Fibrazioni in Jacobiane intermedie

Data una ipersuperficie cubica liscia X di dimensione 3, la sua Jacobiana intermedia J(X) è una varietà abeliana principalmente polarizzata di dimensione 5, che fu usata da Clemens e Griffiths per dimostrare la non razionalità di X. Se Y è una ipersuperficie cubica liscia di dimensione 4, possiamo considerare la famiglia \mathcal X \to P^5 delle cubiche 3-dimensionali che sono sezione iperpiane di Y. Sull'aperto U di P^5 che parametrizza sezioni iperpiane lisce, si può considerare la Jacobiana intermedia relativa J_U \to U le cui fibre sono le Jacobiane intermedie delle fibre di \mathcal X_U \to U. Nel 1995 Donagi e Markman hanno costruito una forma simplettica olomorfa su J_U, rispetto a cui la fibrazione J_U \to U è Lagrangiana (o, equivalentemente, un sistema completamente integrabile algebrico). Da quel momento ci sono stati parecchi tentativi di trovare una compattificazione liscia J di questa fibrazione, con la proprietà ulteriore che la forma simplettica su J_U si estende ad una forma simplettica e olomorfa su tutta J. In un lavoro svolto in collaborazione con C. Voisin e R. Laza risolviamo questo problema usando le varietà di Prym relative e costruendo una compattificazione naturale di J_U che ammette una forma simplettica olomorfa.