Il seminario affronterà il tema del continuo e dei numeri reali da un punto di vista storico in una prospettiva didattica. La storia della matematica ci mostra molte evoluzioni nelle immagini del continuo, grandi dibattiti che hanno accompagnato i cambi di prospettiva sul tema dell'infinitamente piccolo e sulla relazione tra numeri e oggetti della geometria. In questa lunga storia le costruzioni o assiomatizzazioni dei numeri reali non costituiscono un punto di arrivo ma costituiscono una risposta a problemi di natura più epistemologica che "tecnica", in un particolare periodo storico. Parlare di numeri reali nella scuola secondaria viene considerato indispensabile, ma spesso i problemi posti agli studenti e le definizioni dei libri di testo non generano apprendimento e le concezioni su punti di accumulazione, numeri irrazionali, completezza e continuità, densità sono inesatte o poco significative, con conseguenze sull'appredimento della matematica a livello formale. Una ricerca condotta con insegnanti in servizio di scuola secondaria, ha fatto emergere alcune convinzioni e alcune scelte ricorrenti che possono far riflettere sulle difficoltà e prospettare percorsi formativi per insegnanti e studenti in cui, al contrario, la complessità del tema diventi occasione per comprendere aspetti fondazionali rilevanti per l'apprendimento della matematica e il passaggio dalla scuola secondaria all'università.