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Seminario del 2019
2019
22 marzo
Pietro Rigo
Seminario di probabilità
Let $\mathcal{P}$ be the collection of Borel probability measures on $\mathbb{R}$, equipped with the weak* topology, and let $\mu:[0,1]\rightarrow\mathcal{P}$ be a continuous map. Say that $\mu$ is presentable if $X_t\sim\mu_t$, $t\in [0,1]$, for some real process $X$ with continuous paths. It may be that $\mu$ fails to be presentable. Conditions for presentability are given in this note. For instance, $\mu$ is presentable if $\mu_t$ is supported by an interval for all but countably many $t$. In addition, assuming $\mu$ presentable, we investigate whether there is a continuous process $X$ with the same finite dimensional distributions as the quantile process $Q$ induced by $\mu$. The latter is defined, on the probability space $((0,1),\mathcal{B}(0,1),\,$Lebesgue measure$)$, by
\begin{gather*}
Q_t(\alpha)=\inf\,\bigl\{x\in\mathbb{R}:\mu_t(-\infty,x]\ge\alpha\bigl\}\quad\quad\text{for all }t\in [0,1]\text{ and }\alpha\in (0,1).
\end{gather*}
Various open problems are stated as well.