Numeri, dimensione, dinamica.

I numeri reali si differenziano per le loro caratteristiche diofantee, che riflettono diverse proprietà geometrico-dinamiche delle orbite sotto l'azione di PSL(2,Z). La teoria analitica dei numeri studia le proprietà metriche, come misura o dimensione di Hausdorff, dell'insieme dei numeri reali di un certo tipo diofanteo. In particolare, l'insieme dei numeri male approssimabili ha misura zero e dimensione 1 nella retta. Inoltre esiste un' esaustione naturale in sottoinsiemi Bad(c), la cui dimensione converge ad 1 quando c va a zero. D. Hensley ha ottenuto l'asintotico al primo ordine in c della dimensione di Bad(c), attraverso un'analoga stima per l'insieme dei numeri reali la cui frazione continua ammette coefficienti parziali uniformemente limitati. La dimostrazione di questo risultato illustra come la frazione continua permette di introdurre strumenti dinamici, quali l'operatore di trasferimento ed il formalismo termodinamico, che forniscono informazioni metriche molto più precise che un'analisi puramente analitico-geometrica. Tale approccio si estende a diversi contesti geometrico-dinamici. In particolare vedremo una versione generalizzata dell'asintotico di Hensely, in cui la nozione di numeri male approssimabili è riferita non più all'azione di PSL(2,Z) ma a quella di un lattice non-uniforme in PSL(2,R).