Il volume simpliciale è un invariante per varietà compatte introdotto da Gromov nel 1982. Pur essendo definito solo utilizzando l'omologia singolare, è strettamente correlato alle strutture geometriche che una varietà può supportare: ad esempio, si annulla su varietà che ammettano metriche con curvatura di Ricci non negativa, ed è positivo per varietà di curvatura negativa. In questo seminario confronteremo il volume simpliciale con alcuni invarianti ad esso correlati, come il minimo numero di simplessi in una triangolazione, o il minimo numero di simplessi singolari in un rappresentante della classe fondamentale a coefficienti interi. A tale scopo, introdurremo un nuovo invariante, chiamato "Filling volume", definito sul mapping class group di varietà. Lavoro in collaborazione con Federica Bertolotti.