Argomenti trattati a lezione

07.03.17

Introduzione al sistema di computer algebra Singular. I comandi per definire anelli di polinomi (muniti di ordini monomiali), polinomi e ideali generati da polinomi, calcoli di basi di Gröbner, cenno alla visualizzazione di curve e superficie (surf.lib). Introduzione al sistema di computer algebra CoCoA (Computations in Commutative Algebra), comandi per definire anelli di polinomi, ideali e per calcolare basi di Gröbner e resti di divisione, calcolo di S-polinomi.
File di esempi, file della sessione Singular e file della sessione CoCoA.

21.03.17

Risoluzione di sistemi di equazioni polinomiali per calcolare (1) estremi vincolati con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, (2) punti singolari di una curva algebrica piana affine, (3) l'inviluppo di una famiglia di curve algebriche piane affini (esempio) e discussione del luogo singolare dell'inviluppo. Sessione Singular relativa: codice per (1), codice per (2), codice per (3). Il codice Singular e il codice MATLAB/Octave per la visualizzazione della famiglia di curve (famiglia.pdf). Presentazione al computer (file della sessione Singular).

11.04.17

Calcolo dell'inviluppo di una famiglia di curve algebriche piane affini con Singular (file della sessione) e discussione del luogo singolare dell'inviluppo, visualizzazione della famiglia di curve (le circonferenze rosse sono tangenti nei punti singolari; codice MATLAB/Octave). Robot planari con giunti di rotazione e giunti telescopici: spazio dei giunti e spazio delle configurazioni. Esempio di un semplice robot planare con tre giunti di rotazione, formula esplicita che fornisce la posizione della mano in funzione della posizione dei giunti di rotazione.

19.04.17

Problema cinematico diretto, singolarità cinematiche di un robot e loro significato, esempio. Problema cinematico inverso, riformulazione del problema cinematico inverso per un robot planare in un sistema di equazioni polinomiali, soluzione del sistema polinomiale calcolandone una base di Gröbner (file della sessione Singular), esempio per la specializzazione di parametri e basi di Gröbner.

26.04.17

Specializzazione di basi di Gröbner, proposizione ed esempio, cenno alla copertura di Gröbner (Gröbner cover, Montes e Wibmer, 2010, si veda anche Montes, 2013), discussione del robot planare della lezione precedente e ulteriori calcoli (codice Singular per il Gröbner cover e per il robot 1, codice CoCoA), file della sessione Singular. Non è stato fatto: esempio di un robot con tre giunti di rotazione e un giunto telescopico (codice Singular per il robot 2).

02.05.17

Teoria algebrica dei codici, nozioni di base ed esempi introduttivi: messaggi o dati in forma digitale, codice ASCII (American Standard Code for Information Interchange), 7 bit + un ottavo bit per il controllo di parità (pari o dispari), campi finiti come alfabeto delle parole di messaggi o dati, codifica, parole codice, trasmissione e decodifica di dati, codici lineari, codici ciclici, matrice generatrice di un codice lineare e la sua forma standard, codice lineare sistematico, matrice di controllo di parità, sindrome di un parola ricevuta, distanza e peso di Hamming, distanza di Hamming è metrica, dimostrazione della disuguaglianza triangolare.

03.05.17

Codici correttori, significato della distanza minima di un codice per la capacità del codice di poter rilevare e correggere errori, decodifica basata sulla minima distanza di Hamming (nearest neighbour decoding), Singleton bound, altri esempi di codici: 3-bit CRC (cyclic redundancy check, codici di ridondanza ciclica), polinomio associato a un messaggio, polinomio generatore del codice, divisione con resto di polinomi a coefficienti in F₂, richiamo sulla struttura additiva e moltiplicativa di un campo finito, gruppo moltiplicativo di un campo finito è ciclico, elemento primitivo, polinomio primitivo, codice di Hamming [7,4,3], rateo di informazione dei codici di Hamming [2^m-1,2^m-1-m,3], discussione della capacità correttiva del codice di Hamming.

08.05.17

Matrice generatrice e matrice di controllo del codice Hamming [7,4,3], codici Hamming [2^m-1,2^m-1-m,3] non sono MDS (maximum distance separable) tranne per m = 2, cenno al codice duale, esempio, esempio di decodifica con la tabella standard e le sindromi, definizione di codice ciclico, caratterizzazione di codici ciclici come ideali (principali) di F_q[x]/(xⁿ-1).

09.05.17

Rilevazione didattica. Caratterizzazione di codici ciclici come ideali (principali) di F_q[x]/(xⁿ-1), dimostrazione, esempi di codici ciclici e controesempio, polinomio generatore e matrice generatrice di un codice ciclico, esempi, definizione di codici ciclici Reed-Solomon.

10.05.17

Esempio di un codice Reed-Solomon di lunghezza 8 e di dimensione 3, matrice generatrice e polinomio generatore, codici di Reed-Solomon sono codici MDS (maximum distance separable), caratterizzazione della ciclicità attraverso il numero degli zeri comuni delle parole codice, polinomio generatore in forma fattorizzata.

16.05.17

Codici ciclici multidimensionali, loro codifica sistematica usando il calcolo del resto rispetto ad una base di Gröbner dell'ideale che definisce il codice, esempio di un codice ciclico 2-dimensionale con 7 posizioni di informazione e 2 posizioni di controllo, sessione Singular, algoritmo per la decodifica di codici Reed-Solomon, polinomio errore, polinomio sindrome, polinomio di locazione degli errori, formula di Forney per trovare i valori degli errori.

17.05.17

Equazione chiave della decodifica, determinazione del polinomio di locazione degli errori e dei valori degli errori mediante il calcolo della base di Gröbner del modulo delle soluzioni dell'equazione chiave della decodifica di un codice Reed-Solomon, esempio di un codice Reed-Solomon di lunghezza 8 e di dimensione 4, file della sessione Singular.

last updated 17th May 2017 Rüdiger Achilles