Argomenti trattati a lezione
09.03.16
Introduzione al sistema di computer algebra
Singular.
I comandi per definire anelli di polinomi (muniti di
ordini monomiali), polinomi e ideali generati da polinomi,
calcoli di basi di Gröbner,
cenno alla visualizzazione di curve e superficie
(surf.lib).
Introduzione al sistema di computer algebra
CoCoA (Computations in Commutative
Algebra), comandi per definire anelli di polinomi, ideali e per calcolare
basi di Gröbner e resti di divisione, calcolo di S-polinomi.
File di esempi,
file della sessione Singular e
file della sessione CoCoA.
Esercizio:
Calcolate la base di Gröbner dell'ideale generato da
x^3+x^2*z+x*z, x^3+x*y^2+1, x^2+x*y*z+y^3
in Q[x,y,z] rispetto all'ordine lessicografico.
05.04.16
Risoluzione di sistemi di equazioni polinomiali per calcolare
(1) estremi vincolati con il
metodo dei moltiplicatori di Lagrange,
(2) punti singolari di una curva algebrica piana affine,
(3) l'inviluppo di una famiglia di curve algebriche piane affini (esempio) e
il codice Singular relativo (da finire):
codice per (1),
codice per (2),
codice per (3). Il
codice Singular e il
codice MATLAB/Octave per la visualizzazione
di curve e di famiglie di curve.
Presentazione al computer (file della sessione
Singular).
12.04.16
Calcolo dell'inviluppo di una famiglia di curve algebriche piane affini
con Singular e discussione del luogo singolare dell'inviluppo.
Robot planari con giunti di rotazione e giunti telescopici:
spazio dei giunti e spazio delle configurazioni. Esempio di un
semplice robot planare con tre giunti di rotazione, formula esplicita
che fornisce la posizione della mano in funzione della posizione
dei giunti di rotazione.
19.04.16
Problemi cinematici della robotica: problema cinematico diretto,
problema cinematico inverso, singolarità cinematiche di un
robot e loro significato. Calcolo e interpretazione geometrica delle
singolarità cinematiche del robot planare della lezione precedente.
Riformulazione del problema cinematico inverso per tale robot planare
in un sistema di equazioni polinomiali, soluzione del sistema
polinomiale calcolandone una base di Gröbner
(codice Singular),
esempio per la specializzazione di parametri e basi di Gröbner,
cenno alla copertura di Gröbner
(Gröbner cover,
Montes e Wibmer, 2010,
si veda anche Montes, 2013).
26.04.16
Specializzazione di basi di Gröbner, proposizione ed
esempio,
discussione del robot planare della lezione precedente e ulteriori
calcoli (codice Singular,
codice CoCoA),
esempio di un robot con tre giunti di rotazione e un giunto telescopico
(codice Singular).
03.05.16
Teoria algebrica dei codici, esempi introduttivi: messaggi o dati in
forma digitale, codice
ASCII (American Standard Code for Information Interchange),
7 bit + un ottavo bit per il controllo di parità (pari o dispari),
3-bit CRC
(cyclic redundancy check, codici di ridondanza ciclica),
polinomio associato a un messaggio, polinomio generatore del codice,
divisione con resto di polinomi a coefficienti in F2,
codice Hamming [7,4,3], codici correttori, distanza e peso di Hamming.
04.05.16
Codici lineari, campi finiti come alfabeto delle parole di messaggi o dati,
parole codice (formano uno spazio vettoriale nel caso di codico lineari),
codifica, trasmissione e decodifica di dati, matrice generatrice di un
codice lineare e la sua forma standard, codice lineare sistematico,
matrice di controllo di parità,
sindrome di un parola ricevuta, esempi di codici lineari, loro matrici
generatrici e loro matrici di controllo di parità.
10.05.16
Matrice generatrice e matrice di controllo del codice di Hamming [7,4,3],
distanza di Hamming è metrica, dimostrazione della disuguaglianza
triangolare, distanza (minima) di un codice lineare e suo significato
per la capacità di un codice di poter rilevare e correggere
errori,
Singleton bound,
codici Hamming [2^m-1,2^m-1-m,3] non sono codici
MDS (maximum distance separable) tranne per m = 2,
decodifica secondo l'intorno
più vicino, esempio di decodifica con la
tabella standard.
11.05.16
Esempio di decodifica mediante sindrome, definizione di
codice ciclico,
esempi e controesempio, caratterizzazione di codici ciclici come
ideali (principali) di Fq[x]/(xn-1), polinomio
generatore e matrice generatrice di un codice ciclico, esempi,
definizione di
codici ciclici Reed-Solomon, compilazione delle schede della
valutazione della didattica.
17.05.16
Richiamo sui campi finiti, rappresentazioni degli elementi di un campo finito,
gruppo moltiplicativo degli elementi invertibili, elemento primitivo,
polinomio primitivo, esempio di un codice Reed-Solomon di lunghezza 8
e di dimensione 3, matrice generatrice e polinomio generatore,
codici di Reed-Solomon sono codici MDS (maximum distance separable),
caratterizzazione della ciclicità attraverso il numero degli zeri
comuni delle parole codice, polinomio generatore in forma fattorizzata.
18.05.16
Codici ciclici m-dimensionali, loro codifica sistematica usando il
calcolo del resto rispetto ad base di Gröbner dell'ideale che
definisce il codice, esempio di un codice ciclico 2-dimensionale
con 7 posizioni di informazione e 2 posizioni di controllo,
algoritmo per la decodifica di codici Reed-Solomon,
polinomio errore, polinomio sindrome, polinomio di locazione degli
errori, formula di Forney per trovare i valori degli errori,
equazione chiave della decodifica.
18.05.16 (pomeriggio)
Determinazione del polinomio di locazione degli errori e i valori degli errori
mediante il calcolo della base di Gröbner del modulo delle soluzioni
dell'equazione chiave della decodifica di un codice Reed-Solomon,
formula di Forney, esempio di un codice Reed-Solomon di lunghezza 8 e di
dimensione 4,
codice Singular relativo.
File della sessione Singular.
last updated 20th May 2016
Rüdiger Achilles