Approssimazioni diofantee, dimensione e formalismo termodinamico per gruppi Fuchsiani

Nella teoria classica delle approssimazioni diofantee l'insieme "Bad" è costituito dai numeri reali che sono male approssimabili dai razionali: si tratta di un insieme di misura zero e dimensione uno nella retta reale. Proprietà metriche più fini sono state studiate in dettaglio, sia nel caso classico che in varie generalizzazioni, in contesti legati alla dinamica su spazi omogenei ed altri spazi di moduli. L'insieme Bad ammette un'esaustione in sottoinsiemi Bad(c), la cui dimensione converge a 1 quando il parametro c>0 tende a zero. Nel caso classico D. Hensley ha ottenuto il primo ordine in c nello sviluppo asintotico della dimensione, attraverso un'analoga stima della dimensione dell'insieme dei numeri reali la cui frazione continua ha tutti i coefficienti parziali uniformemente limitati. Presenterò una generalizzazione della formula asintotica di Hensley nel contesto dei gruppi Fuchsiani, considerando l'insieme dei punti del bordo dello spazio iperbolico che sono male approssimabili per l'azione di un lattice non-uniforme G in PSL(2,R) ed un'esaustione di tale insieme in sottoinsiemi Bad(G,c), in termini di un parametro c>0. L'"espansione al bordo" di Bowen e Series permette di approssimare Bad(G,c) con insiemi di Cantor definiti dinamicamente, la cui dimensione può essere stimata con grande precisione tramite tecniche di formalismo termodinamico introdotte da Ruelle e Bowen. Un'analisi perturbativa del raggio spettrale dell'operatore di trasferimento fornisce la dimensione di Bad(G,c) al primo ordine in c.