Un teorema di compattezza in omologia persistente invariante per gruppi

Il confronto metrico è una tematica molto importante nell'ambito dell'analisi topologica dei dati (TDA). Uno strumento per tale confronto è la pseudo-distanza naturale, che misura la differenza fra funzioni a valori reali definite su uno spazio topologico X rispetto a un sottogruppo G del gruppo H di tutti gli omeomorfismi da X in X. Limitazioni inferiori di tale metrica possono essere ottenute calcolando l'omologia persistente delle funzioni considerate. Sfortunatamente tali limitazioni hanno un'invarianza troppo estesa, essendo l'omologia persistente classica invariante rispetto all'azione dell'intero gruppo H. Nel nostro seminario esporremo un nuovo metodo per ridurre tale invarianza a quella ristretta all'azione del solo gruppo G. Questo metodo è basato sull'introduzione, sotto opportune ipotesi, di operatori non espansivi invarianti per G. Nella seconda parte del seminario esporremo un teorema di compattezza per lo spazio topologico di tali operatori, che garantisce la possibilità di ottenere approssimazioni arbitrariamente buone della pseudo-distanza naturale senza ricorrere al suo calcolo diretto, che è notoriamente piuttosto difficile.