Lo scopo del corso è di fornire un'introduzione, il più possibile accessibile a tutti, ai settori della topologia in dimensione bassa e delle geometria topologica, con particolare interesse allo studio delle strutture iperboliche sulle varietà. La prima parte del corso riguarderà i teoremi classici di decomposizione e geometrizzazione delle superfici e delle 3-varietà. Successivamente ci concentreremo sulla costruzione delle varietà iperboliche per mezzo di incollamenti di poliedri e chirurgie. Infine accenneremo ad alcuni risultati recenti e ai problemi aperti riguardanti le varietà iperboliche di dimensione 4.