Matematica per le applicazioni economiche e finanziarie (II° modulo)

[A.A. 2004/05]

Files Matlab con simulazioni Monte-Carlo

Scopo del corso

Fornire gli strumenti matematico-probabilistici e le nozioni basilari per potere comprendere il settore della moderna finanza matematica che si occupa degli strumenti derivati..

Prerequisiti

I corsi di Analisi Matematica I-IV (Nuovo ordinamento).

Programma

  1. Introduzione agli strumenti derivati e ai mercati: forwards, futures, opzioni. Limiti superiori e inferiori, put-call parity. [Lucidi]
    Elementi di calcolo finanziario: regimi di capitalizzazione.

  2. Preliminari matematici.
    Funzioni a variazione limitata. Integrale di Riemann-Stieltjes. Variazione quadratica. Formula di Ito.
    Richiami di teoria della misura e integrazione astratta. Misura di Lebesgue-Stieltjes e misura prodotto. Teorema di Radon-Nikodym.
    Equazione del calore: problema di Cauchy, soluzione fondamentale, problema di Cauchy-Dirichlet, principio del massimo. Metodi alle differenze finite e implementazione con Matlab.

  3. Elementi di probabilità.
    Variabili aleatorie e distribuzioni. Attesa e probabilità condizionata. Indipendenza. Distribuzione normale. Legge dei grandi numeri.

  4. Elementi di calcolo differenziale stocastico.
    Spazio di Wiener. Variazione quadratica del moto Browniano. Martingale. Integrale stocastico e processi di Ito. Formula di Ito. Equazioni differenziali stocastiche. Moto Browniano geometrico. Teorema di Girsanov.

  5. Prezzo e copertura di strumenti derivati.
    Modello binomiale. Analisi Black-Scholes. Misura martingala equivalente. Delta hedging e opzioni sintetiche. Le "greche". Volatilità implicita e effetto "smile". Modelli a volatilità stocastica. Opzioni path-dependent. Metodo Monte Carlo.

  6. Modelli per la struttura a termine dei tassi. Modelli martingala per il tasso short. Struttura a termine affine. Modelli per il tasso forward. Cambio di numeraire. Derivati sui tassi: caps e floors.

Indicazioni bibliografiche

Bjork, T. Arbitrage theory in continuous time, second edition (Oxford University Press, 2004)
Epps, T.W. Pricing Derivative Securities (World Scientific, 2000)
Wilmott, P.; Howison, S.; Dewynne, J. The mathematics of financial derivatives (Cambridge University Press, 1997)
Hull, J.C. Options Futures and Other Derivatives Securities (Prentice-Hall, Inc, Englewood Cliffs, NJ, 1997)
Williams, D. Probability with martigales (Cambridge Math. Textbooks, 2000)

Link con simulazioni di moti Browniani: MB1, MB2.

Valutazione.

Si basa su di un esame orale articolato in alcune domande (di cui almeno una a scelta dello studente) sul programma svolto.

Ricevimento

Su appuntamento.

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