Questa presentazione ha l’obiettivo di presentare un lavoro di ricerca a metà strada tra la logica e l’algebra, due aree della matematica dove trovare spiragli per sfornare nuovi risultati è una sifda ardua, lontano dall’essere una pratica di tutti i giorni. Più precisamente esploreremo il concetto di “definibilità del primo ordine”, cioè dell’esistenza di una formula del primo ordine capace di descrivere un sottinsieme o una sottostruttura di una struttura data in un linguaggio fissato (nel nostro caso la teoria degli anelli) come l’insieme degli elementi per cui la formula è vera. È risaputo, in questo senso, che l’anello degli interi è definibile in Q (Robinson, 1949), non è definibile in R (Poonen, 2008) ma è definibile in R[x] (Robinson, 1951, Shlapentokh, 1990) quando R è un dominio di integrità. Il nuovo risultato che presenteremo permette di definire gli interi razionali (immagine del morfismo unitale) dentro R[x], per tutti gli anelli R in una classe più ampia di quella dei domini, quella degli anelli ridotti e indecomponibili, estendendo così il risultato già noto. Una tecnica per definire gli interi, che sarà presentata, consiste nell’utilizzo strategico dell’elemento x per definire l’insieme delle sue potenze e da esse “estrarre gli esponenti” mediante un artificio logico. Ma il lavoro più grande e innovativo consisterà nell’eliminare la necessità di valersi di un simbolo specifico (costante del linguaggio) per nominare tale elemento, mediante una quantificazione su un insieme definibile di elementi con le sue stesse proprietà. La dimostrazione, che sarà un’opportunità per mostrare alcune tecniche di costruzione di formule nell’interfaccia tra logica ed algebra, sarà basata su tre risultati fondamentali, di natura algebrica e logica. Dal punto di vista algebrico, proveremo che nella classe di anelli considerata, x é un elemento irriducibile e i polinomi che sono costanti come funzioni sono anche costanti come polinomi. In logica, troveremo un modo di scrivere, nel primo ordine, che “due potenze di basi distinte hanno lo stesso esponente” e, data l’impossibilità di definire con una formula finita il concetto di potenza, definiremo un concetto molto simile (“potenza logica” o “multiplo puro”) che per una certa classe di elementi, sufficiente al nostro scopo, coinciderà col concetto di potenza.