Argomenti trattati a lezione

06.10.08

Presentazione del corso (programma, modalità dell'esame, tutorato ecc.). Numeri naturali, principio d'induzione matematica, interi, razionali, la radice di due non è un numero razionale, successione di intervalli che definisce la radice di due, cenno sulla costruzione dei numeri reali mediante (classi di equivalenza di) successioni di intervalli annidati ("scatole cinesi") secondo K. Weierstrass oppure mediante successioni fondamentali o di Cauchy secondo G. Cantor, numeri complessi, piano dei numeri complessi o piano di Wessel-Argand-Gauss.

07.10.08

Numeri complessi, piano complesso, numero complesso coniugato, valore assoluto o modulo di un numero complesso, operazioni aritmetiche, esempi, vettori nel piano (cenno). Coordinate polari nel piano. Numeri complessi in forma polare o trigonometrica, interpretazione geometrica della loro moltiplicazione (trasformazioni di similitudine del piano), formule di addizione del seno e del coseno, formula di De Moivre, radici.

08.10.08

Richiami sulla misura di angoli orientati (in gradi e in radianti). Funzioni seno, coseno, relazioni tra le funzioni goniometriche (angoli complementari, angoli opposti, angoli supplementari), valori particolari delle funzioni goniometriche, grafici. Nozione di funzione e di funzione inversa. Funzioni inverse delle funzioni goniometriche (arcoseno, arcocoseno). Formula di De Moivre, radici, esempi, in particolare radici dell'unità. Teorema fondamentale dell'algebra. Esercizi consigliati: foglio del 10/10/2008.

13.10.08

Esercizi sui numeri complessi: radici, proprietà del complesso coniugato, un polinomio con coefficienti reali può possedere solo radici reali e coppie di radici complesse che sono numeri complessi coniugati, rotazione del piano. Fattoriale, numero di Nepero o di Eulero, sviluppo in serie di Taylor della funzione esponenziale e delle funzioni seno e coseno, funzione esponenziale complessa, formula di Eulero, formule di addizione, sottrazione e duplicazione del seno e del coseno.

15.10.08

Esercizi sui numeri complessi in forma polare o trigonometrica. Vettori: scalari e vettori, vettori geometrici, somma o risultante di vettori, poligono vettoriale, differenza di vettori, vettore nullo o vettore zero, moltiplicazione di un vettore per uno scalare. Regole dell'algebra vettoriale, definizione di spazio vettoriale reale.

20.10.08

Componenti di un vettore, vettori numerici, norma, operazioni con i vettori numerici, prodotto interno o prodotto scalare, esempio introduttivo (lavoro meccanico in fisica) e definizione per vettori di R^n, proprietà del prodotto scalare, vettori ortogonali, versori, vettori ortonormalizzati, proiezione ortogonale di un vettore su un altro.

21.10.08

Esercizi sul prodotto scalare e richiamo sulla funzione arcoseno, angoli tra vettori in gradi e in radianti, proiezione ortogonale di un vettore su un sottospazio lineare, disuguaglianza di Cauchy-Buniakovskii-Schwarz, applicazione in statistica: coefficiente di correlazione di un campione di dati bivariati.

22.10.08

Prodotto vettoriale o prodotto esterno di vettori di R^3, definizione ed esempio (forza di Lorentz), regole del calcolo per il prodotto vettoriale, cenno sul determinante di matrici quadrate, in particolare di ordine due e tre (regola di Sarrus), definizione del determinante tramite la formula di Leibniz, prodotto misto (prodotto scalare triplo) e volume di un parallelepipedo. Esercizi consigliati: foglio del 22/10/2008.

27.10.08

Discussione di un esercizio sul prodotto scalare, la disuguaglianza di Schwarz e il coefficiente di correlazione di dati bivariati. Rette nel piano e piani nello spazio tridimensionale, loro equazioni cartesiane, equazioni nella forma normale di Hesse (Ludwig Otto Hesse)), distanza punto - retta/piano, esempi ed esercizi.

28.10.08

Funzioni e limiti di funzioni numeriche: definizione di funzione o applicazione, funzione numerica reale, successione numerica, grafico di funzione, funzione suriettiva e biiettiva, funzione inversa di una funzione biiettiva, limite di funzione reale, limite di funzione reale f(x) per x tendente all'infinito, limite di successione numerica reale, funzione/successione divergente positivamente/negativamente, successione indeterminata, serie, somma di serie convergente, esempi, successione geometrica, funzione esponenziale, logaritmo, cambiamento di base nel logaritmo.

29.10.08

Crescita di un capitale investito ad un tasso fisso di interesse annuo, numero di Nepero o di Eulero (ossia il limite di (1 + 1/x)^x per x tendente all'infinto): e = 2,7182818284 ..., funzione esponenziale, cambiamento di base nelle funzioni esponenziali, successioni o progressioni aritmetiche e geometriche, media aritmetica, media geometrica e media armonica, esempi, media aritmetica-geometrica, somma parziale di una serie geometrica. Esercizi consigliati: foglio del 29/10/2008.

03.11.08

Limiti di successioni numeriche: unicità del limite di una successione convergente, progressioni aritmetiche e geometriche, serie geometrica, condizione necessaria per la convergenza di una serie, la serie armonica è divergente, convergenza assoluta di una serie, convergenza assoluta implica convergenza (segue dalla disuguaglianza triangolare), riordinamenti di una serie (cenno).

04.11.08

Riordinamenti di una serie e convergenza condizionata, convergenza assoluta equivale convergenza incondizionata (cenno). Criterio di convergenza di Cauchy, convergenza di 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... Massimo, minimo, estremo superiore e inferiore di un insieme di numeri reali. Esistenza dell'estremo superiore di un insieme limitato superiormente. Ogni successione numerica reale monotona crescente e limitata superiormente converge al suo estremo superiore. Esempi, in particolare: le successioni (1 + 1/n)^n e 1 + 1/1! + 1/2! + ... + 1/n! sono convergenti e hanno lo stesso limite e = 2,718 ..., il numero di Nepero o di Eulero. Esercizi consigliati: foglio del 05/11/2008.

10.11.08

Non ho potuto tenere la lezione a causa dello sciopero dei dipendenti delle ferrovie.

11.11.08

Limiti di funzioni numeriche reali, limite destro (o sinistro), limite di una funzione di una variabile reale x per x tendente all'infinito (o all'infinito negativo), funzioni divergenti positivamente (o negativamente), esempi, in particolare il limite di (sen x)/x per x tendente a zero. Teorema sul legame del limite di una funzione numerica reale con i limiti di successioni. Definizione di funzione numerica reale continua in un punto e in un intervallo, esempi. Continuità di somma, prodotto e quoziente (con denominatore diverso da zero) di funzioni continue, continuità della composta di funzioni continue, teorema di Weierstrass, teorema dei valori intermedi di Bolzano.

12.11.08

Cenno storico: fluents e fluxions di Newton (pag. 6 del documento linkato). Definizione di derivata e di differenziale di una funzione numerica reale. Interpretazione geometrica (retta tangente) e cinematica (velocità) della derivata, equazione della retta tangente al grafico di una funzione derivabile. Derivate di funzioni polinomiali. Esercizi consigliati: foglio del 13/11/2008.

17.11.08

Esercizi sulle serie e sulla caduta libera. La derivabilità di una funzione numerica reale implica la sua continuità. Esempio di una funzioni continua ma non derivabile, derivata destra e derivata sinistra, punto angoloso. Applicazione del differenziale alla stima di un errore assoluto, esempio.

18.11.08

Esercizi sui seguenti argomenti: funzione esponenziale, logaritmi, percentuale, numeri complessi, limiti di funzioni, volume di un parallelepipedo. Applicazione del differenziale alla stima dell'errore relativo del reciproco di un valore misurato con incertezza (si veda "errori nell'elevamento a potenza" per n = -1). Derivate di funzioni elementari.

19.11.08

Esercizi sui seguenti argomenti: distanza tra due punti, operazioni con i numeri complessi, numeri complessi in forma trigonometrica e in forma esponenziale, rotazione nel piano complesso e descrizione della rotazione nel piano in forma matriciale, radici di numeri complessi. Regole di derivazione ed esempi: derivata di una somma, di un prodotto e di un quoziente di funzioni derivabili, derivata di una funzione composta.

21.11.08

Prova in itinere: foglio del 21/11/2008 (mancano gli esercizi del calcolo numerico).

24.11.08

Derivata dell'inversa di una funzione invertibile e derivabile: funzioni logaritmo ed esponenziale, funzioni inverse di funzioni goniometriche, loro grafici e loro derivate. Teoremi sulle funzioni derivabili: teorema di Rolle (Michel Rolle, 1652-1719), teorema del valor medio (o di Lagrange), teorema generalizzato della media (o di Cauchy).

25.11.08

Moto circolare uniforme, cioè moto circolare con velocità angolare (frequenza angolare) costante, interpretazione geometrica del teorema generalizzato della media. Derivate di ordine superiore. Teorema di Taylor, resto nella forma di Lagrange, polinomi di Taylor, serie di Taylor e serie di Maclaurin, sviluppo in serie di Taylor della funzione esponenziale (con lo studio del resto di Lagrange).

26.11.08

Sviluppo in serie di Taylor delle funzioni exp(-x^2), seno, coseno e logaritmo naturale. Cenno sul raggio di convergenza di una serie di potenze, formula di Cauchy-Hadamard. Polinomi di Taylor come approssimazioni locali di una funzione in un intorno del punto iniziale. Esercizi consigliati: foglio del 26/11/2008.

01.12.08

Funzione esponenziale complessa, formula di Eulero. Teoremi di Bernoulli-l'Hospital (J. Bernoulli, Marquis de l'Hospital). Esempi per limiti nelle varie forme indeterminate. Massimi e minimi relativi e assoluti di una funzione reale in un intervallo. Condizione necessaria ("teorema di Fermat", da non confondere con l'ultimo teorema di Fermat e con il piccolo teorema di Fermat) per l'esistenza di massimi e minimi relativi interni.

02.12.08

Condizioni sufficienti per l'esistenza di massimi e minimi relativi interni (usando anche derivate di ordine superiore). Funzioni convesse e concave in un intervallo, relazione tra la convessità di una funzione e la monotonia della sua derivata, relazione tra la convessità e il segno della derivata seconda. Punto di flesso ascendente e discendente, condizione necessaria e condizioni sufficienti per l'esistenza di un punto di flesso usando la derivata seconda e derivate di ordine superiore della funzione. Esempi di studio di funzione, in particolare funzione logistica di crescita (P. F. Verhulst).

03.12.08

Studio della funzione logistica. Asintoti per il grafico di una funzione reale. Esempio di studio di funzione: equazione di van Deemter (pagine 5-6 del documento linkato) in gascromatografia. Introduzione al calcolo integrale: problema della funzione primitiva e problema della misura, teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrale indefinito (funzione primitiva, antiderivata), campo di direzioni (si veda anche il seguente applet). Esercizi consigliati: foglio del 04/12/2008.

09.12.08

Integrale indefinito, primitive di funzioni elementari. Regole di integrazione ed esempi, in particolare integrazione per parti, integrazione per sostituzione, formula della sostituzione lineare, cenno sulle funzioni iperboliche. Alcuni integrali che non possono essere espressi per mezzo di combinazioni finite delle cosiddette "funzioni elementari": funzione gaussiana, esponenziale integrale, seno integrale, coseno integrale, integrali ellittici.

10.12.08

Integrazione di funzioni razionali fratte mediante la loro decomposizione in frazioni semplici, esempio. Integrazione di funzioni razionali nelle funzioni trigonometriche, rappresentazione parametrica razionale della circonferenza. Integrale definito (secondo Riemann, 1826 - 1866): definizione tramite le somme intermedie di Riemann. Esercizi consigliati: foglio del 10/12/2008.

15.12.08

Proprietà dell'integrale definito: additività, monotonia (o teorema del confronto) e valore assoluto. Classi di funzioni integrabili. Teorema fondamentale del calcolo integrale e idea della sua dimostrazione. Esempi e applicazioni dell'integrale definito: area del sottografico di una funzione, lavoro per estendere una molla, lavoro di un gas ideale estendente (trasformazione isoterma), lunghezza di un segmento di curva, calcolo di un integrale definito mediante l' integrazione per sostituzione, volume di un solido di rotazione.

16.12.08

Applicazioni dell'integrale definito: volume di un solido di rotazione, superficie laterale di un tronco di cono, area della superficie laterale di un solido di rotazione. Integrali generalizzati o impropri: integrazione su intervalli illimitati, esempi, in particolare volume e superficie laterale della tromba di Torricelli e integrale di Gauss, cenno sugli integrali doppi, elemento d'area in coordinate polari.

17.12.08

Esercizi sul differenziale. Integrazione per sostituzione, integrale di Gauss. Integrazione con funzione integranda illimitata, esempi. Equazioni differenziali ordinarie, soluzione (o integrale) generale, soluzioni particolari, soluzioni singolari, esempi. Interpretazione geometrica delle soluzioni nel caso di equazioni differenziali esplicite del primo ordine: campo di direzione e curve integrali. Equazioni differenziali a variabili separabili, Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti, esempi. Esercizi consigliati: foglio del 17/12/2008.

22.12.08

Equazioni differenziali ordinarie, soluzione (o integrale) generale, soluzioni particolari e problema di Cauchy o dei valori iniziali, soluzioni singolari, cenno sull'unicità locale della soluzione di un problema di Cauchy. Esempi di equazioni differenziali a variabili separabili: equazioni differenziali nella cinetica chimica ( reazioni del primo e del secondo ordine, decomposizione di funzioni razionali fratte in frazioni semplici, grafici delle concentrazioni in funzione del tempo).

23.12.08

Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti, soluzioni generali secondo le radici dell'equazione caratteristica associata nel caso di ordine due, esempio di un oscillatore armonico non smorzato e smorzato (casi di sovrasmorzamento, smorzamento critico e sottosmorzamento), problema di Cauchy per equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti di ordine due.

07.01.09

Introduzione alle funzioni numeriche reali di più variabili reali, alcuni esempi di funzioni di due variabili, loro grafici e curve di livello, in particolare: piani nello spazio, vettore normale a un piano, semisfera, cono, paraboloide iperbolico. Limiti e continuità per le funzioni reali di due e più variabili reali, derivate parziali, equazione del piano tangente al grafico di una funzione differenziabile di due variabili. Esercizi consigliati: foglio del 08/01/2009.

12.01.09

Esempi di derivate parziali e di derivate parziali di ordine superiore di funzioni di più variabili, teorema di Schwarz ( Hermann Amandus Schwarz) sulle derivate seconde miste, matrice hessiana (Otto Hesse). Incremento di una funzione di due variabili, differenziale totale, gradiente, differenziale totale per una funzione di n variabili. Esempio di una funzione derivabile parzialmente ma non continua. Derivazione delle composte di funzioni di più variabili (regola della catena). Esercizi consigliati: foglio del 12/01/2009.

13.01.09

Derivata direzionale, definizione e calcolo della derivata direzionale come prodotto scalare del gradiente con il versore scelto. Esempi per il calcolo e il significato del gradiente e della derivata direzionale. Formula di Taylor per funzioni di due variabili reali.

14.01.09

Formula di Taylor per funzioni di due variabili reali, resto nella forma di Lagrange. Classificazione dei punti stazionari (o critici) di funzioni reali in due variabili reali: condizione necessaria (annullarsi del gradiente) e condizione sufficiente (usando la matrice hessiana) per l'esistenza di massimi e minimi locali in un punto interno al dominio di una funzione di due variabili, condizione sufficiente per l'esistenza di un punto di sella, cenno sulla dimostrazione. Lettura consigliata: Gianluca Gorni, Introduzione illustrata alle funzioni di due variabili. Cenno al caso di funzioni in più variabili: riduzione a forma canonica di una forma quadratica (pag. 11 del documento linkato), richiami sugli autovettori e autovalori di una matrice simmetrica reale (pag. 10 del documento linkato). Esempio per la classificazione dei punti stazionari di una funzione reale di due variabili reali. Esercizi consigliati: foglio del 15/01/2009.

last updated 15th January 2009 Rüdiger Achilles