Argomenti trattati a lezione

09.10.14

Presentazione del corso (programma, modalità dell'esame, esercizi settimanali, tutorato ecc.). Testi consigliati:
M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa : Matematica. Calcolo infinitesimale e algebra lineare. 2a ed., Zanichelli, Bologna, 2004;
per il modulo del prof. Negrini: S. Salsa, A. Squellati, Esercizi di Analisi matematica 1, 2 (due volumi), Zanichelli, Bologna, 2011.
Insiemi numerici: numeri naturali, interi, razionali e reali, numeri reali in notazione scientifica, numeri complessi, definizione e operazioni aritmetiche, piano dei numeri complessi o piano di Wessel-Argand-Gauss, vettori nel piano, vettori geometrici, somma e differenza di vettori, prodotto di un vettore per uno scalare, vettori numerici, addizione di vettori numerici e di numeri complessi, moltiplicazione di numeri complessi.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, p. 3 (insiemi numerici), pp. 35-40 (vettori), pp. 20-22 (numeri complessi).

10.10.14

Complesso coniugato, divisione di numeri complessi, esempio, proprietà del complesso coniugato e del valore assoluto o modulo di un numero complesso, in particolare la disuguaglianza triangolare, radici di un polinomio a coefficienti reali sono complesse coniugate, intorno simmetrico (o circolare) di un numero reale e di un numero complesso, richiamo sulle funzioni trigonometriche e loro funzioni inverse: misura di angoli orientati in gradi e in radianti, funzioni goniometriche (seno, coseno, tangente, cotangente), valori particolari delle funzioni goniometriche, relazioni tra le funzioni goniometriche, grafici delle funzioni goniometriche, funzioni inverse delle funzioni goniometriche e loro grafici (arcoseno, arcocoseno, arcotangente).
Esercizi consigliati: foglio del 11/10/2014.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 11-12 (valore assoluto, disuguaglianza triangolare), pp. 22-25 (coniugato e modulo), pp. 168-172 (funzioni trigonometriche, fenomeni vibratori), pp. 179-181 (funzioni trigonometriche inverse).

16.10.14

Coordinate polari, conversione da coordinate polari a coordinate cartesiane e viceversa, arcotangente2, coordinate sferiche, numeri complessi in forma polare o trigonometrica, rotazione nel piano, formule di addizione, sottrazione e duplicazione per le funzioni seno e coseno.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 471-473 (coordinate polari nel piano e coordinate sferiche nello spazio).

17.10.14

Numeri complessi in forma polare o trigonometrica, interpretazione geometrica della moltiplicazione di numeri complessi (similitudine del piano), esempi (anche usando il software Octave - l'alternativa free a MATLAB; download Octave e pacchetti da Octave-Forge), formula di de Moivre, radici n-esime, in particolare radici dell'unità e poligoni regolari, formule di riduzione della potenza di seno e coseno e radici quadrate, equazioni polinomiali di secondo grado con coefficienti complessi, formula risolutiva (si veda la dispensa, pag. 5), teorema fondamentale dell'algebra (si veda la dispensa, pag. 5), esercizi sull'interpretazione geometrica delle operazioni aritmetiche con i numeri complessi, in particolare la costruzione del reciproco di un numero complesso usando l'inversione circolare.
Esercizi consigliati: foglio del 18/10/2014.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 25-30 (forma trigonometrica, formula di de Moivre, radici n-esime).
Alma Mathematica >Scopri i corsi on line>Modulo Numeri Complessi.

23.10.14

Numero di Nepero o di Eulero = 2,7182818284 ... come limite di (1 + 1/n)ⁿ per n tendente all'infinito e come somma della serie 1/n!, richiamo sulle funzioni esponenziali e logaritmiche reali e loro proprietà, in particolare le formule per il cambiamento di base, sviluppo in serie di Taylor della funzione esponenziale e delle funzioni seno e coseno (senza dimostrazione), formula di Eulero, funzione esponenziale complessa, numeri complessi in forma esponenziale, equazione cartesiana della circonferenza, equazione parametrica della circonferenza nel piano complesso, definizione di spazio vettoriale.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 275-276 (esponenziale complesso, formula di Eulero), pp. 58-60 (spazi vettoriali astratti).

24.10.14

Sottospazi vettoriali (o sottospazi lineari), loro caratterizzazione ed esempi, equazioni cartesiane e parametriche di rette nel piano e di piani nello spazio tridimensionale, span (copertura) lineare o sottospazio generato da una famiglia di vettori, famiglia di vettori linearmente indipendente e linearmente dipendente, esempi, scomposizione di un vettore lungo due direzioni assegnate, base e dimensione di uno spazio vettoriale, esempi, in particolare base canonica di Rⁿ.
Esercizi consigliati: foglio del 25/10/2014.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 57-59 (spazi vettoriali), pp. 41-43, 60-63 (combinazioni lineari di vettori, indipendenza lineare, base e dimensione).

30.10.14

Coordinate (o componenti scalari) di un vettore rispetto ad una base, esempio, equazioni vettoriali parametriche e cartesiane di un piano nello spazio, prodotto scalare, esempio introduttivo (lavoro meccanico in fisica) e definizione per vettori di R² e R³.

31.10.14

Proprietà del prodotto scalare (risp. prodotto hermitiano o interno) in uno spazio vettoriale reale (risp. complesso) e sua definizione assiomatica come forma bilineare (risp. sesquilineare) simmetrica (risp. hermitiana) definita positiva, spazio euclideo (risp. hermitiano o prehilbertiano), prodotto scalare standard di Rⁿ (risp. prodotto hermitiano standard di Cⁿ), proiezione di un vettore su un vettore non nullo, disuguaglianza di Cauchy-Buniakovskii-Schwarz, definizione di norma e norma indotta da un prodotto scalare (risp. hermitiano), vettori normalizzati (versori), definizione di distanza (metrica) e distanza indotta da una norma, disuguaglianza di Cauchy-Buniakovskii-Schwarz, angolo tra due vettori di Rⁿ, vettori ortogonali, vettori ortonormali, basi ortonormali, procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt (J. P. Gram, 1850-1916; E. Schmidt, 1876-1959).
Esercizi consigliati: foglio del 01/11/2014.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 43-44 (prodotto scalre nel piano e nello spazio), pp. 63-65 (prodotto scalare, norma (modulo), disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, distanza), pp. 66-67 (procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt).

06.11.14

Esempio per il procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Trasformazioni lineari e matrici: definizione di funzione, trasformazione, applicazione lineare o omomorfismo, esempi di trasformazioni lineari (funzioni lineari reali di una variabile reale, proiezione dei vettori del piano su un vettore, rotazione del piano) e non esempi (funzioni affini, norma su uno spazio vettoriale reale), nucleo di una trasformazione lineare e trasformazioni iniettive (monomorfismi).

07.11.14

Tipi di trasformazioni lineari o omomorfismi (monomorfismo, epimorfismo, isomorfismo, automorfismo), formula di dimensione (teorema del rango) e trasformazioni biiettive tra spazi vettoriali di dimensione finita, unicità dell'applicazione lineare, cioè le immagini dei vettori di base dello spazio di partenza determinano unicamente la trasformazione, matrice associata ad un'applicazione lineare tra spazi vettoriali di dimensioni finite, definizione di matrice, vettore riga, vettore colonna, algebra delle matrici: uguaglianza, somma, differenza, matrice zero, moltiplicazione di una matrice per uno scalare, prodotto di matrici conformabili e composizione delle trasformazioni lineari definite dalle matrici fattori, matrice identità, proprietà delle operazioni con le matrici (senza dimostrazione) ed esempi, non commutatività del prodotto matriciale, divisori dello zero, matrice invertibile (non singolare) e l'inversa di una matrice invertibile.
Esercizi consigliati: foglio del 08/11/2014.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 71-81 (algebra delle matrici, rotazione nel piano, rappresentazione matriciale delle trasformazioni lineari, matrice della composizione di trasformazioni lineari).

13.11.14

Unicità e calcolo dell'inversa di una matrice invertibile risolvendo sistemi lineari, esempi, rango o caratteristica di una matrice come il massimo numero di colonne della matrice che sono linearmente indipendenti, il rango è uguale al massimo numero di righe linearmente indipendenti (senza dimostrazione), matrici quadrate sono invertibili se e solo se hanno rango massimo, proprietà delle matrici inverse, cenno al gruppo lineare generale, matrice trasposta e sue proprietà, matrice contragrediente di una matrice invertibile, l'insieme delle trasformazioni lineari tra due spazi vettoriali è uno spazio vettoriale, rappresentazione matriciale delle trasformazioni lineari fra spazi vettoriali di dimensione finita, l'insieme delle matrici di formato fissato è uno spazio vettoriale, la corrispondenza tra applicazioni lineari e matrici è un isomorfismo di spazi vettoriali.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, p. 92 (prodotto di matrici invertibili), pp. 89, 101 (rango; la conseguenza del teor. 4.2 è la nostra def.), pp. 78-81 (rappresentazione matriciale delle trasformazioni lineari).

14.11.14

Rappresentazione matriciale della proiezione ortogonale del piano su una retta e della rotazione nel piano, cambiamento di base e cambiamento delle coordinate mediante la matrice contragrediente della matrice di trasformazione dei vettori di base, esempio, sistema di due equazioni lineari in due incognite, sistema lineare in forma matriciale, interpretazione geometrica del sistema per righe e per colonne, regola di Cramer, risoluzione di un sistema di equazioni lineari con l'algoritmo di Gauss-Jordan (C.F. Gauss, 1777-1855; W. Jordan, 1842-1899), esempio di riduzione della matrice completa del sistema a scala per righe.
Esercizi consigliati: foglio del 15/11/2014.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 78-81 (rappresentazione matriciale delle trasformazioni lineari), pp. 109, 110 (cambiamento di base, fino a x^∼ = S^-1x), pp. 94-99 (sistemi lineari, generalità, metodo di Cramer).

20.11.14

Risoluzione di un sistema di equazioni lineari con l'algoritmo di Gauss-Jordan, riduzione della matrice completa del sistema a scala per righe in forma ridotta, esempio di un sistema indeterminato e di un sistema impossibile, teorema di Rouché-Capelli (E. Rouché, 1832-1910; A. Capelli, 1855-1910), vettoriale sistema omogeneo associato e dimensione dello spazio vettoriale delle sue soluzioni (spazio nullo), spazio (affine) delle soluzioni del sistema non omogeneo, soluzioni di un sistema non omogeneo come somma di una soluzione particolare e della soluzione "generale" del sistema omogeneo associato (si veda la dispensa, pag. 24), calcolo dell'inversa di una matrice quadrata invertibile con l'algoritmo di Gauss-Jordan, esempio.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 96-106 (sistemi lineari).

21.11.14

Definizione assiomatica del determinante secondo Weierstrass come funzione lineare, alternante e normalizzata delle righe di una matrice quadrata, esistenza, unicità e proprietà elementari del determinante ed esempi, in particolare: determinante di una matrice triangolare, teorema di Binet (J. Binet, 1786-1856), formula di Leibniz per il determinante (definizione costruttiva), richiamo sulle permutazioni (trasposizioni, inversioni, segno di una permutazione), determinante di matrici quadrate di ordine 2 e 3, regola di Sarrus (P. F. Sarrus, 1798-1861), determinante della trasposta di una matrice, calcolo del determinante mediante lo sviluppo di Laplace, esempio, calcolo della matrice inversa di una matrice quadrata non singolare con il metodo della matrice dei cofattori (o dei complementi algebrici o aggiunti), richiamo sul prodotto vettoriale (o prodotto esterno) di vettori dello spazio tridimensionale, "regola della mano destra", prodotto vettoriale di vettori numerici come determinante "formale", significato geometrico del determinante di ordine due (area con un segno).
Esercizi consigliati: foglio del 22/11/2014.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 81-88 (determinante), pp. 45-46 (prodotto vettoriale).

27.11.14

Prodotto misto, volume di un parallelepipedo, cambiamento di base di spazi vettoriali di dimensione finita e la formula di trasformazione per la matrice rappresentativa di un'applicazione lineare, matrici equivalenti, la matrice "più semplice" fra le matrici equivalenti (matrice in forma canonica), ricerca di basi negli spazi di partenza e di arrivo di una trasformazione lineare per ottenere la sua matrice rappresentativa in forma canonica, formula di trasformazione per la matrice rappresentativa di un endomorfismo, matrici simili, autovettori e autovalori di un endomorfismo.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 47-48 (prodotto misto nello spazio tridimensionale), pp. 87-88 (prodotto vettoriale e prodotto misto, significato geometrico del determinante).

28.11.14

Autovalori e autovettori di un endomorfismo di uno spazio vettoriale e di una matrice quadrata, endomorfismo (e matrice) diagonalizzabile, autospazio relativo a un autovalore, autospazi relativi ad autovalori distinti hanno solo il vettore nullo in comune, autovettori relativi ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti, polinomio caratteristico di una matrice quadrata, esempi per il calcolo di autovalori e autospazi, in particolare esempi di endomorfismi (matrici) diagonalizzabili e non diagonalizzabili, diagonalizzazione di una matrice quadrata e calcolo della matrice di passaggio dalla base canonica alla base formata di autovettori, la dimensione dell'autospazio di un autovalore (ossia la sua molteplicità geometrica) non supera la sua molteplicità algebrica.
Esercizi consigliati: foglio del 29/11/2014.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 109-116 (autovettori ed autovalori, diagonalizzazione).

04.12.14

Polinomio caratteristico di un endomorfismo (invarianza del polinomio caratteristico per similitudine), la molteplicità geometrica di un autovalore non supera la sua molteplicità (dimostrazione), teorema di diagonalizzabilità e conseguenze, matrici reali e simmetriche e matrici hermitiane, esempi, definizione di matrice ortogonale e sue proprietà, matrici ortogonali di ordine due (pag. 2 del documento linkato), definizione di matrice unitaria e sue proprietà, esempi (da finire).

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 115-116 (diagonalizzabilità), pp. 117-118 (proprietà delle matrici ortogonali).

05.12.14

Autovalori di matrici ortogonali o unitarie hanno valore assoluto uno, matrici ortogonali rappresentano rispetto a basi ortonormali endomorfismi che sono isometrie (rotazioni se il determinante è 1 e la composizione di una rotazione e una riflessione se il determinante è -1), cenno al gruppo ortogonale e al gruppo unitario, esempi di matrici hermitiane e di matrici unitarie, in particolare matrici di Pauli, matrice associata a un prodotto scalare rispetto a una base, esempio per il cambiamento della matrice associata ad un prodotto scalare a seguito di un cambio di base, definizione di matrice hermitiana definita positiva, definizione di endomorfismo autoaggiunto di uno spazio euclideo o di uno spazio unitario (detto anche spazio prehilbertiano o spazio hermitiano), sua matrice rappresentativa rispetto ad una base ortonormale è simmetrica o hermitiana rispettivamente, endomorfismi autoaggiunti hanno (sia nel caso reale che complesso) autovalori reali ed autospazi ortogonali, teorema spettrale per endomorfismi autoaggiunti di spazi vettoriali reali o complessi muniti di un prodotto scalare e di dimensione finita, cioè una matrice reale simmetrica o una matrice hermitiana è diagonalizzabile con una matrice di passaggio ortogonale o unitaria.
Esercizi consigliati: foglio del 06/12/2014.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 117-118 (matrici reali simmetriche).

11.12.14

Esempio per la diagonalizzazione di una matrice reale simmetrica con una matrice di passaggio ortogonale, ortogonalizzazione di Gram-Schmidt per costruire una base ortonormale di un autospazio bidimensionale e metodo ad hoc, coefficienti del polinomio caratteristico (con segno alternato) come somme dei minori diagonali (pag. 124 del documento linkato) di ordine fissato, esercitazione sui limiti di funzioni reali.

12.12.14

Esempio per la diagonalizzazione di una matrice reale simmetrica con una matrice di passaggio ortogonale, esempio della diagonalizzazione di una matrice hermitiana mediante una matrice unitaria di passaggio, il determinante di una matrice hermitiana è reale, definizione di matrice normale, matrici reali simmetriche (o matrici hermitiane) e matrici ortogonali (o matrici unitarie) sono normali, esempi di altre matrici normali, definizione di endomorfismo normale, teorema spettrale nel caso finito-dimensionale per endomorfismi normali, matrici normali e endomorfismi autoaggiunti, autovalori e autovettori reali e complessi di rotazioni nel piano, rette isotrope.
Esercizi consigliati: foglio del 13/12/2014.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 117-120 (matrici reali simmetriche, rotazioni dello spazio).

18.12.14

Diagonalizzazione delle matrici ortogonali di ordine due, cioè delle matrici di rotazioni e di riflessioni nel piano, mediante matrici di passaggio unitarie o ortogonali rispettivamente, rotazioni nello spazio (asse della rotazione come autospazio rispetto all'autovalore uno, ricavare l'angolo della rotazione dagli autovalori complessi coniugati o dalla traccia).

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 76-77 (rotazione nel piano), p. 113, Esempio 6.2 (rotazione per 90 gradi), pp. 120-121 (rotazioni nello spazio).

19.12.14

Isometrie nello spazio, determinazione dell'asse di una rotazione e costruzione di una base ortonormale destrorsa di R³ contenente un versore dell'asse, calcolo della matrice di rotazione rispetto a tale base e determinazione dell'angolo di rotazione, diagonalizzazione di una matrice simmetrica reale con una matrice ortogonale di passaggio e interpretazione geometrica (proiezione ortogonale del piano su una retta), formula di Taylor per funzioni di più variabili reali, classificazione dei punti stazionari (o critici) di funzioni di più variabili reali: condizione necessaria (annullarsi del gradiente) e condizione sufficiente (usando la matrice hessiana) per l'esistenza di massimi e minimi locali in un punto interno al dominio di una funzione di più variabili, condizione sufficiente per l'esistenza di un punto di sella.

08.01.15

Richiamo sulla formula di Taylor al secondo ordine per funzioni di n variabili reali, studio della natura dei punti critici mediante la matrice hessiana della funzione nel punto critico che può risultare definita positiva (punto di minimo), definita negativa (punto di massimo), indefinita (punto di sella) o semidefinita ma non definita (non permette una decisione), caratterizzazione delle matrice (reali simmetriche) definite positive mediante la positività degli autovalori o dei minori principali di nord-ovest, esempio di una funzione di tre variabili reali e calcolo dei suoi punti critici.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 439-441 (Formula di Taylor al secondo ordine), pp. 444-450 (Forme quadratiche, segno di una forma quadratica e autovalori, studio della natura dei punti critici), p. 453, Esempio 6.9.

09.01.15

Classificazione dei punti critici di una funzione reale di tre variabili reali usando i minori principali di nord-ovest della matrice hessiana o gli autovalori della matrice hessiana, discussione di esercizi sui numeri complessi e sulle rotazioni nel piano e nello spazio.
Esercizi consigliati: foglio del 10/01/2015.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 448-451 (studio della natura dei punti critici), pp. 76-77 (rotazione nel piano), p. 113, Esempio 6.2 (rotazione per 90 gradi), pp. 120-121 (rotazioni nello spazio).

last updated 9th January 2015 Rüdiger Achilles