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Chicken
 
 

CHICKEN'S CORNER

I vostri errori più frequenti.



A cura di M. Ferri

Immagine gentilmente concessa da Movie Comics.

Ringrazio TEAM17 per la gentile concessione del file .wav
e il Chicken Luca Coccini Gailli per l'inserimento.


 


Domande e Chicken-errori.

Domanda: data la matrice A=... (viene data una matrice quadrata), calcolarne il determinante.
Errore: moltiplico gli elementi della diagonale principale.
Risposta corretta: o passo in forma triangolare mediante trasformazioni di linea e poi moltiplico gli elementi della diagonale principale, o uso il teorema di Laplace (magari dopo aver modificato opportunamente la matrice con trasformazioni di linea); extrema ratio, uso la definizione stessa di determinante.
Commento: SuperChicken!!! (Sei raro ma esisti...)

Domanda: data la matrice A=... (viene data una matrice quadrata di ordine maggiore di 3), calcolarne il determinante.
Errore: uso la regola di Sarrus.
Risposta corretta: o passo in forma triangolare mediante trasformazioni di linea e poi moltiplico gli elementi della diagonale principale, o uso il teorema di Laplace (magari dopo aver modificato opportunamente la matrice con trasformazioni di linea); extrema ratio, uso la definizione stessa di determinante.
Commento: La "regola di Sarrus" non è altro che un promemoria della definizione di determinante nello specifico caso dell'ordine 3.

Domanda: Cosa significa che la terna di vettori (u,v,w) sia linearmente indipendente?
Errore: significa che 0*u + 0*v + 0*w = vettore nullo.
Risposta corretta: significa che l'unica combinazione lineare di u, v, w che dà il vettore nullo è 0*u + 0*v + 0*w.
Commento: Chicken di solito non vede differenza fra la sua asserzione e la mia. Eppure, se fosse vera la sua risposta, allora OGNI terna di vettori sarebbe linearmente indipendente, infatti l'uguaglianza 0*u + 0*v + 0*w = vettore nullo è vera per ogni terna. In questi casi è utilissimo concretizzare gli enunciati in uno o più esempi pratici. Per esempio, prendiamo tre segmenti u, v, w (come al solito con un estremo comune N) complanari, perciò linearmente dipendenti. Ma naturalmente 0*u + 0*v + 0*w = segmento nullo. O ancora: u=(1,0,0), v=(0,1,0), w=(1,1,0); linearmente dipendenti (w è combinazione lineare di u e v). Eppure, naturalmente, 0*u + 0*v + 0*w = (0,0,0).
Il punto è che esiste una combinazione lineare di tre segmenti complanari che dà il segmento nullo in cui i coefficienti NON sono nulli (in realtà per la dipendenza lineare basta che uno di loro sia non nullo). Analogamente, (1,0,0), (0,1,0), (1,1,0) sono linearmente dipendenti, perché, oltre alla combinazione lineare "scema" 0*(1,0,0) + 0*(0,1,0) + 0*(1,1,0), a fornire il vettore nullo (0,0,0) c'è anche, per esempio, la combinazione lineare 1*(1,0,0) + 1*(0,1,0) -1*(1,1,0) a scalari non nulli (qui sono tutti non nulli, ma basta che ce ne sia uno non nullo).
Invece tre segmenti NON complanari sono linearmente indipendenti perché l'UNICO modo per ottenere il segmento nullo come loro combinazione lineare è con coefficienti tutti e tre uguali a 0. (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) sono linearmente indipendenti perché se si vuole ottenere (0,0,0) come loro combinazione lineare, l'UNICA possibilità e a scalari tutti e tre nulli.

Domanda: Qual è l'insieme delle soluzioni dell'equazione (in x, y, z) x-3z=0
Errore: {(3a,0,a) | a in R}.
Risposta corretta: {(3a,b,a) | a,b in R}.
Commento: Chicken crede che, se y non compare nell'equazione, sia nullo. Invece la mancanza di y (o meglio: il fatto che il suo coefficiente sia zero) significa che y può assumere qualsiasi valore, indipendentemente dagli altri parametri.

Domanda: dato un sistema lineare di m equazioni in n incognite, possibile, di rango r, come se ne trovano le soluzioni?
Errore: si fissano le prime r equazioni, si tengono le prime r incognite come tali, si trasformano le rimanenti n-r incognite in altrettanti parametri, poi si risolve in funzione dei parametri stessi.
Risposta esatta: prima di tutto si isola un minore M della matrice incompleta, di ordine r, a determinante diverso da zero (i cui orlati avranno tutti determinante nullo). Si fissano le equazioni corrispondenti alle righe utilizzate per estrarre M (cioè si eliminano le altre), si tengono come incognite quelle corrispondenti alle colonne utilizzate per estrarre M, si trasformano le altre n-r incognite in altrettanti parametri indipendenti, ed infine si risolve il sistema (ora di Cramer) in funzione di tali parametri.
Alternativamente, si può usare il metodo di Gauss.
Commento: Chicken rischia di trovarsi con un sistema che non è in grado di risolvere, perché non di Cramer.

Domanda: dato il sottospazio vettoriale U di R^n rappresentato in forma cartesiana da un sistema di m equazioni lineari omogenee in n incognite, di rango h, qual è la sua dimensione?
Errore: la dimensione di U è m. Anzi no, è h.
Risposta esatta: dimU = n-h.
Commento: questo errore è molto comune. Chicken non si rende conto che ogni equazione è un vincolo, quindi se aggiungo un'equazione, che non sia combinazione lineare delle precedenti, diminuisco di 1 la dimensione dello spazio delle soluzioni. Si vedano anche il punto precedente e soprattutto questa FAQ.

Domanda: Come si definisce un autovalore di un endomorfismo?
Errore: si definisce autovalore una radice del polinomio caratteristico.
Risposta corretta: autovalore di un endomorfismo T è un numero a tale che il nucleo dell'endomorfismo (a·id-T) sia non banale.
Commento: la definizione di Chicken non va (del tutto) bene perché non si applica in dimensione infinita. Inoltre, la definizione corretta ha il vantaggio di essere molto più aderente all'ambiente: infatti non necessita, come invece quella di Chicken, di una matrice, quindi di una base. Infine: la definizione è (almeno in questo caso) quella che giustifica la nozione stessa: se non ci fosse l'aspetto vettoriale (cioè T(v)=a·v) che ce ne fregherebbe degli autovalori?

Domanda: data la matrice A=... (viene data la matrice), dire quali di questi sono suoi autovettori ... (vengono date alcune n-ple).
Non errore, ma ingenuità: trovo gli autovalori di A, li sostituisco ad a in (a·In-A), risolvo il sistema che ha questa come matrice dei coefficienti, confronto con le n-ple date.
Risposta più saggia: moltiplico ogni n-pla in colonna a destra della matrice A e vedo se viene una n-pla che le sia proporzionale.
Commento: il procedimento di Chicken non è sbagliato (a parte il fatto che non si estende al caso di dimensione infinita). Però è molto più lungo e gravoso. Sarebbe come risolvere un'equazione e confrontare con un numero dato, per vedere se questo numero è una soluzione.

Domanda: data la matrice A=... (viene data una matrice quadrata), trovarne gli autovalori.
Errore: modifico A in una matrice B con operazioni di linea per portarla in forma triangolare o per trasformare qualche elemento di una linea in zero, poi calcolo il polinomio caratteristico det(t·In-B) e ne trovo le radici.
Risposta corretta: PRIMA formo la matrice caratteristica (t·In-A), POI eventualmente la modifico per semplificare il calcolo del suo determinante (cioè il polinomio caratteristico); infine ne calcolo le radici.
Commento: Se modifico A in una comoda B prima di formare la matrice caratteristica, cambio l'endomorfismo, perciò cambio gli autovalori. Per chiarire il concetto, ogni matrice si può portare in forma triangolare; se fosse possibile il procedimento di Chicken, allora ogni matrice avrebbe autovalori, mentre sappiamo che non è sempre così. Vedi anche questa FAQ.


COMPLEMENTI DI GEOMETRIA

Domanda: come si definisce il centro di una quadrica (non specializzata)?
Errore: il centro si definisce come l'intersezione di tutti gli iperpiani diametrali (o di tutti i diametri).
Risposta corretta: il centro si definisce come il polo dell'iperpiano improprio.
Commento: come tutte le condizioni necessarie e sufficienti, quella di Chicken potrebbe benissimo essere assunta come definizione. Però allora si dovrebbe, prima, dimostrare che tutti gli iperpiani diametrali s'incontrano effettivamente in un punto; quindi si torna fatalmente alla definizione "vera".

Domanda: Come si definisce un iperpiano diametrale di un'iperquadrica?
Errore: un iperpiano diametrale è un iperpiano proprio, polare di un punto improprio dell'iperquadrica.
Risposta corretta: un iperpiano diametrale è un iperpiano proprio, polare di un punto improprio (qualsiasi).
Commento: secondo la definizione di Chicken un'ellisse non avrebbe diametri (e quindi neanche assi)! Neanche una parabola ne avrebbe, perché la retta polare del suo unico punto improprio è la retta impropria. Un'iperbole avrebbe come unici diametri i suoi asintoti. Invece gli iperpiani diametrali formano un'intera stella. Questo è particolarmente interessante perché ogni iperpiano diametrale è iperpiano di simmetria dell'immagine dell'iperquadrica rispetto alla direzione coniugata: ogni immagine di iperquadrica non specializzata ha quindi infiniti iperpiani di simmetria (ortogonale quando l'iperpiano è principale).

Domanda: Come si definisce un piano tangente ad una quadrica?
Errore: un piano tangente ad una quadrica Q è un piano che ha in comune con Q un solo punto.
Risposta corretta: dato un punto Y di Q-W(Q), sia S l'insieme dei punti X tali che la retta XY sia tangente a Q; un teorema garantisce che S è un piano, anzi il piano polare di Y rispetto a Q; esso si definisce piano tangente a Q in Y.
Commento: Chicken estende, sbagliando, una parte della definizione di retta tangente (valida in ogni dimensione). Per i piani, e più in generale per gli iperpiani in dimensione da 3 in su, le cose sono ben più complicate. Infatti un piano tangente ad una quadrica iperbolica (pensate pure al cesto della pallacanestro) la sega in due belle rette passanti per il punto di tangenza: le due generatrici passanti per il punto. Questo errore di Cicken va assieme ad un altro: la sua convinzione (errata) che l'intersezione di un generico piano con una quadrica sia costituita da due punti (invece si tratta di una conica). Nota: una definizione accettabile e più stringata di quella data sopra è: "piano tangente a Q in un punto Y di Q-W(Q) è l'unione delle rette tangenti a Q in Y, che risulta appunto essere un piano".


Altri Chicken-errori.

Chicken crede che l'equazione (x-5)^2-(x-6)=0 abbia soluzioni 5 e 6.

Chicken crede che (3,7) sia una soluzione dell'equazione 3x+7y=0.

Chicken crede che (au+bv) e (au, bv) siano la stessa cosa.

Chicken non sa valutare p(42) quando p(x) è la funzione costante 1.

Per quante volte a lezione sia stata ripetuta la "ricetta" per costruire la matrice associata a una trasformazione lineare, Chicken si rifiuta d'impararla.

Chicken cerca di calcolare il determinante di una matrice non quadrata.

Chicken scrive prodotti impossibili di matrici (matrici non conformabili).

Chicken magari sa calcolare un prodotto di matrici, ma non sa scrivere la formula che lo definisce.

Chicken crede che, con la matrice incompleta di un sistema di rango 3, la completa possa avere rango 5. Superchicken crede che possa avere rango 2!

Chicken crede che un'equazione algebrica di grado 3 possa avere due radici di molteplicità 2 e una di molteplicità 1. (A lezione non seguiva, perché "i polinomi li sa già".)

Chicken parla di "base canonica" anche quando lo spazio vettoriale in questione non è standard. (La base canonica - o naturale - esiste solo in K^n, ed è formata dalle n-ple costituite da un "1" e n-1 "0".)

Chicken si chiede spesso quanto valga la dimensione di un dato sottospazio, ma non sa (e non si cura di sapere) cosa sia la dimensione. (E lo stesso vale per tanti altri concetti: autovalori, parallelismo, ecc. ecc.).

Non si deve credere che Chicken sia pigro: infatti fa molti calcoli inutili. Per esempio, si metterà a calcolare con solerzia la molteplicità geometrica di un autovalore anche se questo ha molteplicità algebrica uguale ad uno. Due casi: forse non conosce il teorema per cui la molteplicità geometrica è compresa fra 1 e la molteplicità algebrica; oppure lo conosce, ma crede che la matematica sia una forma di espiazione e reputa immorale usare un teorema per risparmiare calcoli.

Altro esempio: date a Chicken quattro terne di numeri reali e chiedetegli se sono linearmente dipendenti o indipendenti: lui imposterà un sistema lineare e si metterà a lavorarci sopra con l'espressione di chi è stato condannato a lavori pesanti. Non pensa a quel teorema che dice "In uno spazio vettoriale n-dimensionale, la massima cardinalità di un insieme linearmente indipendente è n".

Subito dopo aver spiegato a Chicken la faccenda delle quattro terne che sicuramente sono linearmente dipendenti, date a Chicken tre quaterne. Lui sfodererà un sorriso furbo e dirà subito "Linearmente indipendenti!". Non si accorge di aver rovesciato un'implicazione.

Il rovesciamento di un'implicazione è uno dei difetti più cari a Chicken. Lui, poi, non ci vede niente di male anche se glielo fai notare. Trova assolutamente equivalenti le asserzioni "Se due matrici sono simili, allora hanno lo stesso determinante" e "Se due matrici hanno lo stesso determinante allora sono simili". Per spiegarlo occorre arrivare a "Se X è una donna, allora è un essere umano. Tu sei un essere umano?" "Sì" "Ciò implica che tu sia una donna?" (pausa) "Ahhh!" (Sostituire 'una donna' con 'un uomo' se Chicken è femmina).

Quando Chicken calcola un polinomio caratteristico, magari (per magnanimità del prof) viene in modo naturale una scomposizione in fattori, per esempio (t-4)(t^2-5t+6); ma allora Chicken, invece di notare la radice 4 e risolvere una semplice equazione di secondo grado, moltiplica tutto, ottenendo t^3 - 9t^2 +26t - 24. A questo punto Chicken (che naturalmente pensa che teorema e regola di Ruffini siano vecchi fastidi e non strumenti utili) va dal prof a lamentarsi perché lui non è tenuto a saper risolvere le equazioni di terzo grado.

Chicken non si accorge che, se solo sapesse valutare la dimensione dell'oggetto che ha davanti (per esempio in una rappresentazione cartesiana), eliminerebbe un'enorme quantità di errori. In particolare Chicken - soprattutto se proviene dal Liceo Scientifico - davanti al sistema lineare che rappresenta una retta in uno spazio 3-dimensionale pensa di dover senz'altro andare avanti e ne tira fuori un'equazione sola. Non si rende conto che così sta invece trattando un piano (che passa per la retta in questione).

Per quanto detto sopra, Chicken usa tabelle, prese da esercizî già risolti, che riguardano piani in uno spazio 3-dimensionale, anche quando l'esercizio assegnato concerne rette in un piano o iperpiani di uno spazio 4-dimensionale. Naturalmente tutte le risposte risultano sballate di una dimensione (con effetti amaramente comici).

Analogamente, Chicken usa tabelle riguardanti quadriche (in uno spazio 3-dimensionale) per classificare coniche di un piano.


Infine, qualche Chicken-vizio.

Chicken si crede furbo tagliando via gli esempi dalla sua preparazione. Poi si lamenta perché trova la materia campata in aria. :-(

Chicken non si degna di studiare (e capire) qualcosa di banale, elementare come il concetto di componenti rispetto a una base ordinata.

Chicken ritiene un'inutile pignoleria usare i termini corretti, perciò parla di cose inesistenti come la "dimensione di una base".

Chicken non nota che, se un teorema ha un nome, forse è importante e ha delle conseguenze.

Quando studia un teorema, Chicken non si chiede: "Dove diavolo viene applicato nel resto del corso?".

Chicken non distingue bene fra "se" e "se e solo se".

Chicken si vergogna delle sue ingenuità e non le mette a nudo in un ricevimento studenti. Invece dovrebbe capire che il suo prof è stato e forse è tuttora (in altri ambiti matematici, si spera) Chicken come lui e può capirlo ed aiutarlo.

Oppure ...

Chicken non tiene conto del Chicken's Corner, perché non crede di essere capace di simili sciocchezze.


Dài, Chicken, rilàssati con i tuoi amici :-)