Argomenti trattati a lezione

07.03.18

Introduzione al sistema di computer algebra Singular. I comandi per definire anelli di polinomi (muniti di ordini monomiali), polinomi e ideali generati da polinomi, calcoli di basi di Gröbner e di ideali di eliminazione, cenno alla visualizzazione di curve e superficie (surf.lib). Introduzione al sistema di computer algebra CoCoA (Computations in Commutative Algebra), comandi per definire anelli di polinomi, ideali e per calcolare basi di Gröbner, resti di divisione, S-polinomi.
File di esempi, file della sessione Singular e file della sessione CoCoA.

20.03.18

Risoluzione di sistemi di equazioni polinomiali per calcolare (1) estremi vincolati con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange e (2) punti singolari di una curva algebrica piana affine. Sessioni Singular relative: codice per (1), codice per (2), file della sessione Singular. Molteplicità di intersezione di una retta con una curva algebrica piana affine.

28.03.18

Calcolo dell'inviluppo di una famiglia di curve algebriche piane affini con Singular (codice e file della sessione) e discussione del luogo singolare dell'inviluppo, visualizzazione della famiglia di curve (le circonferenze rosse sono tangenti nei punti singolari; codice MATLAB/Octave, codice Singular). Robot planari con giunti di rotazione e giunti telescopici: spazio dei giunti e spazio delle configurazioni. Esempio di un semplice robot planare con tre giunti di rotazione, formula esplicita che fornisce la posizione della mano in funzione della posizione dei giunti di rotazione.

04.04.18

Problema cinematico diretto, singolarità cinematiche di un robot e loro significato, esempio (vedi anche il video Kinematic Singularity and the Jacobian by Stanford/Oussama Khatib). Problema cinematico inverso, riformulazione del problema cinematico inverso per un robot planare in un sistema di equazioni polinomiali, soluzione del sistema polinomiale calcolandone una base di Gröbner (file della sessione Singular), esempio per il comportamento di basi di Gröbner di ideali parametrici specializzando i parametri.

11.04.18

Specializzazione di basi di Gröbner, proposizione ed esempio, cenno alla copertura di Gröbner (Gröbner cover, Montes e Wibmer, 2010, si veda anche Montes, 2013), discussione del robot planare della lezione precedente e ulteriori calcoli (codice Singular per il Gröbner cover e per il robot 1, codice CoCoA), file della sessione Singular. (Non fatto: esempio di un robot con tre giunti di rotazione e un giunto telescopico, codice Singular per il robot 2.)

12.04.18

Teoria algebrica dei codici, nozioni di base ed esempi introduttivi: messaggi o dati in forma digitale, campi finiti come alfabeto, codice ASCII (American Standard Code for Information Interchange), 7 bit + un ottavo bit per il controllo di parità (pari o dispari), codifica, parole codice, trasmissione e decodifica di dati, codice lineare e matrice generatrice, codice ciclic e polinomio generatore, matrice generatrice in forma standard, codice lineare sistematico, matrice di controllo di parità, sindrome di un parola ricevuta, distanza e peso di Hamming, distanza di Hamming è metrica, dimostrazione della disuguaglianza triangolare, significato della distanza minima di un codice per la capacità del codice di poter rilevare e correggere errori.

17.04.18

Esempi di codici non lineari, lineari (e matrici generatrici, matrici di controllo parità) e ciclici (e polinomio generatore), loro distanze minime e tassi di informazione: codice ASCII (American Standard Code for Information Interchange) 7 bit + un ottavo bit per il controllo di parità (pari o dispari), codice a ripetizione, codice di Hamming [7,4,3], discussione della capacità correttiva del codice di Hamming, 3-bit CRC (cyclic redundancy check, codici di ridondanza ciclica), divisione con resto di polinomi a coefficienti in F₂, cenno ai registri a scorrimento a retroazione lineare (linear feedback shift register, LFSR).

18.04.18

Calcolo del resto di una divisione di polinomi a coefficienti in F₂ mediante il registro a scorrimento a retroazione lineare associato al denominatore, codici di Hamming [2^m-1,2^m-1-m,3], disuguaglianza di Singleton per la distanza minima, codici MDS (maximum distance separable), decodifica basata sulla minima distanza di Hamming (nearest neighbour decoding), esempio di decodifica con la tabella standard e le sindromi, codici duali.

19.04.18

Definizione di codici di Reed-Solomon (RS), linearità e ciclicità dei codici RS, codici RS sono codici MDS (maximum distance separable), esempio di un codice RS di lunghezza 8 e di dimensione 3, matrice generatrice, richiamo sui campi finiti, rappresentazioni degli elementi di un campo finito, gruppo moltiplicativo degli elementi invertibili, elemento primitivo, polinomio primitivo, numero dei polinomi primitivi, somma delle potenze di un elemento di un campo finito.

24.04.18

Rilevazione didattica. Caratterizzazione della ciclicità di un codice RS attraverso il numero degli zeri comuni delle parole codice, polinomio generatore in forma fattorizzata. Codici ciclici multidimensionali, loro codifica sistematica usando il calcolo del resto rispetto ad una base di Gröbner dell'ideale che definisce il codice, esempio di un codice ciclico 2-dimensionale con 7 posizioni di informazione e 2 posizioni di controllo, sessione Singular.

26.04.18

Algoritmo per la decodifica di codici Reed-Solomon, polinomio errore, polinomio sindrome, polinomio di locazione degli errori, formula di Forney per trovare i valori degli errori, equazione chiave della decodifica, definizione di modulo su un anello, esempi di moduli, moduli liberi, generatori per il sottomodulo delle soluzioni dell'equazione chiave della decodifica.

02.05.18

Determinazione del polinomio di locazione degli errori e dei valori degli errori mediante il calcolo della base di Gröbner del modulo delle soluzioni dell'equazione chiave della decodifica di un codice Reed-Solomon, esempio di un codice Reed-Solomon di lunghezza 8 e di dimensione 4, discussione di una procedura Singular relativa, file della sessione Singular.

last updated 2nd May 2018 Rüdiger Achilles