Dopo aver introdotto le nozioni di base dei sistemi non olonomi e della teoria del controllo, presentiamo alcuni risultati sulle connessioni tra controllo ottimo e le PDE ipoellittiche. Presentiamo poi alcune tecniche per lo studio delle PDE del calore definite su gruppi di Lie, e lo applichiamo a casi concreti: - la trasformata di Fourier non commutativa: questa ci permette di trovare la forma esplicita del kernel per SU(2), SO(3), SL(2), SE(2). Applichiamo la stessa tecnica anche a 2 casi di gruppi nilpotenti 3-step. - il metodo delle variabili autosimilari: troveremo formule asintotiche per tempo grande nel caso dei gruppi di Carnot.