Argomenti trattati a lezione

04.10.10

Presentazione del corso (programma, modalità dell'esame, tutorato ecc.). Numeri naturali, interi, razionali, la radice di due non è un numero razionale, successione di intervalli che definisce la radice di due, cenno sulla costruzione dei numeri reali mediante (classi di equivalenza di) successioni di intervalli annidati (“scatole cinesi”), numeri razionali come numeri decimali periodici, somma parziale di una serie geometrica e somma di una serie geometrica. Crescita di un capitale investito ad un tasso fisso di interesse annuo, calcolo (della successione) del montante ad interesse composto discontinuo annuo, ad interesse composto discontinuo convertibile e ad interesse composto continuo, numero di Nepero o di Eulero = 2,7182818284 ... come limite di (1 + 1/n)ⁿ per n tendente all'infinito.

05.10.10

Potenze con base positiva ed esponenti reali, regole del calcolo con le potenze e con i logaritmi, cambiamento di base nei logaritmi, esempi. Funzioni esponenziali e loro grafici. Definizione di funzione o applicazione, funzione numerica reale, successione numerica, grafico di funzione, funzione iniettiva, suriettiva e biiettiva.

06.10.10

Esercizio sulla funzione esponenziale e il cambiamento di base nei logaritmi, cenno alla funzione logistica di P. F. Verhulst. Esempi di funzioni iniettive, suriettive e biiettive. Funzione inversa di una funzione biiettiva. Alcune funzioni elementari, loro grafici e loro funzioni inverse, in particolare funzioni logaritmiche ed esponenziali, scala logaritmica e scala del pH, grafico della funzione logaritmo in un sistema di riferimento semilogaritmico, cioè linearizzazione del logaritmo. Esercizi consigliati: foglio del 06/10/2010.

11.10.10

Angolo elementare, angolo orientato, misura di angoli orientati in gradi e in radianti, funzioni goniometriche (seno, coseno, tangente, cotangente), valori particolari delle funzioni goniometriche, relazioni tra le funzioni goniometriche (angoli complementari, angoli opposti, angoli supplementari), grafici delle funzioni goniometriche, formule di addizione, di sottrazione e di duplicazione, funzioni inverse delle funzioni goniometriche (arcoseno, arcocoseno, arcotangente).

12.10.10

Cenno ad altre formule trigoniometriche( formule di bisezione), coordinate polari, conversione da coordinate polari a coordinate cartesiane e viceversa, coordinate sferiche (o coordinate polari nello spazio), rotazione del piano. Limiti di successioni numeriche, esempi, fattoriale.

13.10.10

Intorno simmetrico (o circolare) di un numero reale, unicità del limite, esempi per limiti di successioni numeriche reali, successioni divergenti positivamente/negativamente, successioni indeterminate, successioni o progressioni aritmetiche e geometriche, media aritmetica, media geometrica e media armonica, esempi, definizione di serie e di somma di serie convergente, serie geometrica, applicazione: conversione della parte frazionaria di un numero decimale in un numero binario. Esercizi consigliati: foglio del 13/10/2010.
Curiosità: Perché la serie armonica si chiama “armonica”?

18.10.10

Condizione necessaria per la convergenza di una serie, la serie armonica è divergente. Le successioni (1 + 1/n)^n e 1 + 1/1! + 1/2! + ... + 1/n! sono convergenti e hanno lo stesso limite e = 2,718 ..., il numero di Nepero o di Eulero. Limiti di funzioni numeriche reali, limite destro (o sinistro), limite di una funzione di una variabile reale x per x tendente all'infinito (o all'infinito negativo), funzioni divergenti positivamente (o negativamente), teorema sul legame del limite di una funzione numerica reale con i limiti di successioni, primi esempi, per approfondire si veda il sito “Chi ha paura della matematica?”.
Curiosità: La successione di Fibonacci e la sezione aurea.

19.10.10

Esempi di limiti di funzioni numeriche: discussione del tasso di crescita della successione di Fibonacci, limite di (sen x)/x per x tendente a zero e altri limiti “notevoli”. Definizione di funzione numerica reale continua in un punto e in un intervallo, esempi di funzioni continue (in particolare funzioni polinomiali, funzioni esponenziali,sen x, cos x) e di funzioni con punti di discontinuità, loro grafici, discontinuità eliminabile (o di terza specie): si propone un test. Continuità di somma, prodotto e quoziente (con denominatore diverso da zero) di funzioni continue, continuità della composta di funzioni continue.

20.10.10

Teorema di Weierstrass, teorema dei valori intermedi di Bolzano. Definizione di derivata e di differenziale di una funzione numerica reale. Interpretazione geometrica (retta tangente) e cinematica (velocità) della derivata, equazione della retta tangente al grafico di una funzione derivabile. La derivabilità di una funzione numerica reale implica la sua continuità. Derivate di funzioni polinomiali. Richiami sulle potenze di un binomio (formula di Newton) e i coefficienti binomiali. Esercizi consigliati: foglio del 20/10/2010.

25.10.10

Derivate di funzioni elementari (funzioni polinomiali, funzioni logaritmiche, funzioni goniometriche), esempio di una funzione continua ma non derivabile, punto angoloso, applicazione del differenziale alla stima di un errore assoluto, in particolare l'esempio della funzione log(x) che trasforma l'errore relativo su x nell'errore assoluto su log(x). Regole di derivazione ed esempi: derivata di una somma, di un prodotto e di un quoziente di funzioni derivabili, esempi, derivata dell'inversa di una funzione derivabile, esempio delle funzioni logaritmo ed esponenziale.

26.10.10

Derivate di funzioni inverse, in particolare derivate delle funzioni inversi di funzioni goniometriche. Derivazione di funzioni composte, esempi, in particolare moto circolare uniforme, cioè moto circolare con velocità angolare (frequenza angolare) costante, vettori velocità e accelerazione. Derivate e differenziali di ordine superiore. Teoremi sulle funzioni derivabili: teorema di Rolle (Michel Rolle, 1652-1719), teorema del valor medio (o di Joseph Lagrange, 1736-1813).

27.10.10

Applicazione del teorema di Lagrange: monotonia di una funzione derivabile in un intervallo e segno della sua derivata in tale intervallo. Teorema generalizzato della media (o di Cauchy), interpretazione geometrica. Teoremi di Bernoulli-l'Hospital ( J. Bernoulli, 1667-1748, Marquis de l'Hospital, 1661-1704). Esempi per limiti nelle varie forme indeterminate. Esercizi consigliati: foglio del 27/10/2010.

02.11.10

Esercizi sui seguenti argomenti: somma parziale di una serie geometrica, somma di una serie geometrica, serie “telescopiche”, manipolazione di sommatorie, logaritmo, scala del pH, differenziale, errore assoluto ed errore relativo, propagazione degli errori massimi mediante l'uso del differenziale, potenze di un binomio e coefficienti binomiali.

05.11.10

Prova in itinere: foglio del 05/11/2010.

08.11.10

Esempi di limiti in forma indeterminata di potenze, regola di de l'Hospital. Teorema di Taylor, resto nella forma di Lagrange, polinomi di Taylor come approssimazioni locali della funzione, serie di Taylor e serie di Maclaurin, sviluppo in serie di Taylor della funzione esponenziale (con lo studio del resto di Lagrange) e della funzione seno.

09.11.10

Sviluppo in serie di Taylor delle funzioni coseno e logaritmo naturale. Cenno sul raggio di convergenza di una serie di potenze, formula di Cauchy-Hadamard. Applicazione del calcolo differenziale allo studio di funzione: condizione necessaria per l'esistenza di massimi e minimi relativi interni (teorema di Fermat sui punti stazionari, da non confondere con l'ultimo teorema di Fermat e con il piccolo teorema di Fermat) e condizioni sufficienti, funzioni convesse e concave in un intervallo, esempio di studio di funzione: equazione di van Deemter (pagine 5-6 del documento linkato) in gascromatografia.

10.11.10

Funzioni convesse e concave in un intervallo, relazione tra la convessità di una funzione e la monotonia della sua derivata, relazione tra la convessità e il segno della derivata seconda. Punto di flesso ascendente e discendente, condizione necessaria e condizioni sufficienti per l'esistenza di un punto di flesso usando la derivata seconda e derivate di ordine superiore della funzione. Asintoti per il grafico di una funzione reale. Esempi di studio di funzione, in particolare funzione logistica di crescita (P. F. Verhulst). Esercizi consigliati: foglio del 10/11/2010.

15.11.10

Numeri complessi, definizione e operazioni aritmetiche, esempi, piano dei numeri complessi o piano di Wessel - Argand - Gauss, vettori nel piano (cenno), numero complesso coniugato, valore assoluto o modulo di un numero complesso. Numeri complessi in forma polare o trigonometrica, interpretazione geometrica della loro moltiplicazione (trasformazioni di similitudine del piano), formula di De Moivre, radici, esempi, in particolare radici dell'unità. Funzione esponenziale complessa, formula di Eulero.

16.11.10

Teorema fondamentale dell'algebra, le radici di un polinomio a coefficienti reali sono complesse coniugate, gli autovalori di una matrice simmetrica reale o di una matrice hermitiana sono reali. Formula di Eulero e formule di addizione per le funzioni goniometriche, cenno alle trasformate di Fourier ( J. Fourier, 1768-1830). Introduzione al calcolo integrale: problema della funzione primitiva e problema della misura, teorema fondamentale del calcolo integrale.

17.11.10

Integrale indefinito (funzione primitiva, antiderivata), campo di direzioni (si veda anche il seguente applet). Integrale indefinito, primitive di funzioni elementari. Regole di integrazione ed esempi, in particolare integrazione per parti, integrazione per sostituzione, formula della sostituzione lineare. Esercizi consigliati: foglio del 17/11/2010.

22.11.10

Integrazione per sostituzione, esempi. Alcuni integrali che non possono essere espressi per mezzo di combinazioni finite delle cosiddette "funzioni elementari": funzione gaussiana, esponenziale integrale, seno integrale, coseno integrale, integrali ellittici. Integrazione di funzioni razionali fratte mediante la loro decomposizione in frazioni semplici, esempio.

23.11.10

Rappresentazione parametrica razionale della circonferenza, integrazione di funzioni razionali nelle funzioni trigonometriche, esempi. Integrale definito (secondo Riemann, 1826 - 1866): definizione tramite le somme intermedie di Riemann. Classi di funzioni integrabili. Teorema fondamentale del calcolo integrale e idea della sua dimostrazione. Curiosità: funzione di Volterra, una funzione definita e derivabile nell'intervallo [0,1] la cui derivata è limitata, ma essa non è integrabile nel senso di Riemann.

24.11.10

Proprietà dell'integrale definito: additività, monotonia (o teorema del confronto) e valore assoluto. Teorema del valor medio integrale. Esempi e applicazioni dell'integrale definito: area del sottografico di una funzione, lavoro per estendere una molla, lavoro di un gas ideale estendente (trasformazione isoterma), lunghezza di un segmento di curva, calcolo di un integrale definito mediante l' integrazione per sostituzione. Esercizi consigliati: foglio del 24/11/2010.

29.11.10

Esercizi sui seguenti argomenti: integrazione per sostituzione di funzioni razionali nelle funzioni goniometriche, radici n-esime di numeri complessi, polinomi e serie di Taylor, resto nella forma di Lagrange. Volume e superficie laterale di un solido di rotazione, richiamo sul calcolo dell'area della superficie di un cono circolare e di un tronco di cono.

30.11.10

Integrali generalizzati o impropri: integrazione su intervalli illimitati, esempi di integrali convergenti e divergenti, legame con la convergenza o divergenza di serie, integrale di Gauss, cenno sugli integrali doppi, elemento d'area in coordinate polari, integrazione con funzione integranda illimitata, esempi. Introduzione alle equazioni differenziali, equazioni differenziali ordinarie, soluzione (o integrale) generale, soluzioni particolari, soluzioni singolari, esempio.

01.12.10

Problema di Cauchy, esempio di un problema di Cauchy che non ha una soluzione unica, esempi di equazioni differenziali a variabili separabili nella cinetica chimica: reazioni del primo ordine, grafici delle concentrazioni in funzione del tempo, grafici semilogaritmici, reazioni del secondo ordine, decomposizione di funzioni razionali fratte in frazioni semplici.

03.12.10

Prova in itinere: foglio del 03/12/2010 e soluzioni.

06.12.10

Equazioni differenziali a variabili separabili e la dinamica delle popolazioni: crescita malthusiana, modello di crescita limitata secondo Verhulst, discussione della soluzione generale e delle curve integrali dell'equazione logistica. Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti, soluzioni generali secondo le radici dell'equazione caratteristica associata nel caso di ordine due.

07.12.10

Esempi di equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti, in particolare oscillatore armonico non smorzato e smorzato (casi di sovrasmorzamento, smorzamento critico e sottosmorzamento), problema di Cauchy per equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti di ordine due. Compilazione delle schede per la valutazione della didattica. Esercizi consigliati: foglio del 07/12/2010.

14.12.10 (4 ore)

Introduzione alle funzioni numeriche reali di più variabili reali, alcuni esempi di funzioni di due variabili, loro grafici e curve di livello, in particolare: piani nello spazio, semisfera, cono, paraboloide ellittico e paraboloide iperbolico. Lettura consigliata: Gianluca Gorni, Introduzione illustrata alle funzioni di due variabili. Limiti e continuità per le funzioni reali di due e più variabili reali, derivate parziali, equazione del piano tangente al grafico di una funzione differenziabile di due variabili, esempi, in particolare esempio di una funzione derivabile parzialmente ma non continua. Incremento di una funzione di due variabili, differenziale totale.

15.12.10

Teorema sull'incremento di una funzione (o teorema del differenziale totale) per funzioni di più variabili, richiamo sul prodotto scalare, gradiente di una funzione rappresenta la direzione del suo massimo incremento, esempi, derivazione delle composte di funzioni di più variabili (regola della catena), derivata direzionale, definizione e calcolo della derivata direzionale come prodotto scalare del gradiente con il versore scelto. Esercizi consigliati: foglio del 15/12/2010.

20.12.10

Derivate parziali di ordine superiore di funzioni di più variabili, teorema di Schwarz ( Hermann Amandus Schwarz) sulle derivate seconde miste, formula di Taylor per funzioni di due e più variabili, matrice hessiana (Otto Hesse). Classificazione dei punti stazionari (o critici) di funzioni reali di due variabili reali: condizione necessaria (annullarsi del gradiente) e condizione sufficiente (usando la matrice hessiana) per l'esistenza di massimi e minimi locali in un punto interno al dominio di una funzione di due variabili, condizione sufficiente per l'esistenza di un punto di sella.

21.12.10

Classificazione dei punti stazionari (o critici) di funzioni reali di due e di più variabili reali, esempi nel caso di due variabili, retta di regressione o dei minimi quadrati, esempio per il calcolo di una derivata direzionale, definizione di un piano mediante un punto e un vettore normale.

22.12.10

Applicazione del differenziale totale alla stima di un errore. Calcolo integrale per funzioni di due variabili: misura (o volume) di un cilindroide, integrale iterato e integrale doppio su un insieme piano limitato con frontiera composta da un numero finito di curve regolari, esempi, trasformazione di coordinate, jacobiano della trasformazione (esempio della trasformazione da coordinate cartesiane a coordinate polari). Esercizi consigliati: foglio del 22/12/2010.

10.01.11

Integrali curvilinei o integrali di linea di una forma differenziale lineare, forma differenziale esatta, campi conservativi, funzione potenziale, forma differenziale chiusa. Discussione di esercizi sul calcolo differenziale di funzioni reali di due o più variabili reali.

11.01.11

Esattezza di forme differenziali lineari chiuse in aperti semplicemente connessi. Esempi di integrali di linea, calcolo della primitiva di un differenziale esatto, scelta di comodi cammini di integrazione per le forme differenziali lineari esatte, l'integrale curvilineo di una forma esatta lungo una curva chiusa è nullo. Discussione di esercizi sul calcolo differenziale di funzioni reali di due o più variabili reali.

12.01.11

Esercizi sui seguenti argomenti: funzioni reali di due variabili reali, gradiente, derivata direzionale, equazione del piano tangente al grafico di una funzione, classificazione dei punti critici di una funzione di due variabili, equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti di ordine due, soluzioni generali secondo le radici dell'equazione caratteristica associata, problema di Cauchy. Esercizi consigliati: foglio del 12/01/2011.

14.01.11

Prova in itinere: foglio del 14/01/2011.

17.01.11

Esempi ed esercizi sugli integrali curvilinei, esempio di una forma differenziale chiusa che non è esatta, differenziali esatti ( funzioni di stato) e non esatti in termodinamica, calcolo del lavoro di una trasformazione reversibile di un gas ideale.

18.01.11

Esercizi sui seguenti argomenti: integrali doppi, passaggio alle coordinate polari, matrice jacobiana, integrazione per sostituzione.

19.01.11

Esercizi sui seguenti argomenti: integrali di linea.

last updated 28th January 2011 Rüdiger Achilles