Argomenti trattati a lezione

05.10.17

Presentazione del corso (programma, modalità dell'esame, esercizi settimanali, tutorato ecc.). Testo consigliato:
M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa: Matematica. Calcolo infinitesimale e algebra lineare. 2a ed., Zanichelli, Bologna, 2004, per il modulo del prof. Negrini: S. Salsa, A. Squellati, Esercizi di Analisi matematica 1, 2 (due volumi), Zanichelli, Bologna, 2011.
Insiemi numerici: numeri naturali, interi, razionali e reali, rappresentazione decimale dei numeri reali, la radice di due non è un numero razionale, numeri complessi, definizione e operazioni aritmetiche, piano dei numeri complessi o piano di Wessel-Argand-Gauss, valore assoluto o modulo di un numero complesso, complesso coniugato, intepretazione geometrica della addizione e sottrazione di numeri complessi come addizione e sottrazione di vettori nel piano, coordinate polari, conversione da coordinate polari a coordinate cartesiane e viceversa.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, p. 3 (insiemi numerici), pp. 20-21 (numeri complessi).

06.10.17

Funzione arcotangente2, esempi per le operazioni aritmetiche con i numeri complessi, ordine lineare dei numeri reali, i numeri complessi non possono essere ordinati in modo compatibile con le operazioni aritmetiche, numeri complessi in forma polare o trigonometrica, intepretazione geometrica della moltiplicazione (e divisione) di numeri complessi come roto-omotetia, ossia composizione di rotazione nel piano complesso e di omotetia, esempi, anche usando il software Octave (l'alternativa free a MATLAB; download Octave e pacchetti da Octave-Forge), formula di de Moivre, esempio, radici n-esime di numeri complessi, in particolare radici dell'unità e poligoni regolari, radice come funzione polidroma, radice principale di un numero complesso, calcolo delle radici quadrate di un numero complesso usando le formule di riduzione della potenza o di bisezione per le funzioni coseno e seno, esempio.
Esercizi consigliati: foglio del 08/10/2016.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 22-29 (coniugato e modulo, forma trigonometrica, formula di de Moivre, radici n-esime).

12.10.17

Formula risolutiva per equazioni algebriche di secondo grado, esempio per la soluzione di un'equazione algebrica di secondo grado a coefficienti complessi, teorema fondamentale dell'algebra (si veda la dispensa, pag. 5 o, per una dimostrazione, il video del prof. D. Eisenbud su YouTube), proprietà del complesso coniugato di un numero complesso, radici di un polinomio a coefficienti reali sono complesse coniugate, proprietà del valore assoluto, in particolare disuguaglianza triangolare, richiamo sulle serie, esempio della serie geometrica, sua somma parziale e comportamento della serie, sviluppo in serie di Maclaurin della funzione esponenziale e delle funzioni goniometriche (senza dimostrazione), formula di Eulero, numeri complessi in forma esponenziale, funzione esponenziale complessa.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, p. 30 (equazioni di secondo grado), pp. 138-140 (serie numeriche, serie geometrica), pp. 272-276 (serie di Taylor, serie di potenze, esponenziale complesso, formula di Eulero).

13.10.17

Conseguenze della formula di Eulero, logaritmo complesso ed elevamento a potenza complessa, esempi. Vettori geometrici (si veda anche il video - in lingua inglese - su YouTube), somma o risultante di vettori, differenza di vettori, vettore nullo o vettore zero, moltiplicazione di un vettore per uno scalare, regole dell'algebra vettoriale, definizione di spazio vettoriale, prodotto interno o prodotto scalare, esempio introduttivo (lavoro meccanico in fisica), esercizi sui numeri complessi.
Esercizi consigliati: foglio del 23/10/2016 e gli esercizi (sui numeri complessi) delle prove scritte del passato.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 276-277 (logaritmo complesso, elevamento a potenza complessa), pp. 35-38 (vettori nel piano e nello spazio),

19.10.17

Prodotto vettoriale (o prodotto esterno) di vettori dello spazio tridimensionale, "regola della mano destra", vettori numerici o algebrici, operazioni con i vettori numerici, modulo o norma euclidea di un vettore numerico, prodotto interno o prodotto scalare, prodotto scalare standard di Rⁿ (risp. prodotto hermitiano standard di Cⁿ).

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 38-45 (vettori nel piano e nello spazio).

20.10.17

Proprietà e definizione assiomatica del prodotto scalare (risp. prodotto hermitiano) come forma bilineare (risp. sesquilineare) simmetrica (risp. hermitiana) definita positiva, spazio euclideo (risp. hermitiano o prehilbertiano), norma indotta da un prodotto scalare (risp. hermitiano), vettori normalizzati (versori), distanza indotta da una norma, vettori ortogonali, vettori ortonormali, proiezione ortogonale di un vettore su un vettore non nullo (si veda la dispensa di T. Penati, p. 1) e proiezione ortogonale su un piano, disuguaglianza di Cauchy-Buniakovskii-Schwarz, angolo tra due vettori di Rⁿ, esercizi sul prodotto scalare.
Esercizi consigliati: foglio del 29/10/2016.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 43-44 (prodotto scalare), pp. 63-65 (prodotto scalare in Rⁿ, norma o modulo, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz).

02.11.17

Proprietà del prodotto vettoriale, determinanti di ordini due e tre, regola di Sarrus, calcolo del determinante mediante lo sviluppo di Laplace, prodotto vettoriale come determinante formale, esempi per il calcolo di aree utilizzando il prodotto vettoriale, prodotto misto, volume di un parallelepipedo, esempio, vettore normale ad una retta nel piano e ad un piano nello spazio, equazioni cartesiane, parametriche vettoriali e vettoriali di rette nel piano e di piani nello spazio, equazioni nella forma normale di Hesse (Ludwig Otto Hesse) e distanza di un punto da una retta nel piano e di un punto da un piano nello spazio, esempio, rette nello spazio, equazioni cartesiane e equazione parametrica vettoriale della retta.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 45-48 (prodotto vettoriale, prodotto misto nello spazio tridimensionale), pp. 81-83 (determinante), p. 86 (regola di Sarrus), pp. 48-55 (geometria analitica lineare nello spazio).

03.11.17

Intersezioni di rette nel piano e di piani nello spazio, regola di Cramer e sua interpretazione geometrica, esempio (calcolo di un determinante di ordine quattro mediante lo sviluppo di Laplace), sottospazi vettoriali (o sottospazi lineari), loro caratterizzazione ed esempi, intersezione di sottospazi vettoriali, span (copertura) lineare o sottospazio generato da una famiglia di vettori, famiglia di vettori linearmente indipendente e linearmente dipendente, esempi in R² e in R³, base e dimensione di uno spazio vettoriale, esempi, in particolare scomposizione di un vettore lungo due direzioni assegnate, base canonica di Rⁿ.
Esercizi consigliati: foglio del 05/11/2016.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 81-83 (sviluppo di Laplace di un determinante), pp. 97-99 (metodo di Cramer), pp. 41-43 (combinazioni lineari di vettori, indipendenza lineare), pp. 60-63 (base e dimensione).

09.11.17

Esempio per la costruzione di una base da una famiglia di generatori di un sottospazio di Rⁿ ovvero calcolo della dimensione e di una base dello spazio lineare generato dalle righe di una matrice mediante il metodo di eliminazione di Gauss (riduzione a scala per righe di una matrice eseguendo operazioni elementari sulle righe della matrice), rango o caratteristica di una matrice come il massimo numero di righe della matrice che sono linearmente indipendenti (cioè la dimensione dello spazio lineare generato dalle righe), il rango è uguale al massimo numero di colonne linearmente indipendenti (senza dimostrazione), procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt (J. P. Gram, 1850-1916; E. Schmidt, 1876-1959).
Esercizi consigliati: foglio del 12/11/2015.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 60-63 (base e dimensione), pp. 66-67 (procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt).

10.11.17

Esempi per la costruzione di una base ortonormale. Trasformazioni lineari e matrici: definizione di funzione, trasformazione, applicazione lineare o omomorfismo, esempi di trasformazioni lineari (funzioni lineari reali di una variabile reale, rotazione del piano, proiezione ortogonale dei vettori del piano su una retta) e non esempio (funzione lineare affine), nucleo di una trasformazione lineare, nucleo e immagine di una trasformazione lineare sono sottospazi lineari, rango di una trasformazione lineare, una trasformazione lineare è iniettiva se e solo se ha nucleo nullo, tipi di trasformazioni lineari o omomorfismi (monomorfismo, epimorfismo, isomorfismo, endomorfismo, automorfismo), formula di dimensione (teorema del rango) e trasformazioni biiettive tra spazi vettoriali della stessa dimensione finita, esistenza ed unicità dell'applicazione lineare, cioè le immagini dei vettori di base dello spazio di partenza determinano unicamente la trasformazione, matrice associata ad un'applicazione lineare tra spazi vettoriali di dimensioni finite e applicazione lineare definita da una matrice (da finire).
Esercizi consigliati: gli esercizi 1 e 2 del foglio del 19/11/2015.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, esercizi 1 e 2 del foglio del 19/11/2015pp. 69-71 (funzioni lineari), pp. 78-81 (rappresentazione matriciale delle trasformazioni lineari), pp. 100-103 (immagine e nucleo di una trasformazione lineare, formula di dimensione).

16.11.17

Matrice associata ad un'applicazione lineare tra spazi vettoriali di dimensioni finite e applicazione lineare definita da una matrice, algebra delle matrici: uguaglianza, somma, differenza, matrice zero, moltiplicazione di una matrice per uno scalare, esempi, la corrispondenza tra applicazioni lineari e matrici è un isomorfismo di spazi vettoriali, matrice trasposta e sue proprietà, definizione di matrice simmetrica e matrice hermitiana, prodotto di matrici conformabili.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 71-81 (algebra delle matrici, rappresentazione matriciale delle trasformazioni lineari).

17.11.17

Esempi per il prodotto di matrici, in particolare non commutatività del prodotto matriciale, divisori dello zero, proprietà del prodotto, trasposta di un prodotto, esempio per il calcolo della matrice associata alla composizione di trasformazioni lineari, matrice identità, matrici invertibili, l'inversa di una matrice invertibile, matrici quadrate sono invertibili se e solo se hanno rango massimo, se e solo esse rappresentano isomorfismi (equivalentemente endomorfismi iniettivi o endomorfismi suriettivi) di spazi vettoriali di dimensione finita, la matrice associata alla trasformazione inversa di un isomorfismo è l'inversa della matrice dell'isomorfismo, proprietà di matrici invertibili, matrice contragrediente di una matrice invertibile, cenno al gruppo generale lineare, matrici elementari (di Gauss) e loro inverse.
Esercizi consigliati: gli esercizi 3, 4, 5 e 6 del foglio del 19/11/2015, gli esercizi 1, 2 e 3 del foglio del 26/11/2016.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 71-75 (algebra delle matrici), pp. 78-81 (rappresentazione matriciale delle trasformazini lineari), p. 103 (trasformazioni iniettive e suriettive).

23.11.17

Calcolo dell'inversa di una matrice invertibile con l'algoritmo di Gauss-Jordan utilizzando moltiplicazioni dalla sinistra con matrici elementari, esempio, definizione assiomatica del determinante secondo Weierstrass come funzione lineare, alternante e normalizzata delle righe di una matrice quadrata, esistenza e unicità, formula di Leibniz per il determinante (definizione costruttiva), calcolo del segno di una permutazione mediante il numero delle inversioni, esempio di un determinante di ordine tre.

24.11.17

Proprietà elementari del determinante, in particolare l'effetto delle operazioni elementari sulle righe (colonne), determinante di una matrice triangolare, determinante della trasposta di una matrice, teorema di Binet (J. Binet, 1786-1856), calcolo del determinante mediante lo sviluppo di Laplace, esempio, calcolo della matrice inversa di una matrice invertibile con il metodo della matrice dei cofattori (o dei complementi algebrici o aggiunti), esempio, risoluzione di un sistema di equazioni lineari con l'algoritmo di Gauss-Jordan, esempio di un sistema indeterminato e di un sistema impossibile, sistema omogeneo associato e dimensione dello spazio vettoriale delle sue soluzioni ( spazio nullo), spazio (affine) delle soluzioni del sistema non omogeneo, soluzioni di un sistema non omogeneo come somma di una soluzione particolare e della soluzione "generale" del sistema omogeneo associato (si veda la dispensa, pag. 24), teorema di Rouché-Capelli (E. Rouché, 1832-1910; A. Capelli, 1855-1910).
Esercizi consigliati: gli esercizi 4, 5 e 6 del foglio del 26/11/2016, foglio del 03/12/2016 (tranne l'esercizio 7).

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 81-86 (determinante), pp. 96-106 (sistemi lineari).

30.11.17

Compilazione dei questionari sulla valutazione della didattica. Cambiamento di base e cambiamento delle coordinate mediante la matrice contragrediente della matrice di trasformazione dei vettori di base, esempio, cambiamento di base di spazi vettoriali di dimensione finita e formula di trasformazione per la matrice rappresentativa di un'applicazione lineare, matrici equivalenti, la matrice "più semplice" fra le matrici equivalenti (matrice in forma canonica).

01.12.17

Esempio per la ricerca di basi negli spazi di partenza e di arrivo di una trasformazione lineare per ottenere la sua matrice rappresentativa in forma canonica (utilizzando operazioni elementari sulle righe per ottenere una matrice a scala e poi sulle colonne per ottenere la forma canonica), formula di trasformazione per la matrice rappresentativa di un endomorfismo, matrici simili, invarianza del determinante per similitudine, autovalori e autovettori di un endomorfismo di uno spazio vettoriale e di una matrice quadrata, esempi (proiezione dei vettori del piano su un vettore, rotazione del piano), endomorfismo (e matrice quadrata) diagonalizzabile, autospazio relativo a un autovalore, autospazi relativi ad autovalori distinti hanno solo il vettore nullo in comune, autovettori relativi ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti.
Esercizi consigliati: foglio del 10/12/2016.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 76-77 (rotazione nel piano), pp. 109-111 (matrici simili, autovalori, autovettori).

07.12.17

Polinomio caratteristico di una matrice quadrata, polinomio caratteristico di un endomorfismo (invarianza del polinomio caratteristico per similitudine), esempio per il calcolo degli autovalori e autospazi di una matrice quadrata, la dimensione dell'autospazio di un autovalore (ossia la sua molteplicità geometrica) non supera la sua molteplicità algebrica (dimostrazione).
Esercizi consigliati: esercizi 1 e 3 del foglio del 17/12/2016.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 109-115 (matrici diagonalizzabili, autovalori ed autovettori di una matrice, condizioni di diagonalizzabilità).

14.12.17

Teorema di diagonalizzabilità, esempi (e controesempi) per la diagonalizzazione di endomorfismi o di matrici: esempio per la diagonalizzazione di una matrice quadrata e il calcolo della matrice di passaggio dalla base canonica alla base formata di autovettori, esempio di una matrice non diagonalizzabile ("blocco di Jordan"), proiezione dei vettori del piano su un vettore, coefficienti del polinomio caratteristico (con segno alternato) come somme dei minori diagonali (pag. 124 del documento [= pag. 128 del file] linkato) di ordine fissato.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 109-115 (matrici diagonalizzabili, autovalori ed autovettori di una matrice, condizioni di diagonalizzabilità).

15.12.17

Rotazione del piano e sua diagonalizzazione nel campo complesso, riflessione del piano rispetto a una retta, sua digaonalizzazione mediante una rotazione dei vettori di base, definizione di endomorfismo ortogonale o unitario di uno spazio euclideo o di uno spazio unitario (detto anche spazio prehilbertiano o spazio hermitiano) rispettivamente, sue proprietà elementari, definizione di matrice ortogonale e sue proprietà, definizione di matrice unitaria e sue proprietà, esempi: matrici ortogonali di ordine due (pag. 2 del documento linkato), cioè matrici di rotazione e di riflessione del piano, matrici di rotazione dello spazio, matrici di Pauli.
Esercizi consigliati: foglio del 17/12/2016.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 117-121 (proprietà delle matrici ortogonali, matrici reali simmetriche, rotazioni dello spazio).

21.12.17

Definizione di endomorfismo autoaggiunto di uno spazio euclideo o di uno spazio unitario (detto anche spazio prehilbertiano o spazio hermitiano), endomorfismi autoaggiunti hanno (sia nel caso reale che complesso) autovalori reali ed autospazi ortogonali, matrice rappresentativa di un endomorfismo autoaggiunto rispetto ad una base ortonormale è simmetrica o hermitiana rispettivamente, teorema spettrale per endomorfismi autoaggiunti di spazi vettoriali reali o complessi muniti di un prodotto scalare e di dimensione finita, cioè una matrice reale simmetrica o una matrice hermitiana è diagonalizzabile con una matrice di passaggio ortogonale o unitaria, esempio di diagonalizzazione di un endomorfismo autoaggiunto di R³.

22.12.17

Diagonalizzazione di un endomorfismo autoaggiunto di R³ e calcolo delle matrici di passaggio ortogonali, asse e angolo di una rotazione dello spazio rappresentata da una matrice ortogonale speciale (codice MATLAB/Octave), forma quadratica e sua matrice rappresentativa, esempio in due variabili, richiamo sulla formula di Taylor al secondo ordine per funzioni di n variabili reali, studio della natura dei punti critici mediante la matrice hessiana della funzione nel punto critico che può risultare definita positiva (punto di minimo), definita negativa (punto di massimo), indefinita (punto di sella) o semidefinita ma non definita (non permette una decisione), caratterizzazione delle matrici (reali simmetriche) definite positive mediante la positività degli autovalori o la positività dei minori principali di guida o minori nord-ovest (criterio di Sylvester).
Esercizi consigliati: foglio del 19/12/2015.
Problema natalizio: Quanti triangoli ci sono?

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 439-441 (formula di Taylor al secondo ordine), pp. 444-450 (forme quadratiche, segno di una forma quadratica e autovalori, studio della natura dei punti critici), p. 453 (Esempio 6.9).

11.01.18

Esercizi sui seguenti argomenti: matrici ortogonali, teorema spettrale, calcolo di una matrice di diagonalizzazione ortogonale per matrici simmetriche.

12.01.18

Esercizi sui seguenti argomenti: numeri complessi in forma algebrica, trigonometrica ed esponenziale, radici n-esime di numeri complessi, autovalori e autovettori di endomorfismi di spazi vettoriali di dimensione finita o di matrici quadrate, teorema di diagonalizzabilità, diagonalizzazione di endomorfismi e calcolo delle matrici di passaggio.

18.01.18

Esercizi sui seguenti argomenti: autovalori e autovettori di endomorfismi di spazi vettoriali di dimensione finita o di matrici quadrate, numeri complessi.

last updated 19th January 2018 Rüdiger Achilles