Nella prima parte del seminario parlerò di varie disuguaglianze geometriche di tipo isoperimetrico. Partendo dalla disuguaglianza isoperimetrica classica (quella che ci dice perché le bolle di sapone all'equilibrio devono essere sferiche), menzionerò alcune sue controparti funzionali e come si possono sfruttare per dimostrare disuguaglianze (di nuovo) geometriche ma definite tramite EDP. Nella seconda parte del seminario ci concentreremo su una delle svariate evoluzioni delle disuguaglianze di riarrangiamento: lo studio della loro rigidità quantitativa. Oltre a spiegare questo concetto, e citare alcuni dei casi più celebri risolti recentemente, vedremo alcune applicazioni (ancor più recenti) di tali risultati.