Argomenti trattati a lezione

01.10.07

Presentazione del corso (programma, modalità dell'esame, tutorato ecc.). Numeri naturali, interi, razionali, la radice di due non è un numero razionale, successione di intervalli che definisce la radice di due, cenno sulla costruzione dei numeri reali mediante (classi di equivalenza di) successioni di intervalli annidati ("scatole cinesi") secondo K. Weierstrass oppure mediante successioni fondamentali o di Cauchy secondo G. Cantor, numeri decimali e numeri binari, cifre significative, esercizi.

02.10.07

Esercizi sui seguenti argomenti: calcolo con le potenze, conversione di una potenza con base 2 in una potenza con base 10, algoritmi per la conversione della parte intera e della parte frazionaria di un numero decimale in un numero binario, un numero decimale finito può trasformarsi un in numero binario con infinite cifre, errore assoluto ed errore relativo, propagazione degli errori in somme, differenze, prodotti, quozienti.

03.10.07

Numeri complessi, introduzione e commenti storici, definizione e operazioni aritmetiche, esempi, piano dei numeri complessi o piano di Wessel-Argand-Gauss, vettori nel piano (cenno), numero complesso coniugato, valore assoluto o modulo di un numero complesso. Coordinate polari nel piano, richiami sulla misura di angoli orientati (in gradi e in radianti) e sulle funzioni goniometriche. Esercizi consigliati: foglio del 04/10/2007.

08.10.07

Funzioni goniometriche(seno, coseno, tangente, cotangente): grafici (funzioni pari, dispari, periodiche), relazioni tra le funzioni goniometriche (angoli complementari, angoli opposti, angoli supplementari), valori particolari delle funzioni goniometriche, serie di Taylor delle funzioni goniometriche ed esponenziali (cenno), fattoriale, formule di addizione. Nozione di funzione e di funzione inversa. Invertibilità delle funzioni biiettive. Funzioni inverse delle funzioni goniometriche (arcoseno, arcocoseno, arcotangente, arcocotangente) e loro grafici. Numeri complessi in forma trigonometrica.

09.10.07

Grafici delle funzioni numeriche reali -f(x), f(-x), f(x+a), f(ax), f(a-x) ecc. che si derivano dalla funzione e dal grafico di f(x), si veda l'esercizio sul sito WIMS. Esercizio sull'arcotangente e sull'argomento di un numero complesso. Numeri complessi in forma polare o trigonometrica, interpretazione geometrica della loro moltiplicazione (trasformazioni di similitudine del piano), reciproco e inversione rispetto alla circonferenza unitaria, legame con la proiezione stereografica (non trattato a lezione, si veda 3.3 del documento linkato), formula di de Moivre, radici, esempi, in particolare radici dell'unità.

10.10.07

Funzione esponenziale di una variabile complessa, cambiamento di base nelle funzioni esponenziali e nei logaritmi, formula di Eulero, formule di addizione per le funzioni goniometriche, rotazione nel piano, teorema fondamentale dell'algebra. Definizione di funzione, di funzione numerica reale e suo grafico, di successione e di serie. Limiti di successioni numeriche, successioni convergenti. Esercizi consigliati: foglio del 11/10/2007.

15.10.07

Successioni divergenti all'infinito e successioni indeterminate. Intorno circolare di un punto (numero reale o complesso). Esempi di successioni convergenti, divergenti e indeterminate. Unicità del limite di una successione convergente. Successioni o progressioni aritmetiche e geometriche, crescita di un capitale investito ad un tasso fisso di interesse annuo, media aritmetica, media geometrica e media armonica, esempi.

16.10.07

Calcolo degli interessi, successione geometrica e funzione esponenziale, numero di Nepero o di Eulero: lim (1 + 1/n)^n = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... = e = 2,7182818284 ..., richiami sul fattoriale, sua approssimazione di Stirling, decadimento radioattivo, grafici di funzioni esponenziali e logaritmiche. Somme parziali e somma di una serie geometrica, esempi: frazioni generatrici di numeri decimali o binari periodici.

17.10.07

Esempi di serie geometriche, serie armonica, serie di Mengoli (Pietro Mengoli). Teorema sul limite di somma, prodotto e quoziente di successioni convergenti, esempi. Criterio di convergenza di Cauchy, convergenza di 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... Massimo, minimo, estremo superiore e inferiore di un insieme di numeri reali. Esistenza dell'estremo superiore di un insieme limitato superiormente. Esercizi consigliati: foglio del 17/10/2007.

22.10.07

Ogni successione numerica reale monotona crescente e limitata superiormente converge al suo estremo superiore. Formula di Newton per lo sviluppo delle potenze di un binomio, triangolo di Tartaglia o di Pascal dei coefficienti binomiali, proprietà dei coefficienti binomiali. Calcolo combinatorio: disposizioni, permutazioni e combinazioni semplici e con ripetizione, esempi.

23.10.07

Alcuni limiti importanti (in particolare: le successioni (1 + 1/n)^n e 1 + 1/1! + 1/2! + ... + 1/n! sono convergenti e hanno lo stesso limite e = 2,718 ..., il numero di Nepero o di Eulero). Criteri di convergenza per le serie ed esempi: criterio necessario, convergenza assoluta di una serie implica convergenza (segue dalla disuguaglianza triangolare), riordinamenti di una serie e convergenza condizionata, convergenza assoluta equivale convergenza incondizionata (cenno), criterio del confronto (serie di Mengoli come maggiorante convergente per 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ...), criterio della radice, criterio del rapporto (convergenza della serie di Taylor della funzione esponenziale), criterio di Leibniz per serie a segno alterno.

24.10.07

Limiti di funzioni numeriche reali, limite destro (o sinistro), limite di una funzione di una variabile reale x per x tendente all'infinito (o all'infinito negativo), funzioni divergenti positivamente (o negativamente), esempi, in particolare il limite di (sen x)/x per x tendente a zero. Teorema sul legame del limite di una funzione numerica reale con i limiti di successioni. Esempi, in particolare il limite di (1 + 1/x)^x per x tendente all'infinito. Definizione di funzione numerica reale continua in un punto. Esercizi consigliati: foglio del 25/10/2007.

29.10.07

Definizione di funzione reale continua e uniformemente continua in un intervallo, esempio. Esempi di funzioni continue: sen x, cos x, funzioni polinomiali, funzioni esponenziali. Continuità di somma, prodotto e quoziente (con denominatore diverso da zero) di funzioni continue, continuità della composta di funzioni continue, teorema di Weierstrass, teorema dei valori intermedi di Bolzano, teorema di Heine-Cantor sulla continuità uniforme di funzioni continue in un intervallo chiuso. Definizione di derivata di una funzione numerica reale. Interpretazione geometrica (retta tangente) e cinematica (velocità) della derivata, equazione della retta tangente al grafico di una funzione derivabile. Derivate di alcune funzioni elementari. Lucidi della lezione.

30.10.07

Derivate di alcune funzioni elementari. Cenno sulla derivazione numerica. Differenziale di una funzione numerica reale. Esempi, in particolare applicazione del differenziale alla stima di un errore assoluto, differenziale del logaritmo e il pH di una soluzione acquosa, l'errore relativo su x si trasforma nell'errore assoluto su log(x). La derivabilità di una funzione numerica reale implica la sua continuità.

31.10.07

Esempi di funzioni continue ma non derivabili, derivata destra e derivata sinistra, punto angoloso. Regole di derivazione ed esempi: derivata di una somma, di un prodotto e di un quoziente di funzioni derivabili, derivata di una funzione composta. Invertibilità delle funzioni biiettive. Derivata dell'inversa di una funzione derivabile: funzioni logaritmo ed esponenziale. E' molto importante esercitarsi: foglio del 25/10/2006.

05.11.07

Derivate di funzioni inverse, in particolare derivate delle funzioni inversi di funzioni goniometriche. Teoremi sulle funzioni derivabili: teorema di Rolle (Michel Rolle, 1652-1719), teorema del valor medio (o di Lagrange), monotonia di una funzione derivabile in un intervallo e il segno della sua derivata in tale intervallo, teorema generalizzato della media (o di Cauchy) e sua interpretazione geometrica: esempio della circonferenza data in forma parametrica mediante due funzioni.

06.11.07

Osservazioni sul teorema generalizzato della media di Cauchy. Teoremi di Bernoulli-l'Hospital (J. Bernoulli, Marquis de l'Hospital). Esempi per limiti nelle varie forme indeterminate. Derivate di ordine superiore, esempi.

07.11.07

Differenziali di ordine superiore, esempi ed esercizi. Teorema di Taylor, resto nella forma di Lagrange, polinomi di Taylor come approssimazioni locali di una funzione in un intorno del punto iniziale, serie di Taylor e serie di Maclaurin, sviluppo in serie di Taylor della funzione esponenziale (con lo studio del resto di Lagrange). Esercizi consigliati (prova generale per la prova scritta del 14 novembre, ore 11-14 in Aula 4, Navigare Necesse): foglio del 08/11/2007.

12.11.07

Sviluppo in serie di Taylor delle funzioni seno, coseno e logaritmo naturale. Cenno sul raggio di convergenza di una serie di potenze. Polinomi di Taylor come approssimazioni locali di una funzione in un intorno del punto iniziale. Funzione esponenziale complessa, formula di Eulero, formule di addizione per le funzioni goniometriche.

13.11.07

Derivazione (e integrazione) di serie di potenze (cenno). Massimi e minimi relativi e assoluti di una funzione reale in un intervallo. Condizione necessaria ("teorema di Fermat", da non confondere con l'ultimo teorema di Fermat e con il piccolo teorema di Fermat) e condizioni sufficienti per l'esistenza di massimi e minimi relativi interni (usando anche derivate di ordine superiore). Asintoti per il grafico di una funzione reale. Esempio di studio di funzione: equazione di van Deemter (pagine 5-6 del documento linkato) in gascromatografia.

14.11.07, ore 11-14

Prova scritta in Aula 4 (Navigare Necesse).
foglio del 14/11/2007 (manca l'esercizio del calcolo numerico).

19.11.07

Asintoti verticali. Funzioni convesse o concave in un intervallo, relazione tra la convessità di una funzione e la monotonia della sua derivata, relazione tra la convessità e il segno della derivata seconda. Punto di flesso ascendente o discendente, condizione necessaria e condizioni sufficienti per l'esistenza di un punto di flesso usando la derivata seconda e derivate di ordine superiore della funzione. Esempi di studio di funzione, in particolare funzione logistica di crescita (P. F. Verhulst).

20.11.07

Studio della funzione logistica. Introduzione al calcolo integrale: problema della funzione primitiva e problema della misura, teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrale indefinito (funzione primitiva, antiderivata), primitive di funzioni elementari. Regole di integrazione ed esempi, in particolare integrazione per parti, integrazione per sostituzione, formula della sostituzione lineare.

21.11.07

Esempi ed esercizi sulle tecniche di integrazione, in particolare una seconda versione di integrazione per sostituzione. Cenno sulle funzioni iperboliche. Integrazione delle funzioni razionali fratte mediante la loro decomposizione in frazioni semplici. Esercizi consigliati: foglio del 23/11/2007.

26.11.07

Esempi di integrazione di funzioni razionali fratte mediante la loro decomposizione in frazioni semplici. Integrazione delle funzioni razionali nelle funzioni trigonometriche, rappresentazione parametrica razionale della circonferenza. Alcuni integrali che non possono essere espressi per mezzo di combinazioni finite delle cosiddette "funzioni elementari": funzione gaussiana, esponenziale integrale, seno integrale, coseno integrale, integrali ellittici.

27.11.07

Integrale definito (secondo Riemann, 1826 - 1866): definizione tramite le somme intermedie di Riemann, secondo approccio mediante le somme inferiori e superiori di una funzione limitata (cenno), classi di funzioni integrabili, esempio di una funzione non integrabile (funzione di Dirichlet, Dirichlet, 1805 - 1859), teorema del valor medio integrale per funzioni continue, teorema fondamentale del calcolo integrale e idea della sua dimostrazione, esempio.

28.11.07

Proprietà dell'integrale definito: additività, monotonia (o teorema del confronto) e valore assoluto. Esempi e applicazioni dell'integrale definito: area del sottografico di una funzione, lunghezza di un segmento di curva, calcolo di un integrale definito mediante l'integrazione per sostituzione, volume di un solido di rotazione. Esercizi consigliati: foglio del 29/11/2007.

03.12.07

Applicazioni dell'integrale definito: volume di un solido di rotazione, superficie laterale di un tronco di cono, area della superficie laterale di un solido di rotazione. Integrali generalizzati o impropri: integrazione su intervalli illimitati e integrazione con funzione integranda illimitata, esempi, in particolare l'integrale di Gauss, cenno sugli integrali doppi, elemento d'area in coordinate polari.

04.12.07

Integrazione per sostituzione, integrale di Gauss, cenno sull'uso delle tavole per la funzione di ripartizione della distribuzione normale standardizzata. Equazioni differenziali ordinarie, soluzione (o integrale) generale, soluzioni particolari e problema di Cauchy o dei valori iniziali, soluzioni singolari, esempi. Interpretazione geometrica delle soluzioni nel caso di equazioni differenziali esplicite del primo ordine: campi di pendenza e curve integrali. Equazioni differenziali a variabili separabili, esempi.

05.12.07

Cenno sull'unicità locale della soluzione di un problema di Cauchy. Esempi di equazioni differenziali a variabili separabili: equazioni differenziali nella cinetica chimica (reazioni del primo e del secondo ordine, grafici delle concentrazioni in funzione del tempo, grafici semilogaritmici, decomposizione di funzioni razionali fratte in frazioni semplici) e nello studio della dinamica di popolazioni (funzione logistica di P.F. Verhulst). Esercizi consigliati: foglio del 07/12/2007.

10.12.07

Discussione della soluzione generale e delle curve integrali dell'equazione logistica (modello di crescita limitata secondo Verhulst). Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti, soluzioni generali secondo le radici dell'equazione caratteristica associata nel caso di ordine due, esempio di un oscillatore armonico non smorzato/smorzato, confronto dell'oscillatore meccanico con il suo analogo elettrico.

11.12.07

Esempi di equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti di ordine due e tre, discussione di un oscillatore armonico non smorzato e smorzato (casi di sovrasmorzamento, smorzamento critico e sottosmorzamento), problema di Cauchy per equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti di ordine due.

12.12.07

Un sistema di equazioni differenziali non lineari del primo ordine: il modello "preda - predatore" di Lotka-Volterra, calcolo del valor medio integrale e discussione dell'effetto dell'attività di pesca. Un applet per graficare il sistema. Introduzione alle funzioni numeriche reali di più variabili reali, primi esempi, grafici e curve di livello di funzioni di due variabili. Esercizi consigliati: foglio del 13/12/2007.

17.12.07

Esempi per curve di livello e grafici di funzioni numeriche reali di due variabili reali, in particolare: piani nello spazio, vettore normale a un piano, paraboloide iperbolico, rotazione del piano in forma matriciale (cenno sulle matrici ortogonali), paraboloide ellittico, cono.

18.12.07

Limiti e continuità per le funzioni reali di due e più variabili reali, derivate parziali, equazione del piano tangente al grafico di una funzione differenziabile di due variabili, derivate parziali di ordine superiore, teorema di Schwarz (H.A. Schwarz), sulle derivate seconde miste, matrice hessiana, esempi.

19.12.07

Incremento di una funzione di due variabili, differenziale totale, gradiente, differenziale totale per una funzione di n variabili. Richiami sul prodotto scalare di vettori del piano, dello spazio e di R^n, disuguaglianza di Cauchy-Buniakovskii-Schwarz. Esempio di una funzione derivabile parzialmente ma non continua. Esercizi consigliati: foglio del 20/12/2007.

07.01.08

Derivazione delle composte di funzioni di più variabili (regola della catena), esempi. Derivata direzionale, definizione e calcolo della derivata direzionale come prodotto scalare del gradiente con il versore scelto. Esempio per il calcolo e il significato del gradiente e della derivata direzionale.

08.01.08

Formula di Taylor per funzioni di due variabili reali, resto nella forma di Lagrange. Classificazione dei punti stazionari (o critici) di funzioni reali in due variabili reali: condizione necessaria (annullarsi del gradiente) e condizione sufficiente (usando la matrice hessiana) per l'esistenza di massimi e minimi locali in un punto interno al dominio di una funzione di due variabili, condizione sufficiente per l'esistenza di un punto di sella. Lettura consigliata: Gianluca Gorni, Introduzione illustrata alle funzioni di due variabili.

09.01.08

Dimostrazione del teorema sull'esistenza di massimi e minimi locali in un punto interno al dominio di una funzione in due variabili, cenno al caso di funzioni in più variabili: riduzione a forma canonica di una forma quadratica (pag. 11 del documento linkato), richiami sugli autovettori e autovalori di una matrice simmetrica reale (pag. 10 del documento linkato). Esempio per la classificazione dei punti stazionari di una funzione reale di due variabili reali. Esercizi consigliati: foglio del 09/01/2008.

last updated 9th January 2007, Rüdiger Achilles