Attivitá scientifica

Nella mia attivitá scientifica mi sono occupato, a grandi linee, di 1) teoria dell'interpolazione; 2) equazioni differenziali ordinarie in spazi vettoriali topologici (soprattutto di Banach), con applicazioni a problemi misti per equazioni a derivate parziali; 3) problemi misti per equazioni paraboliche; 4) problemi al contorno ellittici; 5) equazioni di convoluzione astratte con applicazioni a problemi ellittici con condizioni al contorno di tipo dinamico; 6) equazioni integrodifferenziali di Volterra di tipo parabolico; 7) operatori differenziali in spazi di funzioni piatte; 8) discretizzazione con metodi alle differenze finite di problemi al contorno ellittici e problemi misti parabolici. Passo ora in rassegna le mie pubblicazioni: 1) Some properties of the sum and the intersection of normed spaces con G. Dore e A. Venni in Atti Sem. Mat. Univ. Modena, XXXI, 325-331, 1982. Si studiano alcune proprietá della somma e dell' intersezione di spazi normati. Si danno inoltre due controesempi alla seguente (apparentemente ragionevole) congettura: se X é uno spazio normato immerso con continuitá in A₀ e in A₁ e denso in ciascuno di essi, allora X é denso in $A_0 \cap A_1$. Il contributo dei tre autori é stato sostanzialmente paritetico. Mio é il controesempio 3.1. 2) Complex interpolation for 2^N Banach spaces, con G. Dore e A. Venni in Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, vol. 76, 1-36, 1986. Questo lavoro costituisce un tentativo di estendere il classico metodo di interpolazione complesso a un numero di spazi superiore a 2. Si considera una famiglia (A_j) di 2^N spazi di Banach compatibili. Per $\theta$ in ]0, 1[^N si definisce un certo spazio $X_\theta$ in modo tale che, se N = 1, si ottiene il solito spazio di interpolazione complesso. Si estendono parecchie proprietá note nel caso N = 1, in particolare la proprietá di interpolazione e, parzialmente, la proprietá di reiterazione. Il contributo dei tre autori é stato sostanzialmente paritetico. 3) Strongly continuous semigroups, weak solutions and the variation of parameter formula in locally convex spaces, Boll. U. M. I. Anal. Funz. Appl., ser. VI, vol. IV-C, n. 1, 431-440, 1985. Si dá un'estensione al caso degli spazi vettoriali topologici di un risultato, dovuto a J. M. Ball nel caso degli spazi di Banach, sulla buona posizione in un certo senso debole del problema di Cauchy astratto

$$\left\{ \begin{array}{ccc} &{du \over dt}(t) = Au(t) + f(t),& \\ &u(0) = u_0.& \end{array} \right.$$ (1)

Si introduce inoltre una versione generalizzata della formula di variazione delle costanti. 4) On a singular evolution equation in Banach spaces, con G. Dore, in "Differential equations in Banach spaces (ed. A. Favini, E. O- brecht), Springer Lecture Notes in Mathematics 1223, 1986. Si studia l'equazione differenziale astratta

$$t {du \over dt}(t) - \Lambda(t) u(t) = f(t), t \in [0, T]$$

senza condizioni iniziali nel caso in cui gli operatori $\Lambda(t)$ siano, essenzialmente, generatori infinitesimali di semigruppi analitici in un certo spazio di Banach e il dominio di $\Lambda(t)$ sia indipendente da t. Si provano risultati di esistenza e unicitá di soluzioni di classe C^k nella variabile t su tutto [0, T]. Si studia infine l'unicitá della soluzione intesa in un certo senso debole. I risultati sono applicabili a problemi parabolici singolari, con condizioni al contorno indipendenti da t. Il contributo dei due autori é stato sostanzialmente paritetico. 5) Linear singular parabolic equations in Banach spaces, in Math. Zeit. 195, 487-504, 1987. Si continua lo studio iniziato nel lavoro precedente, trattando il caso in cui il dominio di $\Lambda(t)$ dipende da t. Naturalmente in questo caso i risultati ottenuti sono applicabili a problemi parabolici concreti con condizioni al contorno dipendenti da t. 6) On the asymptotic behavior of solutions of linear nonautonomous parabolic equation, Boll. U. M. I. (7) 1-B, 1055-1076 (1987) Si danno condizioni sufficienti per la convergenza a uno stadio stazionario per $t \to +\infty$ delle soluzioni del problema

$${du \over dt}(t) + A(t) u(t) = f(t), t \in [0, +\infty[$$

nel caso in cui gli operatori A(t) siano generatori infinitesimali di semigruppi analitici. Il dominio di A(t) puó variare con t. Ció permette di generalizzare alcuni risultati di Tanabe e Pazy, in cui si supponeva il dominio di A(t) costante. Si considera anche il caso in cui A(t) ammetta un certo sviluppo asintotico per $t \to +\infty$ e si ricava un corrispondente sviluppo asintotico per u(t). I risultati di questo lavoro sono stati utilizzati in seguito da Tanabe e Park per trattare il comportamento asintotico di soluzioni di equazioni paraboliche in L¹ (vedi Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa, ser. IV, vol. XIV, 587-612 (1987)). 7) Convergence to a stationary state and stability for solutions of quasilinear parabolic equations, Ann. Mat. Pura Appl., IV, vol. CLI, 331-358 (1988). Si danno risultati di stabilitá e di stabilitá asintotica per le soluzioni del problema parabolico quasi lineare astratto

$${du \over dt}(t) + A(t,u(t))u(t) = f(t,u(t)).$$

I risultati astratti sono applicati a problemi del tipo

$$\left\{ \begin{array}{ccc} &{du \over dt}(t) - \sum_{i,j=1}^n... ...a,\\ & u(t_0,x) = u_0(x), & x \in \Omega. \end{array} \right.$$ (2)

con $\Omega$ aperto regolare in ${\bf R}^n$ e $\sum_{i,j=1}^n a_{ij}(t,x,u,p) {\partial^2 \over \partial x_i \partial x_j}$ ellittico. La sezione finale contiene un risultato di esistenza di una varietá stabile ottenuto anche (independentemente) da G. Da Prato e A. Lunardi (vedi Arch. Rat. Mech. Anal., vol. 101, n. 2, 115-142 (1988)). 8) On certain semigroups of linear operators and generalized Cauchy problem, Osaka Math. Jour., 26, 89-118 (1989). Si studia la generazione di semigruppi analitici in certi spazi non normabili di distribuzioni su ${\bf R}^n$ da parte di sistemi ellittici nel senso di Petrovskii. Tali risultati si applicano ad alcuni semplici sistemi di tipo ultraparabolico che intervengono in biologia. Si considerano, in particolare, certi spazi di funzioni continue con peso in cui si ha generazione di un semigruppo $\{T(t)\}$ analitico ma non quasi equicontinuo (tale cioé che non esiste alcun $\omega \in {\bf R}$ tale che $\{ \exp(-\omega t) T(t)\}$ sia equicontinuo). Si vede invece, che sotto opportune maggiorazioni dei coefficienti, si ha generazione di un semigruppo quasi equicontinuo nello spazio delle distribuzioni temperate. In questo caso il semigruppo possiede molte delle proprietá "standard" dei semigruppi analitici negli spazi di Banach. 9) A maximal regularity result with applications to parabolic problems with nonhomogeneous boundary conditions, Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, vol. 84, 1-37, 1990. Si considera il generico problema misto parabolico "autonomo"

$$\left\{ \begin{array}{ccc} &{\partial u \over \partial t}(t) ... ...m & \\ & u(0,x) = u_0(x), & x \in \Omega. \end{array} \right.$$ (3)

con $A(x,\partial_x)$ propriamente ellittico di ordine 2m e, per $1 \leq k \leq m$, i $(B_k)_{1\leq k \leq m}$ tali che sia soddisfatta la condizione di Lopatinskii. Si prova un risultato di regolaritá massimale nello spazio $\lambda^{\theta} _p(\Omega)$ con $0 < \theta < 1$ e $1 < p <+\infty$. Tale spazio si definisce come

$$\{f \in L^p(\Omega) \vert \lim_{h\to 0} \vert h\vert^{-\theta... ...nt_{\Omega \cap \Omega_h} \vert f(x+h) - f(x)\vert^p dx = 0 \},$$

con $\Omega_h:= \{x \in \Omega \vert x+h \in \Omega\}$. Il risultato é poi esteso ai casi non autonomo e quasi lineare. 10) On elliptic problem in Besov spaces , Math. Nacht. 152, 247-275, 1991. Si studia la risolubilitá del problema ellittico

$$\left\{ \begin{array}{ccc} &A(x,\partial)u(x) - \lambda u(x... ...in \partial \Omega,\\ & 1 \leq k \leq m,& \end{array} \right.$$ (4)

con $\Omega$ aperto regolare in ${\bf R}^n$, $A(x,\partial)$ propriamente ellittico di ordine 2m, $\lambda \in {\bf C}$, f nello spazio di Besov $B^\beta_{p,q} (\Omega)$ ( $\beta \in {\bf R}, 1 \leq p,q \leq +\infty$) e, se l'ordine di B_k é m_k, $g_k \in B^{\beta + 2m -m_k - {1\over p}}_{p,q}(\partial \Omega)$, $\beta > \max_k m_k +{1\over p} -2m$. . Si prova che, sotto opportune ipotesi, il problema () ha un'unica soluzione nello spazio di Besov $B^{\beta + 2m }_{p,q}(\partial \Omega)$ e si determinano stime ottimali della soluzione in funzione del parametro $\lambda$. In certi casi si ottengono stime che permettono di provare la generazione di un semigruppo analitico, non fortemente continuo in 0 se $q = +\infty$.