto interno o prodotto scalare, esempio introduttivo (lavoro meccanico in fisica), è ancora da finire.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 35-41 (vettori nel piano e nello spazio), pp. 57-59 (spazi vettoriali).

28.10.16

Prodotto interno o prodotto scalare, esempio introduttivo (lavoro meccanico in fisica) e prodotto scalare standard di Rⁿ (risp. prodotto hermitiano standard di Cⁿ), proprietà e definizione assiomatica del prodotto scalare (risp. prodotto hermitiano) come forma bilineare (risp. sesquilineare) simmetrica (risp. hermitiana) definita positiva, versori o vettori normalizzati, vettori ortogonali, proiezione ortogonale di un vettore su un vettore non nullo (si veda la dispensa di T. Penati, p. 1), esempio, disuguaglianza di Cauchy-Buniakovskii-Schwarz, angolo tra due vettori di Rⁿ, esempio per il calcolo dell'angolo tra due vettori.
Esercizi consigliati: foglio del 29/10/2016.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 43, 44 (prodotto scalare, proiezioni), pp. 63-65 (prodotto scalare in Rⁿ, norma o modulo, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz).

03.11.16

Prodotto vettoriale (o prodotto esterno) di vettori dello spazio tridimensionale, "regola della mano destra", proprietà del prodotto vettoriale, esempi per il calcolo di aree utilizzando il prodotto vettoriale, determinante di ordine due, prodotto misto, volume di un parallelepipedo, determinante di ordine tre, regola di Sarrus.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 45-48 (prodotto vettoriale, prodotto misto nello spazio tridimensionale), pp. 81-82 (determinante), p. 86 (regola di Sarrus).

04.11.16

Osservazioni sul prodotto misto, prodotto vettoriale come determinante formale, calcolo del determinante mediante lo sviluppo di Laplace, esempio (area di un triangolo), vettore normale ad una retta nel piano e vettore normale ad un piano nello spazio, equazioni parametriche vettoriali, parametriche scalari e cartesiane di rette nel piano e di piani nello spazio, equazioni nella forma normale di Hesse (Ludwig Otto Hesse) e distanza di un punto da una retta nel piano e di un punto da un piano nello spazio, esempio, intersezioni di rette nel piano e di piani nello spazio, regola di Cramer e sua interpretazione geometrica, esempio.
Esercizi consigliati: foglio del 05/11/2016.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 48-55 (geometria analitica lineare nello spazio), pp. 81-83 (sviluppo di Laplace di un determinante), pp. 97-99 (metodo di Cramer).

10.11.16

Rette nello spazio, equazioni cartesiane e equazione parametrica vettoriale della retta, sottospazi vettoriali (o sottospazi lineari), loro caratterizzazione ed esempi, intersezione di sottospazi vettoriali, span (copertura) lineare o sottospazio generato da una famiglia di vettori, famiglia di vettori linearmente indipendente e linearmente dipendente, esempi in R² e in R³.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 48-50 (equazioni di rette nello spazio), pp. 41-43 (combinazioni lineari di vettori, indipendenza lineare).

11.11.16

Base e dimensione di uno spazio vettoriale, coordinate (o componenti scalari) di un vettore rispetto ad una base, esempi, in particolare scomposizione di un vettore lungo due direzioni assegnate, base canonica di Rⁿ, esempio per la costruzione di una base da una famiglia di generatori di un sottospazio di Rⁿ ovvero calcolo della dimensione e di una base dello spazio lineare generato dalle righe di una matrice mediante il metodo di eliminazione di Gauss (riduzione a scala per righe di una matrice eseguendo operazioni elementari sulle righe della matrice), rango o caratteristica di una matrice come il massimo numero di righe della matrice che sono linearmente indipendenti (cioè la dimensione dello spazio lineare generato dalle righe), il rango è uguale al massimo numero di colonne linearmente indipendenti (senza dimostrazione), procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt (J. P. Gram, 1850-1916; E. Schmidt, 1876-1959), esempio per la costruzione di una base ortonormale.
Esercizi consigliati: foglio del 12/11/2015.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 60-63 (base e dimensione), pp. 66-67 (procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt).

17.11.16

Proiezione ortogonale di un vettore su un sottospazio lineare. Trasformazioni lineari e matrici: definizione di funzione, trasformazione, applicazione lineare o omomorfismo, esempi di trasformazioni lineari (funzioni lineari reali di una variabile reale, rotazione del piano) e non esempio (funzione lineare affine), tipi di trasformazioni lineari o omomorfismi (monomorfismo, epimorfismo, isomorfismo, endomorfismo, automorfismo), nucleo di una trasformazione lineare, nucleo e immagine di una trasformazione lineare sono sottospazi lineari.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 69-71 (funzioni lineari).

18.11.16

Una trasformazione lineare è iniettiva se e solo se ha nucleo nullo, formula di dimensione (teorema del rango) e trasformazioni biiettive tra spazi vettoriali della stessa dimensione finita, esistenza ed unicità dell'applicazione lineare, cioè le immagini dei vettori di base dello spazio di partenza determinano unicamente la trasformazione, matrice associata ad un'applicazione lineare tra spazi vettoriali di dimensioni finite e applicazione lineare definita da una matrice, algebra delle matrici: uguaglianza, somma, differenza, matrice zero, moltiplicazione di una matrice per uno scalare, esempi, la corrispondenza tra applicazioni lineari e matrici è un isomorfismo di spazi vettoriali, esempio di calcolo della matrice associata alla composizione di trasformazioni lineari per motivare la definizione del prodotto di matrici conformabili (ancora da fare).
Esercizi consigliati: foglio del 19/11/2015.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 71-81 (algebra delle matrici, rappresentazione matriciale delle trasformazioni lineari), pp. 100-103 (immagine e nucleo di una trasformazione lineare, formula di dimensione).

24.11.16

Prodotto di matrici conformabili, esempi, in particolare non commutatività del prodotto matriciale divisori dello zero, proprietà del prodotto, matrice identità, matrici invertibili, l'inversa di una matrice invertibile, matrici elementari (di Gauss) e loro inverse, esempi.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 73-75.

25.11.16

Matrice trasposta e sue proprietà, definizione di matrice simmetrica e matrice hermitiana, matrice contragrediente di una matrice invertibile, calcolo dell'inversa di una matrice invertibile con l'algoritmo di Gauss-Jordan utilizzando moltiplicazioni dalla sinistra con matrici elementari, esempi, matrici quadrate sono invertibili se e solo se hanno rango massimo, se e solo esse rappresentano isomorfismi (equivalentemente endomorfismi iniettivi o endomorfismi suriettivi) di spazi vettoriali di dimensione finita, la matrice associata alla trasformazione inversa di un isomorfismo è l'inversa della matrice dell'isomorfismo, proprietà di matrici invertibili, cenno al gruppo generale lineare, definizione assiomatica del determinante secondo Weierstrass come funzione lineare, alternante e normalizzata delle righe di una matrice quadrata, esistenza e unicità, determinante della trasposta di una matrice, calcolo del determinante mediante lo sviluppo di Laplace, esempi, calcolo della matrice inversa di una matrice invertibile con il metodo della matrice dei cofattori (o dei complementi algebrici o aggiunti), esempio.
Esercizi consigliati: foglio del 26/11/2016.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, p. 75 (matrice trasposta, matrice simmetrica), pp. 81-85 (determinante), pp. 89-92 (matrice inversa), p. 103 (trasformazioni iniettive e suriettive).

01.12.16

Proprietà elementari del determinante, in particolare l'effetto delle operazioni elementari sulle righe (colonne), determinante di una matrice triangolare, formula di Leibniz per il determinante (definizione costruttiva), calcolo del segno di una permutazione mediante il numero delle inversioni, esempio per il calcolo del determinate con l'algoritmo di Gauss eseguendo operazioni elementari sulle righe (colonne) della matrice. Compilazione dei questionari sulla valutazione della didattica.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 81-86 (determinante).

02.12.16

Determinanti delle matrici elementari, teorema di Binet (J. Binet, 1786-1856), risoluzione di un sistema di equazioni lineari con l'algoritmo di Gauss-Jordan, esempio di un sistema indeterminato e di un sistema impossibile, sistema omogeneo associato e dimensione dello spazio vettoriale delle sue soluzioni ( spazio nullo), spazio (affine) delle soluzioni del sistema non omogeneo, soluzioni di un sistema non omogeneo come somma di una soluzione particolare e della soluzione "generale" del sistema omogeneo associato (si veda la dispensa, pag. 24), cambiamento di base e cambiamento delle coordinate mediante la matrice contragrediente della matrice di trasformazione dei vettori di base (da finire).
Esercizi consigliati: foglio del 03/12/2016.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 81-86 (determinante), pp. 96-106 (sistemi lineari).

09.12.16

Cambiamento di base e cambiamento delle coordinate mediante la matrice contragrediente della matrice di trasformazione dei vettori di base, cambiamento di base di spazi vettoriali di dimensione finita e formula di trasformazione per la matrice rappresentativa di un'applicazione lineare, matrici equivalenti, la matrice "più semplice" fra le matrici equivalenti (matrice in forma canonica), esempio per la ricerca di basi negli spazi di partenza e di arrivo di una trasformazione lineare per ottenere la sua matrice rappresentativa in forma canonica (utilizzando operazioni elementari sulle righe per ottenere una matrice a scala e poi sulle colonne per ottenere la forma canonica), formula di trasformazione per la matrice rappresentativa di un endomorfismo, matrici simili, invarianza del determinante per similitudine, autovalori e autovettori di un endomorfismo di uno spazio vettoriale e di una matrice quadrata, esempi (rotazione del piano, proiezione dei vettori del piano su un vettore).
Esercizi consigliati: foglio del 10/12/2016.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 76-77 (rotazione nel piano), pp. 109-111 (matrici simili, autovalori, autovettori).

15.12.16

Autovalori e autovettori di un endomorfismo di uno spazio vettoriale e di una matrice quadrata, endomorfismo (e matrice quadrata) diagonalizzabile, autospazio relativo a un autovalore, autospazi relativi ad autovalori distinti hanno solo il vettore nullo in comune, autovettori relativi ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti, polinomio caratteristico di una matrice quadrata, polinomio caratteristico di un endomorfismo (invarianza del polinomio caratteristico per similitudine), esempio per la diagonalizzazione di una matrice quadrata (da finire).

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 109-115 (matrici diagonalizzabili, autovalori ed autovettori di una matrice, condizioni di diagonalizzabilità).

16.12.16

Esempio per la diagonalizzazione di una matrice quadrata e il calcolo della matrice di passaggio dalla base canonica alla base formata di autovettori, la dimensione dell'autospazio di un autovalore (ossia la sua molteplicità geometrica) non supera la sua molteplicità algebrica (dimostrazione), teorema di diagonalizzabilità, esempi (e controesempi) per la diagonalizzazione di endomorfismi o di matrici: esempio di una matrice non diagonalizzabile ("blocco di Jordan"), proiezione dei vettori del piano su un vettore, coefficienti del polinomio caratteristico (con segno alternato) come somme dei minori diagonali (pag. 124 del documento [= pag. 128 del file] linkato) di ordine fissato, rotazione del piano e sua diagonalizzazione nel campo complesso.
Esercizi consigliati: foglio del 17/12/2016.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 109-115 (matrici diagonalizzabili, autovalori ed autovettori di una matrice, condizioni di diagonalizzabilità).

22.12.16

Definizione di endomorfismo ortogonale o unitario di uno spazio euclideo o di uno spazio unitario (detto anche spazio prehilbertiano o spazio hermitiano) rispettivamente, sue proprietà elementari, definizione di matrice ortogonale e sue proprietà, definizione di matrice unitaria e sue proprietà, esempi: matrici ortogonali di ordine due (pag. 2 del documento linkato), cioè matrici di rotazione e di riflessione del piano, matrici di rotazione dello spazio, matrici di Pauli.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 120-121 (rotazioni dello spazio), pp. 117-118 (proprietà delle matrici ortogonali).

23.12.16

Definizione di endomorfismo autoaggiunto di uno spazio euclideo o di uno spazio unitario (detto anche spazio prehilbertiano o spazio hermitiano), endomorfismi autoaggiunti hanno (sia nel caso reale che complesso) autovalori reali ed autospazi ortogonali, matrice rappresentativa di un endomorfismo autoaggiunto rispetto ad una base ortonormale è simmetrica o hermitiana rispettivamente, teorema spettrale per endomorfismi autoaggiunti di spazi vettoriali reali o complessi muniti di un prodotto scalare e di dimensione finita, cioè una matrice reale simmetrica o una matrice hermitiana è diagonalizzabile con una matrice di passaggio ortogonale o unitaria, esempi di diagonalizzazione di endomorfismi di R³ rappresentati da matrici simmetriche, anche con autovalori di molteplicità algebrica maggiore di uno, calcolo della matrice ortogonale di passaggio dalla base di autovettori alla base canonica e delle sua matrice inversa, esempio di diagonalizzazione di una matrice hermitiana mediante una matrice unitaria di passaggio.
Esercizi consigliati: foglio del 24/12/2016.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 117-121 (matrici reali simmetriche, rotazioni dello spazio).

12.01.17

Esempio per la classificazione dei punti critici di una funzione di tre variabili reali mediante gli autovalori della matrice hessiana, richiamo sulla formula di Taylor al secondo ordine per funzioni di n variabili reali, esempio per il calcolo di una base ortonormale di R³ formata dagli autovettori di una matrice simmetrica 3 × 3.

13.01.17

Discussione di esercizi sui seguenti argomenti: autovalori e autovettori, rotazioni dello spazio, teorema di diagonalizzabilità, teorema spettrale per endomorfismi autoaggiunti di spazi euclidei, equazione di secondo grado a coefficienti complessi.

last updated 12th January 2017 Rüdiger Achilles