Ricorrenza quantitativa, tempi di attesa e dimensione.

Il famoso teorema di ricorrenza di Poincaré ci dice che in un sistema dinamico che ha una certa misura invariante quasi tutte le orbite tornano infinite volte vicino al loro punto di partenza. Questo risultato non dice quanto tempo ci vuole. La domanda che sorge spontanea è: se voglio tornare a distanza minore di r dal punto di partenza quante iterazioni devo aspettare? I risultati di ricorrenza quantitativa rispondono a questo tipo di domande. Si scopre, ad esempio, che il tempo di ritorno dipende, nei sistemi con veloce decadimento delle correlazioni, dalla dimensione locale della misura invariante nel punto di partenza dell'orbita. Mentre per alcuni sistemi con decadimento lento ciò non avviene. Un problema simile è quello dei tempi di attesa: in un sistema ergodico, quanto tempo ci vuole perché l'orbita che parte da x arrivi "vicino" a y? Anche qui la risposta dipende dalla dimensione locale nei sistemi con veloce decadimento delle correlazioni. Questo tipo di osservazioni permette, ad esempio, di stimare numericamente la dimensione locale di un attrattore utilizzando i tempi definiti sopra. Nel seminario racconterò, senza entrare troppo in dettagli tecnici, questo tipo di questioni e qualche risultato recente che si applica su sistemi con misura invariante infinita.