Argomenti trattati a lezione

01.10.14

Presentazione del corso (programma, modalità dell'esame, tutorato ecc.). Testi consigliati: Angelo Guerraggio, Matematica per le scienze. Pearson Italia, Milano, Torino, 2014; Marco Abate, Matematica e Statistica 2/ed, Le basi per le scienze della vita. McGraw-Hill Education (Italy) srl, 2013. Chi non avesse una preparazione adeguata, potrà effettuare un ripasso della matematica di base con Alma Mathematica (corsi di e-learning).
Calcolo combinatorio: disposizioni, permutazioni e combinazioni semplici e con ripetizioni, prodotto cartesiano di insiemi finiti e sua cardinalità, formula di Newton per lo sviluppo delle potenze di un binomio, triangolo di Tartaglia o di Pascal dei coefficienti binomiali.
Esercizi (e soluzioni) sul calcolo combinatorio dal sito chihapauradellamatematica, dal sito Alma Mathematica (Corsi>Corso Completo>Calcolo delle probabilità elementari) o dal sito MyMathLab-Pearson Italia (L'ID del corso è XL00-I1TP-8021-8AC4; Esercizi 10.2.1-10.2.19).

06.10.14

Proprietà dei coefficienti binomiali. Esempi ed esercizi sul calcolo combinatorio (anche utilizzando la piattaforma digitale MyMathLabItaliano della Pearson) e sul calcolo delle probabilità elementari o classiche.
Esercizi consigliati: Il primo esercizio delle prove scritte del 10/12/2013, 17/12/2013, 14/01/2014, 13/02/2014, 23/04/2014, 10/06/2014, 03/07/2014, 17/09/2014.

07.10.14

Esempi ed esercizi sul calcolo combinatorio, processo di Bernoulli e legge o distribuzione binomiale di probabilità, logaritmi (cenno), in particolare cambiamento di base nei logaritmi, somma parziale di una serie geometrica e somma di una serie geometrica. Numeri naturali, interi, razionali.

08.10.14

La radice di due non è un numero razionale, successione di intervalli che definisce la radice di due, cenno sulla costruzione dei numeri reali mediante (classi di equivalenza di) successioni di intervalli annidati (“scatole cinesi”), numeri reali in notazione decimale, numeri razionali come numeri decimali periodici, calcolo della frazione generatrice di un numero decimale periodico utilizzando la somma di una serie geometrica, esempio, numeri irrazionali come numeri decimali con un allineamento decimale infinito non periodico, numeri reali in notazione scientifica, cenno ai numeri binari, i numeri reali in informatica (IEEE-754 floating-point standard) e gli errori delle loro rappresentazioni, esempio di un numero decimale finito che necessita infinite cifre binarie.

13.10.14

INFORMATICA (tenuta dalla tutor dott. Turrini). Presentazione del modulo di informatica, che cos'è l'informatica, perché studiare e non solo usare l'informatica, modalità di registrazione e di accesso al servizio di e-learning, i due capitoli del corso (internet, il WWW e i loro servizi, progettazione e realizzazione di un semplice database), l'attività di auto-apprendimento, il test finale.

14.10.14

Conversione di un numero binario periodico in un quoziente di interi usando la somma di una serie geometrica, numeri razionali come numeri decimali periodici, l'insieme dei numeri razionali è numerabile, dimostrazione mediante il procedimento per diagonali, l'insieme dei numeri irrazionali non è numerabile (può essere dimostrato con l'argomento diagonale di G. Cantor), potenze con base reale ed esponenti naturali, potenze con base positiva ed esponenti reali, regole del calcolo con le potenze, potenze di due e loro conversione in potenze di dieci, esempi, in particolare il numero di sottoinsiemi di un insieme finito (cardinalità dell'insieme potenza).

15.10.14

Potenze di due con esponenti interi negativi, decadimento radioattivo e tempo di dimezzamento (emivita, semiperiodo), potenze di dieci, esempi di numeri grandi e piccoli in notazione scientifica, prefissi delle unità di misura, crescita di un capitale investito ad un tasso fisso di interesse annuo, calcolo (della successione) del montante ad interesse composto discontinuo annuo, ad interesse composto discontinuo convertibile e ad interesse composto continuo, numero di Nepero o di Eulero = 2,7182818284 ... come limite di (1 + 1/n)ⁿ per n tendente all'infinito, logaritmi, esempi, regole del calcolo con i logaritmi, in particolare cambiamento di base nei logaritmi, i fattori per trasformare logaritmi briggiani in logaritmi naturali e viceversa.

20.10.14

Scala logaritmica, regolo calcolatore, scala del pH, legge di Benford o legge della prima cifra (Benford's Law), grafici di funzioni lineari, funzioni esponenziali e funzioni logaritmiche (come funzioni inverse delle funzioni esponenziali), esempio del decadimento radioattivo, costante di decadimento e tempo di dimezzamento, cambiamento di base nelle funzioni esponenziali. Trasformazioni lineari, definizione di funzione lineare da R in R, spazio vettoriale R², vettori geometrici (si veda anche il video - in lingua inglese - su YouTube) e vettori numerici.

21.10.14

Funzioni (trasformazioni, applicazioni) lineari da R² in R², esempi (proiezione ortogonale del piano su una retta passante per l'origine, rotazione del piano attorno l'origine), funzione lineare da Rⁿ in R^m e matrice associata, definizione di matrice reale, vettore riga, vettore colonna, algebra delle matrici: uguaglianza, somma, differenza, matrice zero, moltiplicazione di una matrice per uno scalare, spazio vettoriale delle matrici dello stesso tipo, esempi per le operazione con le matrici, somma e differenza di vettori del piano secondo la "regola del parallelogramma", prodotto di matrici conformabili e composizione delle trasformazioni lineari definite dalle matrici fattori.

22.10.14

Prodotto di matrici, esempi, in particolare prodotto scalare di vettori, matrice identità, non commutatività del prodotto matriciale, divisori dello zero, definizione di matrice inversa, esempio di una matrice non invertibile (o singolare), esempio per il calcolo dell'inversa di una matrice invertibile (o regolare) risolvendo sistemi lineari, sistemi di due equazioni lineari in due incognite, determinante di matrici quadrate di ordine due, proprietà delle matrici invertibili, matrice trasposta e sue proprietà, definizione di matrice simmetrica, proprietà delle operazioni con le matrici.

27.10.14

Sistema di equazioni lineari in forma matriciale, risoluzione di un sistema lineare mediante l'algoritmo di Gauss-Jordan (C.F. Gauss, W. Jordan): riduzione della matrice completa del sistema a scala per righe, poi a scala per righe in forma ridotta, esempio di un sistema lineare con matrice dei coefficienti non invertibile e con spazio delle soluzioni unodimensionale, sistema omogeneo associato, soluzioni di un sistema non omogeneo come somma di una soluzione particolare e della soluzione "generale" del sistema omogeneo associato (si veda la dispensa, pag. 24), teorema di Rouché-Capelli.

28.10.14

Risoluzione di un sistema lineare con matrice dei coefficienti invertibile mediante l'algoritmo di Gauss-Jordan, calcolo dell'inversa di una matrice quadrata invertibile con l'algoritmo di Gauss-Jordan, esempio, risoluzione di un sistema lineare di cui si conosce la matrice inversa della matrice dei coefficienti.
Esercizi consigliati: foglio del 28/10/2014.

29.10.14

Definizione di funzione o applicazione, funzione numerica reale, successione numerica, grafico di funzione, funzione iniettiva, suriettiva e biiettiva, esempi, funzione inversa di una funzione biiettiva, alcune funzioni elementari, loro grafici e loro funzioni inverse, in particolare funzione lineare e lineare affine, quantità proporzionali, quantità inversamente proporzionali, funzione potenza (con esponente intero, razionale e irrazionale), funzioni pari e dispari.

03.11.14

Funzioni esponenziali e logaritmiche, linearizzazione di funzioni potenze in un sistema di riferimento logaritmico e di funzioni esponenziali in un sistema di riferimento semilogaritmico. Funzioni circolari (goniometriche, trigonimetriche) e loro funzioni inverse: misura di angoli orientati in radianti, definizione delle funzioni circolari attraverso la circonferenza goniometrica (seno, coseno, tangente, cotangente), relazioni tra le funzioni trigonometriche e valori particolari, grafici e proprietà delle funzioni circolari, funzioni inverse delle funzioni circolari (arcoseno, arcocoseno, arcotangente).

05.11.14

Cenno ad alcune applicazioni delle funzioni circolari (lavoro meccanico come prodotto scalare del vettore forza per il vettore spostamento, rotazione nel piano, circonferenza nel piano cartesiano, equazione cartesiana ed equazione parametrica della circonferenza, funzioni iperboliche (seno iperbolico e coseno iperbolico), equazione cartesiana ed equazione parametrica dell'iperbole equilatera, introduzione informale ai numeri complessi, piano complesso, formula di Eulero , legame tra la funzione esponenziale complessa e le funzioni trigonometriche, formule di addizione per le funzioni seno e coseno, funzioni sinusoidali f(x) = A + B sin(Cx + D), significato delle costanti (traslazione, ampiezza, frequenza e "fase iniziale"), funzione valore assoluto.

06.11.14

Limiti di funzioni numeriche reali, limite destro e limite sinistro, alcuni esempi, in particolare il limite di (sen x)/x per x tendente a zero, definizione di funzione numerica reale continua in un punto e continua in un intervallo, esempi, continuità di somma, prodotto, quoziente e composta di funzioni continue, definizione di derivata di una funzione reale, significato geometrico della derivata, equazione della retta secante e della retta tangente al grafico di una funzione derivabile.

10.11.14

Definizione di differenziale di una funzione reale, continuità delle funzioni derivabili, derivate di alcune funzioni elementari (funzioni potenze, funzioni logaritmiche, funzioni trigonometriche) ed esempi per l'equazione della retta tangente al grafico di una funzione derivabile, derivata dell'inversa di una funzione derivabile, in particolare derivate di funzioni esponenziali e delle funzioni arcoseno e arcocoseno, derivata di somma, prodotto e quoziente di funzioni derivabili, esempi.

12.11.14

Derivazione di funzioni composte (regola della catena), esempi, derivate di secondo ordine, esempio di funzione continua e non derivabile, funzione di Volterra è definita e derivabile per ogni argomento reale con una derivata molto discontinua, alcune applicazioni del calcolo differenziale: differenziale e propagazione degli errori, esempio per l'applicazione del differenziale alla stima di un errore assoluto, l'errore relativo su x si trasforma nell'errore assoluto su log(x), maggiorazione dell'errore relativo di un prodotto (o quoziente) attraverso la somma dei singoli errori relativi, interpretazione cinematica della derivata (velocità), accelerazione come derivata della velocità rispetto al tempo, moto circolare uniforme, cioè moto circolare con velocità angolare (frequenza angolare) costante, vettori velocità e accelerazione come derivata prima e derivata seconda del raggio vettore.

13.11.14

Teorema di Taylor, resto nella forma di Lagrange, polinomi di Taylor come approssimazioni locali della funzione, serie di Taylor, sviluppo in serie di Taylor della funzione esponenziale e della funzione seno, regola di Bernoulli-l'Hospital, esempi, applicazione del calcolo differenziale allo studio del grafico di una funzione reale: monotonia di una funzione derivabile in un intervallo e segno della sua derivata in tale intervallo, condizione necessaria (teorema di Fermat sui punti stazionari) e condizioni sufficienti per l'esistenza di minimi e massimi relativi interni.

17.11.14

Funzioni convesse e concave in un intervallo, relazione tra la convessità di una funzione e la monotonia della sua derivata, relazione tra la convessità e il segno della derivata seconda, punto di flesso ascendente e discendente, condizione necessaria e condizioni sufficienti per l'esistenza di un punto di flesso, esempio (funzione logistica), asintoti per il grafico di una funzione reale. Introduzione al calcolo integrale: problema della primitiva (o antiderivata) di una funzione e problema della misura, integrale indefinito e integrale definito (secondo Riemann, 1826 - 1866) tramite le somme intermedie di Riemann.

18.11.14

Compilazione dei questionari sulla valutazione della didattica per il modulo 1 (matematica) e il modulo 3 (informatica). Integrale indefinito e primitive di funzioni elementari, regole e metodi di integrazione ed esempi, in particolare linearità, integrazione per parti, integrazione per sostituzione, prima formula di sostituzione, formula della sostituzione lineare, integrazione di una derivata logaritmica.

19.11.14

Esempio per l'integrazione di una derivata logaritmica, integrazione per sostituzione, seconda formula di sostituzione ed esempio (calcolo dell'integrale attraverso la sostituzione della variabile di integrazione con una funzione invertibile), definizione dell'integrale definito tramite le somme intermedie di Riemann, classi di funzioni integrabili, cenno alla funzione di Volterra, teorema fondamentale del calcolo integrale, idea della dimostrazione, esempio.

24.11.14

Proprietà dell'integrale definito: additività, monotonia (o confronto), valore assoluto, teorema del valor medio integrale, applicazioni dell'integrale definito: area del sottografico di una funzione reale, lavoro impiegato per allungare una molla, calcolo del lavoro di una trasformazione isoterma di un gas ideale, equazioni differenziali a variabili separabili (dinamica delle popolazioni: crescita malthusiana, decadimento radioattivo), problema di Cauchy o problema ai valori iniziali.

26.11.14

Equazioni differenziali a variabili separabili nella cinetica chimica: reazioni dirette di ordine zero, del primo ordine e del secondo ordine, grafici delle concentrazioni in funzione del tempo, grafici semilogaritmici, decomposizione di funzioni razionali fratte in frazioni semplici nel caso di radici reali distinte del denominatore, reazione di pseudo primo ordine, modello di crescita limitata secondo P. F. Verhulst (1804-1849), integrazione dell'equazione logistica (da finire).

27.11.14

Modello di crescita esponenziale e modello di crescita limitata secondo Verhulst, integrazione dell'equazione logistica, funzione logistica, integrali impropri o generalizzati: integrazione con funzione integranda illimitata, integrazione su intervalli illimitati, esempi di integrali convergenti e divergenti, integrale di Gauss (cenno), volume e area della superficie della tromba di Torricelli (cenno).

last updated 29th November 2014 Rüdiger Achilles