Seminario del 2019

2019
06 Maggio
Luca Giudici
Dalle coordinate alla equivalenza: la conquista di von Neumann: I parte
nell'ambito della serie: TOPICS IN MATHEMATICS 2018/2019
Da uno spazio vettoriale V si ricava il sistema dei sottospazi lineari L, ordinato per inclusione, e l'anello degli endomorfismi R. Escludendo dim(V)<3, e con cura se dim(V)=3, seguendo von Staudt da L si ricostruisce V, e seguendo Birkhoff / Menger si caratterizza L, ma NON si ha una equivalenza. Generalizzando a moduli (o oggetti abeliani) V tali che ogni endomorfismo ha nucleo e immagine sommandi diretti, seguendo von Neumann si ha una equivalenza tra R e L, che si caratterizzano come anelli con inversa generalizzata (ogni x ha un y tale che xyx=x) e reticoli modulari complementati, con un sistema di unità matriciali di ordine n>2 in R e una base omogenea di ordine n in L (arguesiano se n=3). Il contesto generale chiarisce che V si ricostruisce solo a meno di equivalenze di Morita. L'equivalenza di von Neumann è archetipica per studiare altri casi. Due sono notevoli: [1] Partendo da uno spazio di Hilbert H, si ha una equivalenza tra gli anelli con involuzione A di operatori lineari continui tali che A=A'' (dove X' indica l'anello degli operatori che commutano con ogni x in X) e gli associati poset con involuzione P(A) delle proiezioni (idempotenti autoaggiunti, ordinati per divisibilità ef=e, con 1-e ortocomplemento di e), sempre escludendo i casi in cui una immagine omomorfa sia del tipo escluso sopra per V. Per i fondamenti logici della meccanica quantistica (i casi esclusi hanno intepretazione logico - quantistica della loro esclusione), von Neumann era particolarmente interessato al sottocaso indecomponibile (e=0,1 le uniche proiezioni che danno una decomposizione diretta) e ``finito'' (xy=1 implica yx=1 in A, ovvero P(A) modulare): von Neumann caratterizza P(A) come geometria continua con ortogonalità che permette libera mobilità e univocamente determina una probabilità di transizione; A è l'anello degli elementi limitati (sottoanello generato dalle proiezioni) dentro l'anello R associato a L=P(A). [2] Altri tipi di moduli (o oggetti abeliani) V ammettono una equivalenza come sopra, per esempio il caso di Baer - Inaba - J\'onsson / Monk dei moduli su anelli artiniani a ideali principali, caso che include i gruppi abeliani finiti e gli spazi vettoriali finito dimensionali con l'azione di una trasformazione lineare o antilineare. Se l'equivalenza per un singolo V è rara, accade invece sempre che una catagoria abeliana di vari V si ricostruisca dal reticolo associato. Il risutato finale (combinando Freyd - Mitchell per categorie abeliane e il teorema di G. Hutchinson per i reticoli) è che tre teorie in tre diversi linguaggi permettono di fare le stesse cose: (algebra lineare classica) moduli su un anello (algebra lineare moderna) categorie abeliane (geometria d'incidenza sintetica moderna) reticoli modulari con 0 in cui gli elementi sono raddoppiabili: $\forall x\exists y,z$: $x\vee y=y\vee z=z\vee x$ & $x\wedge y=y\wedge z=z\wedge x=0.$

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