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Seminario del 2021
2021
11 febbraio
Misha Bialy (Tel Aviv University, Israel)
nell'ambito della serie: DINAMICI: ANOTHER INTERNET SEMINAR
Seminario di sistemi dinamici
In this talk I shall discuss Birkhoff-Poritsky conjecture for centrally-symmetric C^2-smooth convex planar billiards. We assume that the domain A between the invariant curve of 4-periodic orbits and the boundary of the phase cylinder is foliated by C^0-invariant curves. Under this assumption we prove that the billiard curve is an ellipse. Other versions of Birkhoff-Poritsky conjecture follow from this result. For the original Birkhoff-Poritsky formulation we show that if a neighborhood of the boundary of billiard domain has a C^1-smooth foliation by convex caustics of rotation numbers in the interval (0; 1/4] then the boundary curve is an ellipse. The main ingredients of the proof are:
(1) the non-standard generating function for convex billiards;
(2) the remarkable structure of the invariant curve consisting of 4-periodic orbits; and
(3) the integral-geometry approach initiated by the author for rigidity results of circular billiards.
Surprisingly, we establish a Hopf-type rigidity for billiards in the ellipse. Based on joint work with Andrey E. Mironov (Novosibirsk).