Argomenti trattati a lezione

03.10.05

Presentazione del corso (programma, modalità dell'esame ecc.), test di ingresso, numeri naturali, principio di induzione matematica, costruzione dei numeri interi, costruzione dei numeri razionali.

04.10.05

Esercitazioni: equazioni e disequazioni del secondo grado, prefissi delle unità di misura, concentrazione di una soluzione in forma percentuale (massa/massa oppure massa/volume), per concentrazioni di tracce: parti per mille (ppt = parts per thousand), parti per milione (ppm) parti per bilione (ppb). La radice di due non è un numero razionale. Costruzione dei numeri reali mediante successioni di intervalli inscatolati.

05.10.05

Discussione delle soluzioni degli esercizi del 04/10/05. Numeri reali come classi di equivalenza di successioni di intervalli annidati (K. Weierstrass). Cenno su altre costruzioni dei numeri reali mediante successioni fondamentali o di Cauchy ( G. Cantor) e sezioni in Q ( R. Dedekind). Ordinamento dei numeri reali, assiomi/regole, valore assoluto e regole, in particolare disuguaglianza triangolare, disuguaglianza di Bernoulli.

10.10.05

Potenze con base positiva ed esponente reale, regole del calcolo con le potenze e con le radici. Logaritmi, regole del calcolo con i logaritmi, in particolare il cambiamento di base. Il numero di Nepero o Eulero. Calcolo degli interessi.

11.10.05

Funzioni logaritmiche ed esponenziali. Alcune applicazioni: calcolo degli interessi, scale logaritmiche, scala del pH, disintegrazione radioattiva.

12.10.05

Legame tra costante di decadimento radioattivo e tempo di dimezzamento (emivita, semiperiodo), esercizi consigliati: foglio del 18/10/2004. Definizione di funzione, iniettività, suriettività e biiettività di funzioni, invertibilità delle funzioni biiettive, funzioni e successioni numeriche, loro grafici, serie.

17.10.05

Esempi di funzioni inverse, in particolare funzioni logaritmiche e funzioni esponenziali. Numeri complessi, introduzione e commenti storici, definizione e operazioni aritmetiche, esempi, piano dei numeri complessi o piano di Argand-Gauss, vettori nel piano (cenno), (numero complesso) coniugato, valore assoluto o modulo di un numero complesso. Coordinate polari nel piano. Esercizi consigliati: foglio del 15/10/2003. E' uscito il libro G. Arcidiacono, Zero, infinito, immaginario. Lo strano mondo dei numeri. Di Renzo, Roma, 2005, Arcobaleno , pag. 158, Isbn 88-8323-104-X, Euro 11,50, che propone di studiare il misterioso e affascinante mondo dei numeri.

18.10.05

Richiami di goniometria e trigonometria: angolo elementare, angolo orientato, misura di angoli orientati in radianti, seno, coseno, tangente, cotangente, relazioni fra gli elementi di un triangolo rettangolo, valori particolari delle funzioni goniometriche, loro grafici, relazioni tra le funzioni goniometriche, formule di addizione, sottrazione, duplicazione degli argomenti, funzioni inverse delle funzioni goniometriche e loro grafici.

19.10.05

Rotazione del piano, deduzione delle formule, formule in forma matriciale, richiami sulle matrici: prodotto di matrici, esempio che loro moltiplicazione non è commutativa, zerodivisori, matrice di rotazione e sua inversa, matrici ortogonali, matrice della composizione di rotazioni, formule di addizione per gli argomenti del seno, coseno.

24.10.05

Numeri complessi in forma polare o trigonometrica, interpretazione geometrica della loro moltiplicazione (trasformazioni di similitudine del piano), formula di de Moivre, radici, in particolare radici dell'unità, formula di Eulero, teorema fondamentale dell'algebra. Vettori geometrici, vettore opposto, somma o risultante di vettori.

25.10.05

Differenza di vettori, vettore nullo, prodotto di un vettore per uno scalare, regole dell'algebra vettoriale, spazi vettoriali (cenno), componenti di un vettore, vettori numerici, norma, operzioni con i vettori numerici, prodotto scalare, proprietà del prodotto scalare. Esercizi consigliati: foglio del 29/10/2003.

26.10.05

Proiezione ortogonale di un vettore su un altro, disuguaglianza di Cauchy-Buniakovskii-Schwarz, coseni direttori di un vettore, prodotto vettoriale o prodotto esterno di vettori di R^3, regole del calcolo per il prodotto vettoriale, prodotto misto (prodotto scalare triplo) e volume di un parallelepipedo.

31.10.05

Indipendenza e dipendenza lineare di una famiglia di vettori di uno spazio vettoriale, esempi in R^2 e in R^3, sistema di generatori per uno spazio vettoriale, nozioni di base e di dimensione di uno spazio vettoriale, spazi vettoriali di dimensione finita, componenti di un vettore rispetto a una base, esercizi sul calcolo vettoriale.

02.11.05

Formula di Newton per lo sviluppo delle potenze di un binomio, triangolo di Tartaglia o Pascal, proprietà dei coefficienti binomiali. Calcolo combinatorio: disposizioni, permutazioni, combinazioni semplici e con ripetizione, esempi. Esercizi consigliati: foglio del 18/11/2003, esercizi 1-7.

07.11.05

Limiti di successioni numeriche, successioni convergenti, divergenti all'infinito e indeterminate, esempi, unicità del limite di una successione convergente, successioni aritmetiche, successioni geometriche, serie geometrica. Esercizi consigliati: foglio del 27/10/2003, esercizi 8, 9, 10, foglio del 18/11/2003, esercizi 18, 19, 20.

08.11.05

Altri esempi di successioni e di serie. Alcuni richiami sulle sommatorie. Serie armonica. Criterio di convergenza di Cauchy per successioni di R^n e per serie. Massimo, minimo, estremo superiore e inferiore di un insieme di numeri reali. Esistenza dell'estremo superiore di un insieme di numeri reali limitato superiormente. Ogni successione numerica reale monotona crescente e limitata superiormente converge al suo estremo superiore.

09.11.05

Il limite lim (1 + 1/n)^n = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... = e = 2,7182818284 ... (numero di Nepero o di Eulero) e altri limiti notevoli. Teorema sul limite di somma, prodotto e quoziente di successioni, esempi. Criterio necessario per la convergenza di una serie. Convergenza assoluta di una serie, riordinamenti di una serie e convergenza condizionata (cenno). Convergenza assoluta implica convergenza. Esercizi consigliati: foglio del 27/10/2003, esercizio 5 e foglio del 18/11/2003, esercizio 19.

14.11.05

Alcuni criteri di convergenza per le serie ed esempi: criterio del confronto e serie di Mengoli (Pietro Mengoli), criterio del rapporto e serie di Taylor della funzione esponenziale. Discussione di esercizi (tra l'altro coefficienti binomiali, potenze, calcolo degli interessi, decadimento radiaoattivo) e di domande e osservazioni in vista della prova scritta del 16 novembre 2005.

15.11.05

Criterio della radice (o di Cauchy), criterio di convergenza di Leibniz per le serie a segno alternato, esempi. Limiti di funzioni numeriche reali, limite destro (o sinistro), teorema sul legame con i limiti di successioni, limite di una funzione f(x) per x tendente all'infinito (o all'infinito negativo), funzione divergente positivamente (o negativamente), alcuni esempi, in particolare il limite di (sen x)/x per x tendente a zero.

16.11.05

Prova scritta "in itinere": foglio del 16/11/2005.

21.11.05

Alcuni limiti notevoli. In dimensione 2, la norma infinito (o norma del massimo) come limite della norma n, disco di raggio r usando la distanza o metrica definita mediante la norma 1, la norma 2 (norma euclidea) e la norma infinito rispettivamente. Definizione di funzione numerica reale continua in un punto e continua in un intervallo. Esempi di funzioni continue: sen x, cos x, funzioni polinomiali, funzioni esponenziali. Continuità di somma, prodotto e quoziente (con denominatore diverso da zero) di funzioni continue, continuità della composta di funzioni continue. Teorema di Weierstrass e teorema dei valori intermedi di Bolzano.

22.11.05

Esempi di funzioni continue e con punti di discontinuità, loro grafici, discontinuità eliminabili (o di terza specie): si propone il test. Definizione di derivata di una funzione numerica reale. Interpretazione geometrica (retta tangente) e cinematica (velocità) della derivata, primi esempi.

23.11.05

Derivabilità implica continuità, esempio di una funzione continua in un punto, ma ivi non derivabile, derivata destra e derivata sinistra, punto angoloso. Derivate di alcuni funzioni elementari, in particolare funzioni logaritmiche. Equazione della retta tangente al grafico di una funzione (reale e derivabile) in un punto.

28.11.05

Regole di derivazione: derivata di una somma, di un prodotto e di un quoziente di funzioni derivabili, derivata di una funzione composta (regola della catena) e dell'inversa di una funzione, esempi. Definizione di differenziale, applicazione del differenziale alla stima di un errore assoluto. E' molto importante esercitarsi: foglio del 1/12/2003.

29.11.05

Esempi di applicazione del differenziale, errore assoluto ed errore relativo. Teoremi sulle funzioni derivabili: teorema di Rolle, teorema del valor medio (o di Lagrange), teorema generalizzato della media (o di Cauchy) e sua interpretazione geometrica (esempio della circonferenza data in forma parametrica, cioè tramite due funzioni).

30.11.05

Regola di Bernoulli-l'Hospital (J. Bernoulli, Marquis de l'Hospital), esempi per limiti nelle varie forme indeterminate. Derivate e differenziali di ordine superiore. L'errore relativo di un prodotto è la somma degli errori relativi dei fattori.

05.12.05

Teorema di Taylor, resto nella forma di Lagrange, polinomi di Taylor come approssimazioni locali di una funzione in un intorno del punto iniziale, serie di Taylor e serie di Maclaurin, sviluppo in serie di Taylor della funzione esponenziale (con lo studio del resto) e delle funzioni seno, coseno e logaritmo naturale. Esercizi consigliati: foglio del 01/12/2003, esercizi 15, 16.

06.12.05

Ripetizione della prova scritta "in intinere": foglio del 06/12/2005.

07.12.05

Esempi di sviluppi di funzioni in serie di Taylor. Funzione esponenziale per i numeri complessi, formula di Eulero. Minimi e massimi relativi e assoluti di una funzione reale in un intervallo. Condizione necessaria ("teorema di Fermat", da non confondere con l'ultimo teorema di Fermat e con il piccolo teorema di Fermat) e condizioni sufficienti per l'esistenza di minimi e massimi relativi interni.

12.12.05

Sciopero dei treni.

13.12.05

Condizioni sufficienti (usando anche derivate di ordine superiore) per l'esistenza di minimi o massimi relativi interni di una funzione reale definita in un intervallo, esempi. Asintoti per il grafico di una funzione numerica reale, esempi, in particolare l'equazione di van Deemter (pagine 43-46 del documento linkato) in gas cromatografia. Esercizi consigliati: foglio del 01/12/2003, esercizi 12, 13, 14 (tranne i punti di flesso).

14.12.05

Funzioni convesse o concave in un intervallo, richiamo sul polinomio di interpolazione di Lagrange, relazione tra la convessità di una funzione e la monotonia della sua derivata, relazione tra la convessità e il segno della derivata seconda, punto di flesso ascendente o discendente, condizione necessaria e condizioni sufficienti per l'esistenza di un punto di flesso. Esempio: funzione logistica di crescita (P. F. Verhulst). Esercizi consigliati: foglio del 01/12/2003, esercizi 12, 13.

19.12.05

Esempi di studio di funzione. Introduzione al calcolo integrale: problema della funzione primitiva e problema della misura, teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrale indefinito (funzione primitiva, antiderivata), campo di inclinazione e curve integrali, primitive di funzioni elementari.

20.12.05

Regole di integrazione: integrazione per parti, integrazione per sostituzione, integrazione di funzioni razionali fratte (decomposizione in frazioni semplici), esempi ed esercizi. Esercizi consigliati: foglio 2 del 22/12/2003, esercizi 1, 2.

21.12.05

Integrali indefiniti: esempi ed esercizi, in particolare integrazione per sostituzione, integrazione di funzioni razionali fratte mediante la loro decomposizione in frazioni semplici, equazioni parametriche razionali di una circonferenza e integrazione di funzioni razionali nelle funzioni goniometriche.

09.01.06

Integrale definito: definizione tramite le somme intermedie di Riemann, secondo approccio mediante le somme inferiori e superiori di una funzione limitata (cenno), proprietà dell'integrale definito che seguono dalla definizione, classi di funzioni integrabili, teorema del valor medio integrale per funzioni continue, teorema fondamentale del calcolo integrale e idea della sua dimostrazione. Esercizi consigliati: foglio 2 del 22/12/2003, esercizi 3-22.

10.01.06

Integrale definito, esempi e applicazioni: area del sottografico di una funzione, lunghezza di un segmento di curva, calcolo di un integrale definito mediante l'integrazione per sostituzione, volume di un solido di rotazione, lavoro per estendere una molla.

16.01.06

Funzioni numeriche reali di due e di più variabili reali, esempi, grafici di funzioni di due variabili, curve di livello, derivate parziali, esempi. Esercizi consigliati: foglio 1 del 22/12/2003, esercizi 2, 3.

17.01.06

Equazione del piano tangente al grafico di una funzione differenziabile di due variabili, incremento di una funzione di due variabili e differenziale totale, derivate parziali di ordine superiore, teorema di Schwarz, punti stazionari di una funzione di due variabili, condizione sufficiente basata sul determinante hessiano (Ludwig Otto Hesse)) per l'esistenza di minimi o massimi locali in un punto interno al dominio di una funzione di due variabili. Esercizi consigliati: foglio 1 del 22/12/2003.

18.01.06

Prova scritta: foglio del 18/01/2006.

last updated 18 January 2006, Rüdiger Achilles