Argomenti trattati a lezione

05.10.09

Presentazione del corso (programma, modalità dell'esame, tutorato ecc.). Numeri naturali, interi, razionali, la radice di due non è un numero razionale, successione di intervalli che definisce la radice di due, cenno sulla costruzione dei numeri reali mediante (classi di equivalenza di) successioni di intervalli annidati ("scatole cinesi") secondo K. Weierstrass, mediante successioni fondamentali o di Cauchy secondo G. Cantor oppure mediante sezioni di Dedekind ( R. Dedekind). Definizione di funzione o applicazione, funzione numerica reale, successione numerica, grafico di funzione, esempio: crescita di un capitale investito ad un tasso fisso di interesse annuo, calcolo (della successione) del montante ad interesse composto discontinuo annuo.

06.10.09

Confronto del montante ad interesse composto con quello ad interesse semplice. Potenze di un binomio, triangolo di Tartaglia o di Pascal, proprietà dei coefficienti binomiali, numero di combinazioni semplici, formula di Newton per lo sviluppo delle potenze di un binomio. Successioni o progressioni aritmetiche e geometriche, media aritmetica e media geometrica, somma parziale di una serie geometrica.

07.10.09

I limiti di (1 + 1/x)x e di (1 - 1/x)-x per x tendente all'infinito = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... = e = 2,7182818284 ... (numero di Nepero o di Eulero), il limite di (1 - 1/x)x per x tendente all'infinito = 1/e = e-1. Funzioni esponenziali e loro grafici. Funzione iniettiva, suriettiva e biiettiva, funzione inversa di una funzione biiettiva, esempi. Esercizi consigliati: foglio del 07/10/2009.

12.10.09

Esempi di funzioni inverse, in particolare funzioni logaritmiche ed esponenziali e loro grafici, regole del calcolo con le potenze e con i logaritmi, cambiamento di base nelle funzioni esponenziali e logaritmiche, esempio: decadimento radioattivo, legame tra costante di decadimento e tempo di dimezzamento (emivita, semiperiodo).

13.10.09

Esercizi sul calcolo con i logaritmi, scala logaritmica, logaritmi di Nepero, angolo elementare, angolo orientato, misura di angoli orientati in gradi e in radianti, funzioni goniometriche (seno, coseno, tangente, cotangente), valori particolari delle funzioni goniometriche, relazioni tra le funzioni goniometriche (angoli complementari, angoli opposti, angoli supplementari). Esercizi consigliati: foglio del 14/10/2009.

19.10.09

Grafici delle funzioni goniometriche, cenno al moto circolare uniforme, cioè moto circolare con velocità angolare costante, funzioni inverse delle funzioni goniometriche (arcoseno, arcocoseno, arcotangente, arcocotangente). Rotazione del piano.

20.10.09

Rotazione del piano in senso orario e antiorario, formule di addizione, di sottrazione e di duplicazione per le funzioni goniometriche, coordinate polari, conversione da coordinate polari a coordinate cartesiane e viceversa. Esercizi sui seguenti argomenti: Potenze di un binomio, coefficienti binomiali, funzioni inverse, logaritmi e il pH, funzione esponenziale e decadimento radioattivo, tempo di dimezzamento.

21.10.09

Coordinate sferiche o coordinate polari nello spazio. Numeri complessi, definizione e operazioni aritmetiche, esempi, piano dei numeri complessi o piano di Wessel-Argand-Gauss, vettori nel piano (cenno), numero complesso coniugato, valore assoluto o modulo di un numero complesso. Esercizi consigliati: foglio del 21/10/2009.

26.10.09

Numeri complessi in forma polare o trigonometrica, interpretazione geometrica della loro moltiplicazione (trasformazioni di similitudine del piano), formula di De Moivre, radici, esempi, in particolare radici dell'unità. Teorema fondamentale dell'algebra.

27.10.09

Limiti di funzioni numeriche reali, limite destro (o sinistro), limite di una funzione di una variabile reale x per x tendente all'infinito (o all'infinito negativo), funzioni divergenti positivamente (o negativamente), unicità del limite, esempi, in particolare limiti di funzioni esponenziali, di successioni geometriche e la serie geometrica. Esercizi consigliati: foglio del 28/10/2009.

02.11.09

Il limite di (sen x)/x per x tendente a zero. Definizione di funzione numerica reale continua in un punto e in un intervallo, esempi. Continuità di somma, prodotto e quoziente (con denominatore diverso da zero) di funzioni continue, continuità della composta di funzioni continue, teorema di Weierstrass (Weierstrass, 1815-1887), teorema dei valori intermedi di Bolzano (Bolzano, 1781-1848). Esercizi sui logaritmi (cambiamento di base) e sulla conversione di coordinate cartesiane in coordinate sferiche.

03.11.09

Definizione di derivata e di differenziale di una funzione numerica reale, equazioni della retta secante e della retta tangente al grafico di una funzione derivabile. Esercizi sui seguenti argomenti: somma parziale e somma della serie geometrica, decrescita esponenziale, funzioni inverse.

04.11.09

Prova in itinere: foglio del 04/11/2009. Esercizi consigliati: foglio del 05/11/2009.

09.11.09

Derivate di funzioni elementari (funzioni polinomiali e altre funzioni algebriche, funzioni logaritmiche, funzioni goniometriche), equazioni di rette tangenti. Discussione della prova scritta del 4 novembre 2009.

10.11.09

La derivabilità di una funzione numerica reale implica la sua continuità. Esempio di una funzione continua ma non derivabile, derivata destra e derivata sinistra, punto angoloso. Applicazione del differenziale alla stima di un errore assoluto, esempio. Regole di derivazione ed esempi: derivata di una somma.

11.11.09

Regole di derivazione ed esempi: derivata di un prodotto e di un quoziente di funzioni derivabili, propagazione di errori: maggiorazione dell'errore relativo di un prodotto e di un quoziente attraverso la somma dei singoli errori relativi, derivata di funzioni derivabili composte, derivata dell'inversa di una funzione invertibile e derivabile: derivata della funzione esponenziale. Esercizi consigliati: foglio del 11/11/2009.

16.11.09

Derivazione di funzioni composte: moto circolare uniforme, cioè moto circolare con velocità angolare (frequenza angolare) costante, vettori velocità e accelerazione. Richiami sui vettori e sul prodotto vettoriale: scalari e vettori, vettori geometrici, somma o risultante di vettori, differenza di vettori, vettore nullo o vettore zero, moltiplicazione di un vettore per uno scalare, componenti di un vettore, vettori numerici, norma, operazioni con i vettori numerici, prodotto interno o prodotto scalare, esempio introduttivo (lavoro meccanico in fisica) e definizione per vettori di Rn, disuguaglianza di Cauchy- Buniakovskii-Schwarz. Derivata dell'inversa di una funzione invertibile e derivabile: funzioni inverse di funzioni goniometriche, loro grafici e loro derivate.

17.11.09

Teoremi sulle funzioni derivabili: condizione necessaria (teorema di Fermat sui punti stazionari, da non confondere con l'ultimo teorema di Fermat e con il piccolo teorema di Fermat) per l'esistenza di massimi e minimi relativi interni. teorema di Rolle (Michel Rolle, 1652-1719), teorema del valor medio (o di Lagrange), teorema generalizzato della media (o di Cauchy). Discussione di un esercizio sul limite di una funzione della cinetica chimica.

18.11.09

Monotonia di una funzione derivabile in un intervallo e il segno della sua derivata in tale intervallo, minimi e massimi locali o relativi. Derivate e differenziali di ordine superiore. Teorema di Taylor, resto nella forma di Lagrange, polinomi di Taylor, serie di Taylor e serie di Maclaurin, sviluppo in serie di Taylor della funzione esponenziale, polinomi di Taylor come approssimazioni locali della funzione. Esercizi consigliati: foglio del 18/11/2009.

23.11.09

Sviluppo in serie di Taylor della funzione esponenziale con lo studio del resto di Lagrange e delle funzioni seno, coseno e logaritmo naturale. Cenno sul raggio di convergenza di una serie di potenze, formula di Cauchy-Hadamard. Funzione esponenziale complessa, formula di Eulero.

24.11.09

Formula di Eulero e formule di addizione per le funzioni goniometriche, cenno alle trasformate di Fourier (J. Fourier, 1768-1830). Teoremi di Bernoulli-l'Hospital (J. Bernoulli, Marquis de l'Hospital). Esempi per limiti nelle varie forme indeterminate.

25.11.09

Esempi per limiti, regola di de l'Hospital. Funzioni convesse e concave in un intervallo, relazione tra la convessitā di una funzione e la monotonia della sua derivata, relazione tra la convessità e il segno della derivata seconda. Punto di flesso ascendente e discendente, condizione necessaria e condizioni sufficienti per l'esistenza di un punto di flesso usando la derivata seconda e derivate di ordine superiore della funzione. Esempi di studio di funzione, in particolare funzione logistica di crescita (P. F. Verhulst). Esercizi consigliati: foglio del 25/11/2009.

30.11.09

Studio della funzione logistica. Asintoti per il grafico di una funzione reale. Esempio di studio di funzione: equazione di van Deemter (pagine 5-6 del documento linkato) in gascromatografia.

01.12.09

Introduzione al calcolo integrale: problema della funzione primitiva e problema della misura, teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrale indefinito (funzione primitiva, antiderivata), campo di direzioni (si veda anche il seguente applet). Integrale indefinito, primitive di funzioni elementari. Regole di integrazione ed esempi, in particolare integrazione per parti, integrazione per sostituzione.

02.12.09

Integrazione per sostituzione, formula della sostituzione lineare, esempi. Alcuni integrali che non possono essere espressi per mezzo di combinazioni finite delle cosiddette "funzioni elementari": funzione gaussiana, esponenziale integrale, seno integrale, coseno integrale, integrali ellittici. Esercizio sul polinomio di Taylor e il resto nella forma di Lagrange. Esercizi consigliati: foglio del 02/12/2009.

09.12.09

Prova in itinere: foglio del 09/12/2009.

14.12.09

Integrale definito (secondo Riemann, 1826 - 1866): definizione tramite le somme intermedie di Riemann. Proprietà dell'integrale definito: additività, monotonia (o teorema del confronto) e valore assoluto. Classi di funzioni integrabili. Teorema fondamentale del calcolo integrale e idea della sua dimostrazione. Compilazione delle schede per la valutazione della didattica. Discussione degli esercizi del 09/12/2009.

15.12.09

Esempi e applicazioni dell'integrale definito: area del sottografico di una funzione, lavoro per estendere una molla, lavoro di un gas ideale estendente (trasformazione isoterma), lunghezza di un segmento di curva, calcolo di un integrale definito mediante l' integrazione per sostituzione, volume di un solido di rotazione.

16.12.09

Integrali generalizzati o impropri: integrazione su intervalli illimitati, esempi di integrali convergenti e divergenti, legame con la convergenza o divergenza di serie, integrale di Gauss, cenno sugli integrali doppi, elemento d'area in coordinate polari. Esercizi consigliati: foglio del 09/12/2009.

21.12.09

Integrazione con funzione integranda illimitata, esempi. Equazioni differenziali ordinarie, soluzione (o integrale) generale, soluzioni particolari, soluzioni singolari, esempio. Equazioni differenziali a variabili separabili: equazioni differenziali nella cinetica chimica ( reazioni del primo ordine), grafici delle concentrazioni in funzione del tempo, grafici semilogaritmici.

22.12.09

Esempi di equazioni differenziali a variabili separabili nella cinetica chimica ( reazioni del primo e del secondo ordine, decomposizione di funzioni razionali fratte in frazioni semplici). Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti, soluzioni generali secondo le radici dell'equazione caratteristica associata nel caso di ordine due.

23.12.09

Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti, esempi, in particolare oscillatore armonico non smorzato e smorzato (casi di sovrasmorzamento, smorzamento critico e sottosmorzamento), problema di Cauchy per equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti di ordine due. Esercizi consigliati: foglio del 23/12/2009.

11.01.10

Riassunto sulle equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti. Introduzione alle funzioni numeriche reali di più variabili reali, alcuni esempi di funzioni di due variabili, loro grafici e curve di livello, in particolare: piani nello spazio, semisfera, cono, paraboloide ellittico e paraboloide iperbolico. Lettura consigliata: Gianluca Gorni, Introduzione illustrata alle funzioni di due variabili.

12.01.10

Limiti e continuità per le funzioni reali di due e più variabili reali, derivate parziali, equazione del piano tangente al grafico di una funzione differenziabile di due variabili, esempi, in particolare esempio di una funzione derivabile parzialmente ma non continua. Incremento di una funzione di due variabili, differenziale totale.

13.01.10

Teorema sull'incremento di una funzione (o teorema del differenziale totale) per funzioni di più variabili. Esempi di derivate parziali e di derivate parziali di ordine superiore di funzioni di più variabili, teorema di Schwarz ( Hermann Amandus Schwarz) sulle derivate seconde miste, matrice hessiana (Otto Hesse). Derivata direzionale, definizione e calcolo della derivata direzionale come prodotto scalare del gradiente con il versore scelto. Esercizi consigliati: foglio del 13/01/2010.

18.01.10

Derivazione delle composte di funzioni di più variabili (regola della catena), calcolo della derivata direzionale come prodotto scalare del gradiente con il versore scelto, gradiente di una funzione rappresenta la direzione del suo massimo incremento, esempi, vettore normale a un piano. Classificazione dei punti stazionari (o critici) di funzioni reali in due variabili reali: condizione necessaria (annullarsi del gradiente) e condizione sufficiente (usando la matrice hessiana) per l'esistenza di massimi e minimi locali in un punto interno al dominio di una funzione di due variabili, condizione sufficiente per l'esistenza di un punto di sella.

19.01.10

Esempi per la classificazione dei punti stazionari o critici di una funzione reale di due variabili reali. Cenno sugli integrali curvilinei o integrali di linea, forme differenziali esatte, forme differenziali chiuse. Discussione di esercizi (equazioni differenziali, problema di Cauchy). Esercizi consigliati: foglio del 19/01/2010.

20.01.10

Prova in itinere: foglio del 20/01/2010.

last updated 21st January 2010 Rüdiger Achilles