Argomenti trattati a lezione

02.10.06

Presentazione del corso (programma, modalità dell'esame, tutoraggio ecc.). Successioni (e serie) numeriche, definizione di funzione e di successione. Esempi di successioni: successione di intervalli che definisce la radice di due, la radice di due non è un numero razionale, cenno sulla costruzione dei numeri reali mediante (classi di equivalenza di) successioni di intervalli annidati ("scatole cinesi") secondo K. Weierstrass oppure mediante successioni fondamentali o di Cauchy secondo G. Cantor. Calcolo degli interessi e successione del capitale maturato dopo n anni, successione geometrica, cenno sul numero di Nepero o di Eulero.

03.10.06

Altri esempi di successioni e funzioni esponenziali: crescita della concentrazione di una soluzione con la profondità, assorbimento di una radiazione elettromagnetica omogenea che penetra un materiale omogeneo. Richiami sulle potenze e sui logaritmi: potenze con esponente intero, potenze con base positiva ed esponente reale, regole del calcolo con le potenze e con le radici, definizione di logaritmo e il passaggio dal logaritmo rispetto a una base a un logaritmo rispetto a un'altra base. Limiti di successioni numeriche, successioni convergenti.

04.10.06

Successioni divergenti all'infinito e successioni indeterminate, richiami sul valore assoluto, regole del calcolo con il valore assoluto, in particolare disuguaglianza triangolare, intorno simmetrico di raggio ε, esempi di successioni convergenti, divergenti e indeterminate, unicità del limite di una successione convergente, successioni aritmetiche, successioni geometriche, serie geometrica. Esercizi consigliati: foglio del 04/10/2006.

09.10.06

Criterio di convergenza di Cauchy per successioni di R, esempio: convergenza della successione s(n) = 1/0! + 1/1! + 1/2! + ... + 1/n! . Teorema sul limite di somma, prodotto e quoziente di successioni, esempio. Massimo, minimo, estremo superiore e inferiore di un insieme di numeri reali, esempi. Esistenza dell'estremo superiore di un insieme di numeri reali limitato superiormente. Ogni successione numerica reale monotona crescente e limitata superiormente converge al suo estremo superiore. Potenze di un binomio, triangolo di Tartaglia o di Pascal.

10.10.06

Discussione dell'esercizio 10 del foglio del 04/10/2006 e richiamo sulle regole del calcolo con i logaritmi. Funzioni "parte intera" (floor function) e "parte intera superiore" (ceiling function). Proprietà dei coefficienti binomiali, formula di Newton per lo sviluppo delle potenze di un binomio. Calcolo combinatorio: disposizioni, permutazioni, combinazioni semplici, esempi.

11.10.06

Numero di combinazioni semplici e coefficienti binomiali, disposizioni e combinazioni con ripetizioni, esempi ed esercizi. Il limite lim (1 + 1/n)^n = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... = e = 2,7182818284 ... (numero di Nepero o di Eulero). Esercizi consigliati: foglio del 11/10/2006.

16.10.06

Alcuni limiti importanti, serie di Taylor della funzione esponenziale. Criterio necessario per la convergenza di una serie. Convergenza assoluta di una serie. Convergenza assoluta implica convergenza (segue dalla disuguaglianza triangolare). Criterio del confronto per serie ed esempio: la serie di Mengoli (Pietro Mengoli) è una maggiorante convergente per la serie Σ 1/n^2. La serie armonica è divergente. La successione di Fibonacci e le sue proprietà, in particolare il limite del suo tasso di crescita (sezione aurea). Definizione di limite di funzione numerica reale.

17.10.06

Convergenza assoluta di una serie, riordinamenti di una serie e convergenza condizionata (cenno). Limiti di funzioni numeriche reali, limite destro (o sinistro), limite di una funzione f(x) per x tendente all'infinito (o all'infinito negativo), funzione divergente positivamente (o negativamente), alcuni esempi, in particolare il limite di (sen x)/x per x tendente a zero. Richiami sulle funzioni goniometriche, valori particolari, grafici.

18.10.06

Esempio di una serie condizionatamente convergente, cioè convergente ma non assolutamente convergente. Esempi di limiti di funzioni numeriche reali. Teorema sul legame del limite di una funzione numerica reale con i limiti di successioni. Esempi, in particolare il limite di (1 + 1/x)^x per x tendente all'infinito. Esercizi consigliati: foglio del 18/10/2006.

23.10.06

Definizione di funzione numerica reale continua in un punto e continua in un intervallo. Esempi di funzioni continue: sen x, cos x, funzioni polinomiali, funzioni esponenziali. Continuità di somma, prodotto e quoziente (con denominatore diverso da zero) di funzioni continue, continuità della composta di funzioni continue. Teorema di Weierstrass, teorema dei valori intermedi di Bolzano e teorema di Heine-Cantor sulla continuità uniforme di funzioni continue in un intervallo chiuso. Esempi di funzioni continue e con punti di discontinuità, loro grafici, discontinuità eliminabili (o di terza specie): si propone un test.

24.10.06

Definizione di derivata e di differenziale di una funzione numerica reale. Interpretazione geometrica (retta tangente) e cinematica (velocità) della derivata, equazione della retta tangente al grafico di una funzione derivabile in un punto. Derivabilità implica continuità, esempio di una funzione continua in un punto, ma ivi non derivabile, derivata destra e derivata sinistra, punto angoloso. Derivate di alcuni funzioni elementari, in particolare funzioni logaritmiche.

25.10.06

Richiami sui logaritmi e sul pH, applicazione del differenziale del logaritmo: l'errore relativo su x si trasforma nell'errore assoluto su log(x). Regole di derivazione: derivata di una somma, di un prodotto e di un quoziente di funzioni derivabili, derivata di una funzione composta (regola della catena) e dell'inversa di una funzione, esempi. E' molto importante esercitarsi: foglio del 25/10/2006.

30.10.06

Invertibilità delle funzioni biiettive, esempi per funzioni inverse, loro grafici e loro derivate: funzioni logaritmo ed esponenziale, funzioni seno e arcoseno, funzioni coseno e arcocoseno. Esempi ed esercizi sul differenziale, l'errore relativo di un prodotto è la somma degli errori relativi dei fattori, applicazione del differenziale alla stima di un errore assoluto.

31.10.06

Ancora un esempio di applicazione del differenziale. Teoremi sulle funzioni derivabili: teorema di Rolle, teorema del valor medio (o di Lagrange), teorema generalizzato della media (o di Cauchy) e sua interpretazione geometrica (esempio della circonferenza data in forma parametrica, cioè tramite due funzioni). Derivate di ordine superiore, esempi. Esercizi consigliati: foglio del 31/10/2006.

06.11.06

Teorema di Taylor, resto nella forma di Lagrange, polinomi di Taylor come approssimazioni locali di una funzione in un intorno del punto iniziale, serie di Taylor e serie di Maclaurin, sviluppo in serie di Taylor della funzione esponenziale (con lo studio del resto).

07.11.06

Sviluppo in serie di Taylor delle funzioni seno, coseno, logaritmo naturale e exp(-x^2). Regola di Bernoulli-l'Hospital (J. Bernoulli, Marquis de l'Hospital), limiti nelle varie forme indeterminate, alcuni esempi.

08.11.06

Altri esempi per limiti nelle varie forme indeterminate. Minimi e massimi relativi e assoluti di una funzione reale in un intervallo. Condizione necessaria ("teorema di Fermat", da non confondere con l'ultimo teorema di Fermat e con il piccolo teorema di Fermat) e condizioni sufficienti per l'esistenza di minimi e massimi relativi interni (usando anche derivate di ordine superiore). Funzioni convesse o concave in un intervallo, relazione tra la convessità di una funzione e la monotonia della sua derivata, relazione tra la convessità e il segno della derivata seconda, punto di flesso ascendente o discendente. Esercizi consigliati: foglio del 08/11/2006.

13.11.06

Punto di flesso ascendente o discendente, condizione necessaria e condizioni sufficienti per l'esistenza di un punto di flesso. Asintoti per il grafico di una funzione numerica reale. Esempi di studio di funzione: l'equazione di van Deemter (pagine 5-6 del documento linkato) in gascromatografia, funzione logistica di crescita (P. F. Verhulst).

14.11.06

Introduzione al calcolo integrale: problema della funzione primitiva e problema della misura, teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrale indefinito (funzione primitiva, antiderivata), campo di inclinazione e curve integrali, primitive di funzioni elementari. Regole di integrazione: integrazione per parti, integrazione per sostituzione, esempi ed esercizi.

15.11.06

Integrazione per sostituzione, esempi. Alcuni integrali che non possono essere espressi per mezzo di combinazioni finite delle cosiddette "funzioni elementari". Integrazione di funzioni razionali fratte (decomposizione in frazioni semplici), esempi ed esercizi. Esercizi consigliati: foglio del 15/11/2006.

20.11.06

Esercizi sui seguenti argomenti: calcolo combinatorio, funzioni esponenziale e logaritmo, esempi di crescita esponenziale, decadimento radioattivo, legame tra il tempo di dimezzamento (emivita, semiperiodo) e la costante di decadimento, percentuale, serie di Taylor della funzione esponenziale. Esercizi consigliati: foglio del 17/11/2004.

21.11.06

Integrazione di funzioni razionali fratte mediante la loro decomposizione in frazioni semplici, integrazione di funzioni razionali nelle funzioni trigonometriche, rappresentazione parametrica razionale della circonferenza. Esercizi sui seguenti argomenti: applicazioni del differenziale alla stima di errori assoluti e relativi, polinomi di Taylor come approssimazioni locali di una funzione in un intorno del centro dello sviluppo, cenno sulla derivazione numerica di funzioni.

22.11.06

Prova scritta "in itinere": foglio del 22/11/2006.

27.11.06

Integrale definito: definizione tramite le somme intermedie di Riemann, secondo approccio (solo accennato) mediante le somme inferiori e superiori di una funzione limitata, proprietà dell'integrale definito che seguono dalla definizione, classi di funzioni integrabili, teorema del valor medio integrale per funzioni continue, teorema fondamentale del calcolo integrale e idea della sua dimostrazione, esempi.

28.11.06

Integrale definito, esempi e applicazioni: area del sottografico di una funzione, lavoro per estendere una molla, lavoro di un gas ideale estendente (trasformazione isoterma), lunghezza di un segmento di curva, calcolo di un integrale definito mediante l'integrazione per sostituzione, volume di un solido di rotazione.

29.11.06

Superficie laterale di un tronco di cono, area della superficie laterale di un solido di rotazione. Integrali generalizzati (o impropri), esempi. Equazioni differenziali a variabili separabili, esempi. Esercizi consigliati: foglio 2 del 22/12/2003.

04.12.06

Equazioni differenziali a variabili separabili e problema di Cauchy o dei valori iniziali, esempi e applicazioni alla dinamica di popolazioni: crescita esponenziale e crescita limitata (funzione logistica di P. F. Verhulst). Equazioni differenziali lineari e non lineari del primo ordine in cinetica chimica: reazioni del primo e del secondo ordine.

05.12.06

Discussione delle soluzioni delle equazioni differenziali per le reazioni del primo e del secondo ordine, grafici delle concentrazioni in funzione del tempo e grafici semilogaritmici. Un sistema di equazioni differenziali non lineari del primo ordine: il modello "preda - predatore" di Lotka-Volterra. Un applet per graficare il sistema.

06.12.06

Discussione del modello di Lotka-Volterra: l'effetto dell'attività di pesca. Numeri complessi, introduzione e commenti storici, definizione e operazioni aritmetiche, esempi, piano dei numeri complessi o piano di Wessel-Argand-Gauss, vettori nel piano (cenno), numero complesso coniugato, valore assoluto o modulo di un numero complesso. Coordinate polari nel piano. Esercizi consigliati: foglio del 06/12/2006.

11.12.06

Compilazione delle schede per la valutazione della didattica. Numeri complessi in forma polare o trigonometrica, interpretazione geometrica della loro moltiplicazione (trasformazioni di similitudine del piano), formula di de Moivre, radici, in particolare radici dell'unità, formula di Eulero. Esercizi consigliati: foglio del 15/10/2003.

12.12.06

La funzione esponenziale di una variabile complessa e le formule di addizione per le funzioni goniometriche. Sistemi di equazioni lineari omogenei (cenno). Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti, soluzioni generali e il problema di Cauchy nel caso che l'ordine sia due, esempio di un oscillatore armonico non smorzato.

13.12.06

Equazioni differenziali omogenee a coefficienti costanti, discussione di un oscillatore armonico smorzato: sovrasmorzamento, smorzamento critico e sottosmorzamento, grafici per lo spostamento in funzione del tempo, confronto dell'oscillatore meccanico con il suo analogo elettrico. Introduzione alle funzioni numeriche reali di più variabili reali, richiami sui vettori.

18.12.06

Funzioni numeriche reali di due e di più variabili reali, esempi, grafici e curve di livello di funzioni di due variabili, in particolare: piani nello spazio, vettore normale a un piano, (semi)sfera, paraboloide ellittico, paraboloide iperbolico, rotazione del piano in forma matriciale, matrici ortogonali.

19.12.06

Limiti e continuità per le funzioni di due e più variabili, derivate parziali, equazione del piano tangente al grafico di una funzione differenziabile di due variabili, esempio di una funzione derivabile parzialmente ma non continua, cenno sugli integrali iterati e gli integrali doppi (volume di un cilindroide), derivate parziali di ordine superiore, teorema di Schwarz (K.H.A. Schwarz) sulle derivate seconde miste, esempi ed esercizi.

20.12.06

Esempi ed esercizi sugli integrali iterati e doppi, integrazione per parti, integrazione per sostituzione, elemento d'area in coordinate polari.

08.01.07

Richiami sulle funzioni derivabili di una variabile reale. Incremento di una funzione di due variabili, differenziale totale, differenziale totale per una funzione di n variabili. Derivazione delle composte di funzioni di più variabili (regola della catena), esempio. Derivate direzionali, definizione e calcolo della derivata direzionale come prodotto scalare del gradiente con il versore scelto.

09.01.07

Esempi per il calcolo e il significato del gradiente e delle derivate direzionali. Formula di Taylor per funzioni di due variabili.

10.01.07

Classificazione dei punti stazionari di funzioni reali in due variabili reali, condizione necessaria (annullarsi del gradiente) e condizione sufficiente (usando la matrice hessiana) per l'esistenza di massimi e minimi locali in un punto interno al dominio di una funzione di due variabili, condizione sufficiente per l'esistenza di un punto di sella, esempio. Esercizi consigliati: foglio del 10/01/2007.

15.01.07

Esercizi sui seguenti argomenti: classificazione dei punti stazionari di funzioni in due variabili, studio di una funzione razionale: equazione di van Deemter (pagine 5-6 del documento linkato) in gascromatografia.

16.01.07

Esercizi sul gradiente e sulle derivate direzionali. Il gradiente di una funzione di due variabili reali è ortogonale alle curve di livello.

17.01.07

Esercizi sulle funzioni di due variabili e sulle equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti.

last updated 17th January 2007, Rüdiger Achilles