Argomenti trattati a lezione

05.10.15

Presentazione del corso (programma, modalità dell'esame, tutorato ecc.). Testi consigliati: Marco Abate, Matematica e Statistica 2/ed, Le basi per le scienze della vita. McGraw-Hill Education (Italy) srl, 2013 e le Soluzioni di tutti gli esercizi contenuti nell'Eserciziario; Angelo Guerraggio, Matematica per le scienze. Pearson Italia, Milano, Torino, 2014. Chi non avesse una preparazione adeguata, potrà effettuare un ripasso della matematica di base con Alma Mathematica (corsi di e-learning).
Calcolo combinatorio: disposizioni, permutazioni e combinazioni semplici e con ripetizioni.
Si consigliano gli esercizi sul calcolo combinatorio dal sito chihapauradellamatematica o dal sito Alma Mathematica (I miei corsi>AlmaMathematica>Corso di probabilità e Statistica).

07.10.15

Combinazioni con ripetizioni, esempio e dimostrazione della formula ("stars and stripes"), formula di Newton per lo sviluppo delle potenze di un binomio, triangolo di Tartaglia o di Pascal dei coefficienti binomiali, proprietà dei coefficienti binomiali, cardinalità dell'insieme delle parti (insieme potenza) di un insieme finito, numero dei sottoinsiemi di k elementi di un insieme finito di n elementi.
Esercizi consigliati: foglio del 08/10/2015.

12.10.15

Probabilità elementare o classica, cenno alla versione astratta della probabilità (esempio del lancio di un dado): spazio probabilistico (Ω, Σ, P) con spazio campionario Ω (insieme dei potenziali risultati di un esperimento casuale), σ-algebra Σ degli eventi su Ω (ad esempio insieme potenza dello spazio campionario Ω), misura di probabilità P su Σ, eventi mutuamente esclusivi o incompatibili, eventi indipendenti, processo di Bernoulli e legge o distribuzione binomiale di probabilità, esempi (lanci ripetuti di una moneta, macchina di Galton o quinconce).
Esercizi consigliati: foglio del 13/10/2015.

14.10.15

INFORMATICA (tenuta dalla tutor dott. Turrini). Presentazione del modulo di informatica, che cos'è l'informatica, perché studiare e non solo usare l'informatica, modalità di registrazione e di accesso al servizio di e-learning, i due capitoli del corso (internet, il WWW e i loro servizi, progettazione e realizzazione di un semplice database), l'attività di auto-apprendimento, il test finale.

19.10.15

Definizione di funzione o applicazione, prodotto cartesiano di insiemi, relazioni tra insiemi, funzione numerica reale, successione numerica, grafico di funzione, funzione iniettiva, suriettiva e biiettiva, permutazione, esempi, invertibilità delle funzioni biiettive, funzione inversa di una funzione biiettiva, esempio, definizione di limite di una funzione numerica reale.

21.10.15

Valore assoluto e intorno simmetrico (o circolare) di un numero reale, intervalli aperti, chiusi, semiaperti, illimitati, esempi di limiti di funzioni numeriche reali, limite destro (o sinistro), limite di una funzione di una variabile reale x per x tendente all'infinito (o all'infinito negativo), funzioni divergenti positivamente (o negativamente), esempi, definizione di funzione numerica reale continua in un punto e in un intervallo, funzione parte intera di un numero reale, esempio di una funzione esponenziale, potenze con base positiva ed esponente reale (si veda L. Roi, Funzioni esponenziali e logaritmiche, capitolo 1).
Esercizi consigliati: foglio del 22/10/2015.

26.10.15

Teorema sul limite di somma, prodotto e quoziente di funzioni, continuità di somma, prodotto e quoziente (con denominatore diverso da zero) di funzioni continue, continuità della composta di funzioni continue, funzioni lineari e affini, crescita lineare di un capitale investito ad un tasso fisso di interesse semplice, calcolo (della successione) del montante ad interesse composto discontinuo annuo, ad interesse composto discontinuo convertibile e ad interesse composto continuo, numero di Nepero o di Eulero = 2,7182818284 ... come limite di (1 + 1/x)^x per x tendente all'infinito, funzioni esponenziali e logaritmiche, proprietà dei logaritmi, in particolare cambiamento di base nei logaritmi, fattori per trasformare logaritmi briggiani (coè in base di 10) in logaritmi naturali e viceversa.

28.10.15

Cambiamento di base nelle funzioni esponenziali, in particolare la conversione delle potenze di due in potenze di dieci, grafici di funzioni esponenziali, applicazioni delle funzioni esponenziali e logaritmiche: assorbimento di una radiazione elettromagnetica da un materiale omogeneo, limite per il reciproco del numero di Eulero, decadimento radioattivo, costante di decadimento e tempo di dimezzamento, esempio di datazione con il metodo del carbonio-14, scala logaritmica, cenno al regolo calcolatore, scala del pH.
Esercizi consigliati: foglio del 29/10/2015.

02.11.15

Scala logaritmica, linearizzazione di funzioni potenze in un sistema di riferimento logaritmico e di funzioni esponenziali e logaritmiche in un sistema di riferimento semilogaritmico, esempi (usando il software R), legge di Benford o legge della prima cifra (Benford's Law), funzioni circolari (goniometriche, trigonimetriche) e loro grafici, misura di angoli orientati in radianti, definizione delle funzioni circolari attraverso la circonferenza goniometrica (seno, coseno, tangente, cotangente), relazioni tra le funzioni trigonometriche e valori particolari.

04.11.15

Cenno alle serie di Fourier, onda quadra e fenomeno di Gibbs (codice R), funzioni inverse delle funzioni circolari (arcoseno, arcocoseno, arcotangente) e loro grafici, coordinate polari, conversione da coordinate polari a coordinate cartesiane e viceversa, arcotangente2, coordinate sferiche (con latitudine), rotazione nel piano, formule di addizione, sottrazione, duplicazione per le funzioni seno e coseno.
Esercizi consigliati: foglio del 05/11/2015.

09.11.15

Funzioni sinusoidali f(t) = B + A cos(ωt + φ₀), significato delle costanti (traslazione, ampiezza, velocità angolare e frequenza f = ω/(2π), fase iniziale), cenno al moto armonico semplice, limite di (sen x)/x per x tendente a zero e limiti che ne derivano, definizione di derivata e di differenziale di una funzione reale, significato geometrico della derivata, equazione della retta secante e della retta tangente al grafico di una funzione derivabile.

11.11.15

Derivate di alcune funzioni elementari (funzioni potenze, funzioni logaritmiche, funzioni trigonometriche) ed esempi per l'equazione della retta tangente al grafico di una funzione derivabile, derivata di somma, prodotto e quoziente di funzioni derivabili, esempi, derivata dell'inversa di una funzione invertibile e derivabile, in particolare derivate di funzioni esponenziali e della funzione arcoseno.
Esercizi consigliati: foglio del 12/11/2015.

16.11.15

Derivazione di funzioni composte (regola della catena), esempi, in particolare moto circolare uniforme, cioè moto circolare con velocità angolare costante, vettori velocità e accelerazione come derivata prima e derivata seconda del raggio vettore, differenziale e propagazione degli errori, esempio per l'applicazione del differenziale alla stima di un errore assoluto, maggiorazione dell'errore relativo di un prodotto (o quoziente) attraverso la somma dei singoli errori relativi.

17.11.15

L'errore relativo su x si trasforma nell'errore assoluto su log(x), derivate e differenziali di ordine superiore, teoremi sulle funzioni derivabili: teorema di Rolle (Michel Rolle, 1652-1719), teorema del valor medio (o di Lagrange), teorema generalizzato della media (o di Cauchy), teorema di Taylor, resto nella forma di Lagrange, polinomi di Taylor, serie di Taylor e serie di Maclaurin, sviluppo in serie di Taylor della funzione esponenziale.

18.11.15

Compilazione dei questionari sulla valutazione della didattica. Sviluppo in serie di Taylor delle funzioni seno e coseno, polinomi di Taylor come approssimazioni locali della funzione (codice per il programma REDUCE), regola di Bernoulli-l'Hospital, esempi.
Esercizi consigliati: foglio del 19/11/2015.

23.11.15

Applicazione del calcolo differenziale allo studio del grafico di una funzione reale: monotonia di una funzione derivabile in un intervallo e segno della sua derivata in tale intervallo, condizione necessaria (teorema di Fermat sui punti stazionari) e condizioni sufficienti per l'esistenza di minimi e massimi relativi interni, funzioni convesse e concave in un intervallo, relazione tra la convessità di una funzione e la monotonia della sua derivata, relazione tra la convessità e il segno della derivata seconda, punto di flesso ascendente e discendente, condizione necessaria e condizioni sufficienti per l'esistenza di un punto di flesso, asintoti per il grafico di una funzione reale, esempio (curva di Gauss).

24.11.15

Esempio di studio di funzione: equazione di van Deemter (pagine 5-6 del documento linkato) in gascromatografia. Introduzione al calcolo integrale: problema della primitiva (o antiderivata) di una funzione e problema della misura, integrale indefinito, campo di direzioni (si veda anche il seguente applet), integrale definito (secondo Riemann, 1826 - 1866) tramite le somme intermedie di Riemann, teorema fondamentale del calcolo integrale.

25.11.15

Idea della dimostrazione del teorema fondamentale del calcolo integrale, teorema del valor medio integrale, classi di funzioni integrabili, proprietà dell'integrale definito: additività, monotonia o confronto, valore assoluto. Integrale indefinito: primitive di funzioni elementari, regole e metodi di integrazione ed esempi, in particolare linearità, integrazione per parti.
Esercizi consigliati: foglio del 26/11/2015.

30.11.15

Integrazione per sostituzione, prima formula di sostituzione, formula della sostituzione lineare, integrazione di una derivata logaritmica, seconda formula di sostituzione, esempi. Esempi ed applicazioni dell'integrale definito: area del sottografico di una funzione reale, lavoro impiegato per allungare una molla, calcolo del lavoro di una trasformazione isoterma di un gas ideale, lunghezza di un segmento di curva.

01.12.15

Equazioni differenziali a variabili separabili, crescita e decrescita esponenziale (dinamica delle popolazioni: crescita malthusiana, decadimento radioattivo), problema di Cauchy o problema ai valori iniziali, equazioni differenziali a variabili separabili nella cinetica chimica: reazioni dirette di ordine zero, del primo ordine e del secondo ordine, grafici delle concentrazioni in funzione del tempo, grafici semilogaritmici, decomposizione di funzioni razionali fratte in frazioni semplici nel caso di radici reali distinte del denominatore, reazione di pseudo primo ordine, integrali impropri o generalizzati: integrazione su intervalli illimitati, integrazione con funzione integranda illimitata.

02.12.15

Esempi di integrali convergenti e divergenti, integrale di Gauss (cenno), alcuni integrali che non possono essere espressi per mezzo di combinazioni finite delle cosiddette "funzioni elementari", modello di crescita limitata secondo P. F. Verhulst (1804-1849), equazione logistica, grafico della funzione logistica. Scalari e vettori, vettori geometrici, (si veda anche il video - in lingua inglese - su YouTube), somma o risultante di vettori, differenza di vettori, vettore nullo o vettore zero, moltiplicazione di un vettore per uno scalare, vettori numerici, norma, operazioni con i vettori numerici.
Esercizi consigliati: foglio del 03/12/2015.

09.12.15

Funzioni (trasformazioni, applicazioni) lineari da R² in R², esempi (rotazione del piano attorno l'origine, proiezione ortogonale del piano su una retta passante per l'origine), funzione lineare da Rⁿ in R^m e matrice associata, definizione di matrice reale, vettore riga, vettore colonna, algebra delle matrici: uguaglianza, somma, differenza, matrice zero, moltiplicazione di una matrice per uno scalare, spazio vettoriale delle matrici dello stesso tipo, prodotto di matrici conformabili, esempi per le operazione con le matrici, matrice associata alla composizione di funzioni lineari.
Esercizi consigliati: foglio del 10/12/2015.

14.12.15

Prodotto di matrici, esempi, in particolare prodotto scalare di vettori, non commutatività del prodotto matriciale, proprietà delle operazioni con le matrici, divisori dello zero, matrice identità, definizione di matrice invertibile (o regolare), proprietà delle matrici invertibili, esempio per il calcolo dell'inversa di una matrice invertibile risolvendo sistemi lineari, esempio di una matrice non invertibile (o singolare), matrice trasposta e sue proprietà. Sistema di equazioni lineari in forma matriciale, risoluzione di un sistema lineare mediante l'algoritmo di Gauss-Jordan (C.F. Gauss, W. Jordan): riduzione della matrice completa del sistema a scala per righe (da finire).

16.12.15

Risoluzione di un sistema lineare mediante l'algoritmo di Gauss-Jordan: riduzione della matrice completa del sistema a scala per righe e a scala per righe in forma ridotta, esempio di un sistema con spazio (affine) delle soluzioni tridimensionale, esempio di un sistema impossibile, teorema di Rouché-Capelli, soluzioni di un sistema non omogeneo come somma di una soluzione particolare e della soluzione "generale" del sistema omogeneo associato (si veda la dispensa, pag. 24), calcolo dell'inversa di una matrice quadrata invertibile con l'algoritmo di Gauss-Jordan, esempio.
Esercizi consigliati: foglio del 17/12/2015.

11.01.16

Esempi per risolvere sistemi di equazioni lineari e per calcolare l'inversa di una matrice quadrata invertibile con l'algoritmo di Gauss-Jordan, risoluzione di un sistema lineare di cui si conosce la matrice inversa della matrice dei coefficienti.

last updated 11th January 2016 Rüdiger Achilles