La pseudo-distanza naturale è una misura di dissomiglianza tra funzioni continue a valori reali definite su uno spazio topologico compatto X, rispetto a un gruppo G di omeomorfismi da X in X. Nel caso che G sia compatto questa pseudo-metrica rappresenta il minimo costo necessario per trasformare una funzione nell'altra tramite la composizione con omeomorfismi appartenenti al gruppo scelto. In questo seminario esaminiamo la pseudo-distanza naturale tra funzioni di Morse definite su S^1 quando G è il gruppo di Lie S^1. Poniamo la nostra attenzione sull'insieme degli omeomorfismi ottimali, cioè quegli omeomorfismi da S^1 a S^1 che trasformano una nell'altra mediante composizione a destra le due funzioni considerate, con un costo di trasformazione misurato dalla norma del sup e pari al valore della pseudo-distanza naturale tra le suddette funzioni. ​