Numeri primi e crittografia

Il laboratorio è stato pensato per cercare di far cogliere agli studenti:

• che la matematica è utilizzata per risolvere molti problemi della vita quotidiana, anche quando ciò non è completamente evidente;
• che risultati classici della teoria dei numeri sono alla base di questioni importanti e concrete, quali: sicurezza delle comunicazioni via internet, bancomat, firma digitale, ecc., dalle quali sono venuti nuovi stimoli e nuovo impulso alla ricerca matematica e informatica.

Il laboratorio ha una forte valenza interdisciplinare, in quanto si presta ad essere sviluppato in collaborazione tra insegnanti di matematica e di informatica, ma può anche fornire spunti di collaborazione con gli insegnati di storia, in particolare per quel che riguarda il ruolo avuto dalla crittografia nella seconda guerra mondiale.
Si pensa di impostare il Laboratorio seguendo lo sviluppo storico della Crittografia. La parte più propriamente matematica (numeri primi, aritmetica modulare, algoritmi della Teoria dei Numeri) viene introdotta in questo contesto a supporto della Crittografia moderna a chiave pubblica (in particolare del Sistema RSA). Si mostra come la sicurezza dell'RSA sia basata sulla difficoltà della fattorizzazione in primi di un dato intero. A questo punto si parla di numeri primi, di distribuzione dei numeri primi, di test di primalità e di algoritmi per la fattorizzazione in primi e si vede come l'aumento della potenza dei calcolatori non costituisce una minaccia per il sistema, ma piuttosto il contrario. Si trae spunto da questi problemi per fare qualche accenno sulla complessità degli algoritmi. Quest'ultima parte verrà sviluppata in particolare da docenti universitari di area informatica. In linea di massima si pensa di assegnare ai ragazzi interessati, nel loro elaborato finale, un esercizio di implementazione di un mini-sistema crittografico RSA, con generazione delle chiavi pubblica e privata, cifratura di un messaggio da trasmettere ad altri, decifrazione di un crittogramma ricevuto da altri, firma digitale.