Algebra superiore

Corso di laurea magistrale in Matematica
A.A. 2013/2014

Orario delle lezioni
Le lezioni si svolgono il lunedì dalle 16 alle 18 ed il mercoledì dalle 14 alle 16, sempre in aula Vitali.

Esami
 L'esame prevede una prova scritta e una prova orale. 
La  prova scritta può essere sostituita con la partecipazione attiva durante le lezioni di esercitazione.
Ricevimento
 Gli studenti verranno ricevuti su appuntamento nelle giornate di lunedì e mercoledì.

Libri di riferimento
J.E. Humphreys, Introduction to Lie algebras and representation theory, Springer
K. Erdmann e M.J. Wildon, Introduction to Lie algebras, Springer

Note
Le algebre di Lie classiche

 Esercizi assegnati
DATA ARGOMENTO


23/09 
  1. Dimostrare che GL(n,K) è denso in M(n,K) rispetto alla usuale topologia metrica.
  2. Data una forma bilineare f su uno spazio vettoriale V verificare che
        L={x in gl(V): f(x(v),w)+f(v,x(w))=0, per ogni v,w in V}
    è una sottoalgebra di Lie di gl(V).
25/09
  1. Sia L=o(2m,K), con m>1. Mostrare che L=[LL]
  2. Sia L un'algebra di Lie tale che dim(L)=3 e L=[LL]. Mostrare che L è semplice.
  3. Sia L un'algebra di Lie nilpotente. Mostrare che sottoalgebre e quozienti di L sono ancora nilpotenti e che il centro di L è non zero.
02/10
  1. Determinare a meno di isomorfismo tutte le algebre di Lie di dimensione 2.
  2. Sia L un'algebra di Lie su un campo algebricamente chiuso K. Mostrare che L è nilpotente se e solamente se le sue sottoalgebre di dimensione 2 sono tutte commutative.
  3. Mostrare un esempio di un'algebra di Lie L non nilpotente che possiede un ideale nilpotente I tale che L/I è anche nilpotente.
09/10
  1. (a) Mostrare che il lemma di invarianza vale in caratteristica p purché lo spazio vettoriale V abbia dimensione minore di p.
    (b) Si considerino le seguenti matrici quadrate di ordine p: x è la matrice i cui ceofficienti sono x_{i,j}=\delta_{j-1,i} (indici modulo p) e y=diag(0,1,\ldots,p-1). Utilizzare le matrici x ed y per mostrare un controesempio al lemma di invarianza in caratteristica p.
  2. Sia L l'algebra di Lie di dimensione 4 con base x,y,z,t e prodotto definito da

    [x,t]=[y,z]=[z,t]=0,  [x,y]=y,  [x,z]=z,  [y,t]=z.

    (a) Verificare che L è risolubile.
    (b) determinare un'algebra di Lie lineare costituita da matrici triangolari isomorfa ad L. 
  3. Mostrare che se L ammette una bandiera completa di ideali 0=L_0 \subset L_1...\subset L_n=L, con dim (L_i)=i per ogni i=0,...,n, allora L è risolubile.
16/10
  1. Determinare la decomposizione di Jordan-Chevalley dell'endomorfismo di C^3 la cui matrice associata rispetto alla base canonica è
    2
    		 3
    		 3
    0
    		 -2
    		 -1
    0
    		 1
    		 0
  2. Sia L uno spazio vettoriale di dimensione 3 e sia {x, y, z} una base di L. Verificare che le seguenti relazioni di commutazione (unitamente  all'anticommutatività del prodotto) definiscono su L una struttura di algebra di Lie:
    [x, y] = z; [x, z] = y; [y, z] = 0:
    Mostrare che L è risolubile e calcolare il radicale della sua forma di Killing.
  3.  Siano V un F-spazio vettoriale di dimensione finita, f una
    forma bilineare su V, U un sottospazio vettoriale di V ed U' l'ortogonale di U rispetto ad f. Mostrare
    che:
    (a) dim U+ dim U'=dim V
    (b) V è somma diretta di U ed U' se e solo se la restrizione di f ad U è non degenere.
23/10
  1. Sia L un'algebra di Lie su C che sia somma diretta di suoi ideali minimali. Mostrare che L è semisemplice.
  2. Sia L un'algebra di Lie su C risolubile. Mostrare che le rappresentazioni irriducibili di L hanno tutte dimensione 1.
  3. Sia L=sl(n,C), B una sottoalgebra risolubile massimale.
    (a) Mostrare che Rad(L) è contenuto in B;
    (b) Mostrare che B^t è ancora una sottoalgebra risolubile massimale;
    (c) Dedurre che Rad(L) è costituito da elementi diagonali;
    (d) Concludere che L è semisemplice.
30/10
  1. Sia L=sl(2,C). Si considerino C^2 e L come L-moduli tramite la rappresentazione standard e aggiunta rispettivamente. Determinare la decomposizione in irriducibili di C^2 \tensor L.
  2. Mostrare che le rappresentazioni di t(n,C) (matrici triangolari) non sono tutte completamente riducibili.
  3. Data una matrice 2\times 2 A sia A' la amtrice 3 \times 3 ottenuta aggiungendo una riga e una colonna nulla. Poniamo, per ogni x in sl(2,C) e y in sl(3,C), x.y=[x',y]. Mostrare che questa operazione definisce una struttura di sl(2,C)- modulo su sl(3,C) e determinarne una decomposizione in sottomoduli irriducibili.
06/11
  1. Sia V un sl(3,F)-modulo irriducibile e v un suo vettore massimale. Mostrare che V è generato linearmente dagli elementi ottenuti applicando ripetutamente f_1, f_2, f_3 a v in tutti i modi possibili.
  2. Determinare le radici di o(4,F).
  3. Determinare le radici di o(5,F).
  4. Determinare le radici di sp(4,F).
13/11
  1. Descrivere la forma di Killing ristretta ad H nelle algebre di Lie classiche A_3, B_2, D_3.
20/11
  1. Dimostrare che esiste un'algebra di Lie semisemplice di dimensione n se e solo se n è diverso da 1,2,4,5,7.
  2. Calcolare gli interi di Cartan e le stringhe di spazi di radici nelle algebre di Lie classiche.
27/11
  1. Uno spazio vettoriale su un campo infinito non può essere unione di un numero dinito di sottospazi propri.
  2. Il sistema duale di un sistema di radici.
  3. Le stringhe di radici





Registro delle lezioni
N DATA ORE
 ARGOMENTO RIFERIMENTO





1 23/09  14-16
 Presentazione. Orario di ricevimento. Regole esami. Orario lezioni. Libri di riferimento. Sito del corso. Descrizione della struttura del corso. Definizione di algebra di Lie. Costruzione dell'algebra di Lie associata ad un'algebra associativa. L'algebra di Lie generale lineare gl(V). L'algebra di Lie speciale lineare sl(2,K). L'algebra di Lie speciale lineare sl(n,K). L'algebra di Lie associata ad una forma bilineare.
 1.1 1.2
2 25/09 09-11
 Correzione deli esercizi assegnati il 23/09. Isomorfismo tra algebre di Lie. Algebre di Lie associate a forme bilineari equivalenti sono coniugate. Proprietà della matrice J=antidiag(1,1,...,1). Le algebre di Lie simplettiche e ortogonali. Calcolo della loro dimensione e di una loro base. L'algebra di Lie delle derivazioni di un'algebra. L'algebra di Lie delle derivazioni dell'algebra K[x]. La rappresentazione aggiunta e le derivazioni interne.
1.2 1.3
3 25/09  14-16
 Ideali. Il centro ed il derivato. Somma e prodotto di ideali. Algebre di Lie semplici. sl(2,K) è semplice se charK è diversa da 2. Quoziente di un'algebra di Lie. Normalizzatore e centralizzatore di una sottoalgebra di Lie. Omomorfismi. Teoremi di omomorfismo. Algebre nilpotenti. Livello di una matrice triangolare. L'algebra di Lie n(n,K) delle matrici strettamente triangolari superiori è nilpotente.
 2.1 2.2 3.2
4
 02/10 14-16
 Correzione degli esercizi assegnati il 25/09. Proprietà delle algebre di Lie risolubili. In un'algebra associativa la somma di due elementi nilpotenti che commutano è ancora nilpotente. Se x è un endomorfismo nilpotente anche ad x lo è. Teorema: un'algebra di Lie lineare costituita da endomorfismi nilpotenti ammette un autovettore comune.
 3.2 3.3 
5 07/10  16-18
 Correzione degli esercizi assegnati il 02/10. Il teorema di Engel. Triangolarizzazione di un'algebra di Lie lineare costituita da nilpotenti. Intersezione di un ideale con il centro in un'algebra di Lie nilpotente. La serie derivata. Prime proprietà
 3.3 3.1
6 09/10  14-16
 Risolubilità di un'algebra di Lie lineare triangolare. Proprietà delle algebre di Lie risolubili. Il radicale e le algebre di Lie semisemplici. Pesi e spazi peso di una rappresentazione. Il lemma di invarianza: in caratteristica 0 un'algebra di Lie stabilizza gli spazi peso di un suo ideale. Il teorema di Lie. triangolarizzazione di un'algebra di Lie lineare risolubile. Bandiere complete di ideali. Autospazi generalizzati (richiami). Esistenza della decomposizione di Jordan-Chevalley
 3.1 4.1 4.2
7
 14/10
 16-18
 Correzione degli esercizi assegnati il 09/10. Unicità della decomposizione di Jordan-Chevalley. Conservazione della decomposizione di Jordan-Chevalley tramite l'operatore aggiunto. Decomposizione di Jordan in un'algebra di derivazioni.
4.2
8 16/10  14-16
 Criteri di nilpotenza per un endomorfismo. Il criterio di Cartan. La forma di Killing. Il radicale di una forma bilineare. L è semisemplice se e solo se la forma di Killing è non degenere.
 4.3 5.1
9 21/10  16-18
 Correzione degli esercizi assegnati il 16/10. Ideali e decomposizione di un'algebra di Lie semisemplice. Derivazioni interne.
5.2 5.3
10 23/10  14-16
 La decomposizione di Jordan astratta. Problemi di compatibilità tra le due decomposizioni. Linguaggio delle rappresentazioni e degli L-moduli.Il lemma di Schur. Rappresentazioni duali. Prodotti tensoriali di spazi vettoriali.
5.4 6.1
11 28/10  16-18
 Correzione degli esercizi assegnati il 23/10. Spazio degli omomorfismi tra L-moduli come L-modulo. L'operatore di Casimir e sue proprietà.
 6.1 6.2 
12
 30/10
 14-16
 Il teorema di Weyl. Conservazione della decomposizione di Jordan.
6.3 6.4 
13 04/11
 16-18
 Correzione degli esercizi assegnati il 30/10. La decomposizione di un prodotto tensoriale di sl(2,F)-moduli. Descrizione delle rappresentazioni irriducibili di sl(2,F). 7.1 7.2
14 06/11  14-16
 Unicità delle rappresentazioni irriducibili di sl(2,F). La rappresentazione aggiunta di sl(3,F). Le radici di sl(3,F). Cenni sulle rappresentazioni irriducibili di sl(3,F). Le radici di sl(n,F).
 7.2
15 11/11 16-18
 Correzione degli esercizi assegnati il 06/11. Richiami sulle algebre di Lie classiche. Basi e matrici compatibili con una forma bilineare non degenere. Automorfismi delle algebre di Lie classiche.
 Note
16 13/11 14-16
 Criterio di semisemplicità per una sottoalgebra di sl(n,F). Le algebre di Lie classiche sono semisemplici. Sottoalgebre torali. Le sottoalgebre torali massimali di un'algebra di Lie classica sono coniugate. I sistemi di radici delle algebre di Lie classiche.
 Note
17 18/11
 16-18
 Correzione degli esercizi assegnati il 13/11. Le sottoalgebre torali sono abeliane. Ortogonalità degli spazi di radici. Una sottoalgebra torale massimale si autocentralizza.
 8.1 8.2
18 20/11 14-16
 Proprietà degli spazi di radici. Le copie di sl(2) dentro un'algebra di Lie semisemplice. Le stringhe di radici. Gli interi di Cartan. Proprietà di razionalità.
 8.3 8.4 8.5
19 25/11 16-18
 Correzione degli esercizi assegnati il 20/11. La forma di Killing come prodotto scalare. I sistemi di radici. Le riflessioni.  Il gruppo di Weyl. Sistemi di radici di rango 2.
8.5 9.1 9.2 9.3
20 27/11 14-16
 Angolo tra due radici e interi di Cartan. Somma e differenza di radici. Base di un sistema di radici. Esistenza di una base di un sistema di radici. Costruzione di tutte le basi di un sistema di radici .
  9.4 10.1
21 02/12 16-18
 Correzione degli esercizi assegnati il 27/11. Il gruppo di Weyl è generato dalle riflessioni semplici. Transitività del gruppo di Weyl sulle basi. La matrice di Cartan e il diagramma di Dynkin.
 10.3 11.1 11.2
22
 04/12
 14-16
 Un sistema di radici è determinato dal suo diagramma di Dynkin. Corrispondenza tra le componenti irriducibli di un sistema di radici e le componenti connesse del diagramma di Dynkin. I diagrammi di Dynkin non contengono cicli e vertici di grado maggiore di 3.
 11.1 11.3 11.4
23
 09/12 16-18
 Le componenti connesse dei diagrammi di Dynkin di un sistema di radici sono grafi di tipo A,B,C,D,E,F,G. Corrispondenza tra ideali semplici e componenti connesse del diagramma di Dynkin.
 11.4 14.1 
24 11/12 14-16
 Semplicità delle algebre di Lie classiche. Costruzione dei diagrammi di Dynkin delle algebre di Lie classiche.
 19.2 Note da scrivere
25 16/12 11-13
 Isomorfismo tra o(5,C) e sp(4,C). Algebre di Lie semisemplici aventi sistemi di radici isomorfi sono isomorfe.
 10.2 14.2




Nota: i riferimenti sono relativi al libro di testo consigliato, "J.E. Humphreys, Introduction to Lie algebras and representation theory, Graduate Text in Mathematics, Springer"  e sono puramente indicativi.