Argomenti trattati a lezione

24.09.12

Presentazione del corso (programma, modalità dell'esame, tutorato ecc.). Testi consigliati:
A. Quarteroni, F. Saleri e P. Gervasio, Calcolo scientifico - Esercizi e problemi risolti con MATLAB e Octave, Springer-Verlag Italia, Milano, 5a ed., 2012.
M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa : Matematica. Calcolo infinitesimale e algebra lineare. 2a ed., Zanichelli, Bologna, 2004.
S. Salsa, A. Squellati, Esercizi di Analisi matematica 1, 2 (due volumi), Zanichelli, Bologna, 2011.
P. Ghelardoni, G. Gheri e P. Marzulli, Elementi di Calcolo Numerico.
Software consigliato: Octave - l'alternativa gratuita a MATLAB. Octave è un programma open source di calcolo numerico. (Ci sono anche programmi open source di calcolo simbolico, ad esempio REDUCE per tante piattaforme, in particolare il reduce-windows64-20110414 (9.1 MB).)
Numeri naturali, interi, razionali, la radice di due non è un numero razionale, successione di intervalli che definisce la radice di due, numeri razionali come numeri decimali periodici, numeri complessi, definizione e operazioni aritmetiche, esempi, piano dei numeri complessi o piano di Wessel-Argand-Gauss, vettori nel piano (cenno).
Compiti a casa: Installate sul proprio computer la Macchina Virtuale (VM).

26.09.12

Complesso coniugato, valore assoluto o modulo di un numero complesso, coordinate polari, conversione da coordinate polari a coordinate cartesiane e viceversa, numeri complessi in forma polare o trigonometrica, interpretazione geometrica della loro moltiplicazione (trasformazioni di similitudine del piano), formula di De Moivre, radici n-esime, in particolare radici dell'unità.
Esercitazione al computer: introduzione a MATLAB/Octave, diary per registrare una sessione, command window, command history ovvero file .octave_hist, operazioni aritmetiche, commenti, matrici (tabelle), stringhe, output grafico (image, imagesc, plot del grafico di una funzione e print('grafico.pdf') per salvarlo in un file grafico.pdf, comandi axis equal, grid).

01.10.12

Radici di numeri complessi, esempio, numero di Nepero o di Eulero = 2,7IbsenIbsen4590 ... (Henrik Ibsen, 1828-1906, poeta e drammaturgo norvegese), cenno allo sviluppo in serie di Taylor della funzione esponenziale, funzione esponenziale complessa, formula di Eulero, numeri complessi in forma esponenziale. Numeri floating-point o numeri finiti: rappresentazione dei numeri in forma scientifica, insieme dei numeri floating-point e loro memorizzazione (segno, esponente e mantissa), IEEE-754 floating-point standard, numeri finiti di MATLAB/Octave, più piccolo e più grande numero finito positivo (realmax e realmin in MATLAB/Octave), overflow e underflow, algoritmi per la conversione della parte intera e della parte frazionaria di un numero decimale in un numero binario, esempi, in particolare esempio di un numero decimale finito che necessita infinite cifre binarie.
Esercizi consigliati: foglio del 30/09/2012.

03.10.12

Errori di rappresentazione di un numero reale attraverso un numero floating-point, cardinalità dell'insieme dei numeri floating-point, teorema sulla maggiorazione dell'errore relativo, unità di arrotondamento. Cenno alla aritmetica floating-point: non unicità dello zero, non valgono le leggi associative e distributive; effetto della cancellazione di cifre significative (si veda C. Guerrini). Vettori: scalari e vettori, vettori geometrici, somma o risultante di vettori, poligono vettoriale, differenza di vettori, vettore nullo o vettore zero, moltiplicazione di un vettore per uno scalare.
Esercitazione al computer (command history): cicli for ((a) moltiplicare 1/10 per 11, (b) togliere 1, (c) ripetere 20 volte i passi (a) e (b) e riflettere sui risultati ottenuti) e while (non unicità dello zero, calcolo di eps, si veda Quarteroni-Saleri, p. 6), comandi realmax, realmin, eps, toascii, format, linspace, plot, hold on, poly, polyval, a : step : b, effetto della cancellazione numerica (Quarteroni-Saleri, pp. 7, 8).

10.10.12

Regole dell'algebra vettoriale, definizione di spazio vettoriale, componenti di un vettore, vettori numerici o algebrici, norma, operazioni con i vettori numerici, prodotto interno o prodotto scalare, esempio introduttivo (lavoro meccanico in fisica) e definizione per vettori di Rⁿ e di Cⁿ, proprietà del prodotto scalare, norma indotta dal prodotto scalare, proprietà della norma, disuguaglianza triangolare, disuguaglianza di Cauchy-Buniakovskii-Schwarz, angolo tra due vettori di Rⁿ.
Esercitazione al computer (command history): calcolo vettoriale (vettori riga e vettori colonna, somma, differenza, distanza tra due punti, prodotto scalare, angolo tra vettori) e visualizzazione dei vettori, comandi norm, dot, acos, quiver, quiver3, hold on, hold off, trasposizione coniugata v' di un vettore v.
Esercizi consigliati: foglio del 14/10/2012.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 35-41 (vettori nel piano e nello spazio), pp. 43, 44 (prodotto scalare), pp. 57-59 (spazi vettoriali), pp. 63-65 (prodotto scalare in Rⁿ).

15.10.12

Programmare in MATLAB/Octave, MATLAB source code files (M-files): script e function.
Definizione di funzione, trasformazione o applicazione lineare, esempi e controesempi, prodotto scalare o prodotto interno in uno spazio vettoriale reale (complesso) come forma bilineare (sesquilineare ), simmetrica (hermitiana) e definita positiva, norma indotta dal prodotto scalare, distanza (metrica) indotta dalla norma, combinazione lineare di una famiglia di vettori, sottospazi vettoriali, span (copertura) lineare o sottospazio generato da una famiglia di vettori, famiglia di vettori linearmente indipendente e linearmente dipendente, base di uno spazio vettoriale, coordinate di un vettore, base canonica di Rⁿ.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 69-70 (funzioni lineari), pp. 41-43 (combinazioni lineari di vettori, vettori linearmente indipendenti), pp. 60-62 (indipendenza lineare, base e dimensione), Quarteroni-Saleri, pp. 34-38 (programmare in MATLAB).

17.10.12

Esempi di spazi vettoriali di dimensione finita e di dimensione infinita, loro basi, versori, proiezione di un vettore su un vettore non nullo, procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt, basi ortonormali, algebra delle matrici: uguaglianza, somma, differenza, matrice nulla o matrice zero, moltiplicazione di una matrice per uno scalare, prodotto tra matrici conformabili, non commutatività del prodotto matriciale, divisori dello zero, trasposta di una matrice.
Esercitazione al computer (command history): script e function, function proiezione che calcola la proiezione di un vettore su un'altro (non nullo), operazioni sulle matrici, trasposta (A.') e trasposta coniugata (A') di una matrice, matrici speciali: matrice zero (zeros), matrice ones.
Esercizi consigliati: foglio del 21/10/2012.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 60-63 (indipendenza lineare, base e dimensione), pp. 65-69 (basi ortonormali, procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt), pp. 71-75 (algebra delle matrici).

22.10.12

Matrice identità, matrice inversa, calcolo della matrice inversa di una matrice quadrata non singolare (o invertibile) risolvendo sistemi di equazioni lineari, regole del calcolo con le matrici trasposte e le matrici inverse, matrice contragrediente, spazio vettoriale delle applicazioni lineari tra spazi vettoriali e spazio vettoriale delle matrici dello stesso tipo, sistema di riferimento e vettore delle coordinate (o delle componenti) di un vettore rispetto a una base, rappresentazione matriciale delle trasformazioni lineari: matrice associata ad una trasformazione lineare tra spazi vettoriali di dimensione finita con basi fissate, trasformazione lineare associata ad una matrice, esempio (proiezione dei vettori di R² su un vettore fisso).

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 71-77 (algebra delle matrici, matrici speciali), pp. 78-81 (rappresentazione matriciale delle trasformazioni lineari).

24.10.12

Esempi per la rappresentazione matriciale di trasformazioni lineari: proiezione dei vettori del piano su un vettore fisso, passaggio dalla base canonica a una base formata da autovettori, cambiamento di base e cambiamento delle coordinate mediante la matrice contragrediente della matrice di trasformazione dei vettori di base, matrici di riflessione e matrici di rotazione nel piano, composizione di trasformazioni lineari e moltiplicazione delle loro matrici di rappresentazione, nucleo, immagine e rango di una trasformazione lineare, formula di dimensione (teorema del rango), trasformazioni lineari iniettive, suriettive e biiettive (monomorfismi, epimorfismi, isomorfismi).
Esercitazione al computer (command history): manipolazione di matrici e vettori: estrarre e sovrascrivere elementi e sottomatrici, scambiare righe, matrice inversa, matrice diagonale, matrici con numeri casuali, complessità computazionale del prodotto matriciale, comandi size, length, inv, eye, diag, rand, mean, / (divisione dalla destra), \ (divisione dalla sinistra), tic, toc (cronometro).
Esercizi consigliati: foglio del 28/10/2012.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 76-77 (rotazione nel piano), p. 81 (matrice della composizione di trasformazioni lineari), pp. 100-103 (immagine, nucleo, trasformazioni inettive e suriettive), Quarteroni-Saleri, pp. 11-17 (matrici e vettori), pp. 28-29 (costo computazionale, flops, esempio 1.2: numero di operazioni per esguire il prodotto fra matrici quadrate), p. 39, esercizio 1.5 (scambio di righe di una matrice, soluzione sulla p. 302).

29.10.12

Relazioni di equivalenza e di similitudine fra matrici, matrici sono equivalenti (cioè rappresentano rispetto a basi diverse la stessa trasformazione lineare) se e solo se le matrici hanno lo stesso rango (o caratteristica), la matrice "più semplice" fra le matrici equivalenti (matrice in forma canonica), matrici rappresentano lo stesso endomorfismo di uno spazio vettoriale di dimensione finita rispetto a basi diverse dello spazio se e solo se sono simili, sistema di due equazioni lineari in due incognite, soluzione con il metodo di eliminazione Gauss, fattorizzazione triangolare LU e soluzione di un sistema lineare con la sostituzione in avanti e all'indietro, regola di Cramer, definizione assiomatica del determinante secondo Weierstrass, sviluppo di Laplace, esempi, determinante di matrici triangolari, proprietà elementari del determinante.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 94-99 (sistemi lineari), pp. 81-87 (determinante), Quarteroni-Saleri, pp.135-138 (fattorizzazione LU).

31.10.12

Proprietà elementari del determinante, minori e rango di una matrice, teorema di Kronecker, calcolo della matrice inversa di una matrice quadrata non singolare con il metodo della matrice dei cofattori (o dei complementi algebrici o aggiunti), esempi, prodotto vettoriale o prodotto esterno, significato geometrico del determinante (volume con un segno).
Esercitazione al computer (command history): costo computazionale del calcolo del determinate con lo sviluppo di Laplace, supercomputer Titan (20 PetaFLOPS), metodi per definire una funzione (funzione inline, anonymous function con l'ausilio di function handle @, m-file di una funzione), plotare il grafico di una funzione reale di una o di due variabili reali (plot, mesh), curve di livello (meshc), visualizzare il campo vettoriale gradiente (quiver).
Esercizi consigliati: foglio del 02/11/2012.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 45-48 (prodotto vettoriale), pp. 81-92 (determinante, prodotto vettoriale, rango o caratteristica di una matrice, matrice inversa), Quarteroni-Saleri, pp. 17-19 (funzioni), pag. 29 (esempio 1.3, costo computazionale del calcolo del determinante).

05.11.12

Teorema di Binet sul determinante del prodotto di matrici, prodotto misto, volume di un parallelepipedo, sistema di equazioni lineari costituito da m equazioni in n incognite, sistema omogeneo associato, spazio delle soluzioni, risoluzione mediante l'algoritmo di Gauss, cioè la riduzione della matrice completa del sistema a scala, esempi, esempio per il pivoting per righe, esempio di un sistema mal condizionato.
Esercitazione al computer (command history): Plot delle due rette di un sistema lineare mal posto, fattorizzazione triangolare LU di una matrice quadrata senza scambio di righe (function fattlu.m o lugauss.m dal libro di Quarteroni-Saleri) e con pivoting per righe (comando lu), matrice di permutazione, soluzione di un sistema lineare Ax = b mal condizionato con la divisione dalla sinistra di MATLAB A\b, matrici di Hilbert come esempio di matrici mal condizionate.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 86-88 (teorema di Binet, prodotto misto), pp. 104-106 (sistemi lineari), Saleri-Quarteroni, pp. 135-141 (fattorizzazione LU), pp. 144-147 (pivoting).

07.11.12

Riassunto sui sistemi di equazioni lineari, teorema di Rouché-Capelli, autovalori e autovettori di un endomorfismo di uno spazio vettoriale e di una matrice quadrata, polinomio caratteristico di una matrice quadrata, autospazio relativo a un autovalore, esempi (matrice diagonale, matrice di rotazione nel piano).
Esercitazione al computer (command history): esempio di una matrice che non ha una fattorizzazione LU, soluzione di un sistema lineare usando la fattorizzazione triangolare LU della matrice dei coefficienti, codice MATLAB per risolvere i sistemi triangolari ottenuti con la sostituzione in avanti e all'indietro rispettivamente (avanti.m, indietro.m, si veda anche lo script sol.m di Quarteroni-Saleri).
Esercizi consigliati: foglio del 11/11/2012.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 104-106 (sistemi lineari), pp. 109-111 (autovalori ed autovettori), Quarteroni-Saleri, pp. 135-138 (fattorizzazione LU, sostituzione in avanti e all'indietro).

12.11.12

Autovalori e autovettori complessi della rotazione nel piano (per un angolo diverso da zero o da un angolo piatto), normalizzazione degli autovettori complessi, le radici di un polinomio a coefficienti reali sono complesse coniugate, esempio di un endomorfismo con un autovalore multiplo, la dimensione dell'autospazio di un autovalore (ossia la sua molteplicità geometrica) non supera la sua molteplicità algebrica, autovalori regolari, esempio di un endomorfismo con un autovalore non regolare, coefficienti del polinomio caratteristico (con segno alternato) come somme dei minori diagonali di ordine fissato, metodo di Ruffini-Horner (Paolo Ruffini, 1765-1822, William George Horner, 1786-1837) per la valutazione efficiente di un polinomio e per la divisione di polinomi, formule di Viète (François Viète, 1540-1603) che collegano i coefficienti di un polinomio a somme e prodotti delle sue radici, polinomi simmetrici elementari.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 110-113, p. 115.

14.11.12

Diagonalizzabilità di un endomorfismo o di una matrice, condizione sufficiente e necessaria di diagonalizzabilità, matrici reali simmetriche/hermitiane e loro diagonalizzazione, gli autovalori di una matrice reale simmetrica/hermitiana sono reali, autovettori relativi ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti, autovettori associati ad autovalori distinti di una matrice reale simmetrica/hermitiana sono ortogonali, matrici ortogonali e matrici unitarie, loro proprietà, ogni matrice simmetrica a coefficienti reali/hermitiana può essere diagonalizzata tramite una matrice ortogonale/unitaria, matrici ortogonali e isometrie dello spazio euclideo (cenno).
Esercitazione al computer (command history): calcolo del polinomio caratteristico (comando poly) e degli autovalori di una matrice quadrata (comando roots), calcolo degli autovettori e diagonalizzazione di una matrice (comando eig), diagonalizzazione di una matrice reale simmetrica, rappresentazione matriciale delle coniche e loro riduzione a forma canonica (cenno).
Esercizi consigliati: foglio del 17/11/2012.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 109-120 (autovalori ed autovettori, diagonalizzazione).

19.11.12

Esempio per il calcolo degli autovalori, degli autovettori e della diagonalizzazione di una matrice quadrata, di una base costituita da autovettori e della matrice di passaggio, calcolo della matrice inversa con il metodo della matrice dei cofattori (o dei complementi algebrici o aggiunti), esempio per il calcolo degli autovalori, degli autovettori e della diagonalizzazione di una matrice quadrata reale simmetrica con un autovalore doppio, di una base ortonormale costituita da autovettori e della matrice ortogonale di passaggio, procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 109-120 (autovalori ed autovettori, diagonalizzazione).

21.11.12

Diagonalizzazione di una matrice hermitiana mediante una matrice unitaria di passaggio, richiamo sul prodotto scalare standard di Cⁿ (prodotto hermitiano), norma matriciale, norma matriciale indotta da una norma vettoriale, norma di Frobenius ( Frobenius, 1849-1917) come esempio di una norma non indotta, numero di condizionamento di una matrice quadrata non singolare, maggiorazione dell'errore relativo sulla soluzione di un sistema lineare perturbato (teorema di Wilkinson), numero di condizionamento per matrici simmetriche e definite positive come quoziente del più grande e del più piccolo autovalore.
Esercitazione al computer (command history): soluzione di un sistema lineare Ax = b mal condizionato con la fattorizzazione LU e la sostituzione in avanti e all'indietro (avanti.m, indietro.m, si veda anche lo script sol.m di Quarteroni-Saleri), con la divisione dalla sinistra A\b e con il metodo iterativo di Gauss-Seidel (script itermeth.m), calcolo e confronto degli errori relativi.
Esercizi consigliati: foglio del 25/11/2012.

Lettura consigliata: Quarteroni-Saleri, pp. 147-150 (Quanto è accurata la fattorizzazione LU?).

26.11.12

Dimostrazione del teorema di Wilkinson nel caso in cui la matrice dei coefficienti sia simmetrica e definita positiva e solo i termini noti siano perturbati, numero di condizionamento in generale, norma matriciale indotta dalla norma euclidea in generale, cenno ad altre norme, metodo delle potenze per il calcolo dell'autovalore di modulo massimo, analisi di convergenza, metodo delle potenze inverse, localizazzione degli autovalori attraverso i cerchi di Gershgorin (Gershgorin, 1901-1933).

Lettura consigliata: Quarteroni-Saleri, pp. 147-150 (Quanto è accurata la fattorizzazione LU?), pp. 191-193 (Come calcolare lo shift).

28.11.12

Complemento sugli autovalori, autovalori delle potenze e delle potenze inverse di una matrice, matrice hermitiana o simmetrica reale definita positiva e sua caratterizzazione mediante la positività di tutti i suoi autovalori, criterio di Sylvester.
Esercitazione al computer (command history): visualizzazione degli autovalori e autovettori di una matrice quadrata di ordine 2, codice MATLAB/Octave per il metodo delle potenze (molto grezzo: metpot.m) che approssima l'autovalore di modulo massimo di una matrice quadrata, localizazzione degli autovalori attraverso i cerchi di Gershgorin, codice Octave per la visualizzazione dei cerchi di Gershgorin, funzione ausiliaria cerchio.m, calcolo di un autovalore usando lo shift.
Esercizi consigliati: foglio del 02/12/2012.

Lettura consigliata: Quarteroni-Saleri, pp. 184-193.

03.12.12

Equazioni non lineari, metodo di bisezione, errore assoluto del metodo, criteri di arresto, iterazioni di punto fisso, condizione sufficiente per l'esistenza e l'unicità del punto fisso e per la convergenza della successione generata dal metodo di iterazione funzionale, condizioni sufficienti per la convergenza locale (teorema di Ostrowski, A. M. Ostrowski, 1893-1986), ordine di convergenza.

Lettura consigliata: Quarteroni-Saleri, pp. 44-47 (metodo di bisezione), pp. 54-61 (iterazioni di punto fisso).

05.12.12

Metodo di Newton(-Raphson) o metodo delle tangenti, convergenza quadratica del metodo di Newton nel caso di uno zero semplice.
Progetti di calcolo numerico (da preparare per l'esame orale).
Esercizi consigliati: foglio del 09/12/2012.

Lettura consigliata: Quarteroni-Saleri, pp. 47-51 (metodo di Newton).

10.12.12

Compilazione delle schede per la valutazione della didattica. Approssimazione di funzioni e dati: interpolazione polinomiale, matrice (e determinate) di Vandermonde, esistenza e unicità del polinomio interpolatore, interpolazione polinomiale di Lagrange, quantificazione dell'errore che si commette sostituendo una funzione con un suo polinomio interpolatore, maggiorazione dell'errore nel caso di nodi equidistanti, fenomeno di Runge (Carl Runge, 1856-1927).

Lettura consigliata: Quarteroni-Saleri, pp. 78-84.

12.12.12

Retta dei minimi quadrati o retta di regressione, cenno alla covarianza e alla varianza campionaria, integrazione numerica, introduzione e formule di quadratura semplici e composite (formula del punto medio, formula del trapezio, formula di Simpson), loro errori, gradi di esattezza e ordini di accuratezza delle formule composite.
Esercitazione al computer (command history): fenomeno di Runge (Carl Runge, 1856-1927), interpolazione polinomiale della funzione di Runge usando un numero crescente di nodi equidistanti e rappresentazione grafica dei risultati ottenuti con il comando polyfit di MATLAB/Octave, nodi di Chebyshev ( P. L. Chebyshev, 1821-1894) per evitare il fenomeno di Runge, calcolo e visualizzazione di una retta di regressione.
Esercizi consigliati: foglio del 16/12/2012.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, p. 452 (metodo dei minimi quadrati, retta di regressione), Quarteroni-Saleri, pp. 99-101 (metodo dei minimi quadrati), pp. 112-117 (integrazione numerica: formula del punto medio, formula del trapezio, formula di Simpson).

17.12.12

Esempi ed esercizi sull'integrazione numerica: formula composita di Simpson (prova del 16/02/2011, Esercizio 1), stima dell'errore, formule del punto sinistro (o del rettangolo sinistro), del punto destro (o del rettangolo destro), formule composite relative e loro codice Octave/MATLAB, formula di quadratura composita del trapezio (prova del 21.06/2011, Esercizio 1), maggiorazione dell'errore di quadratura, comandi quad e quadl di Octave/MATLAB, calcoli con Octave (command history).

19.12.12

Esempi ed esercizi sui seguenti argomenti: matrice associata ad una trasformazione lineare tra spazi vettoriali di dimensione finita con basi fissate, autovalori e autovettori di un endomorfismo di uno spazio vettoriale e di una matrice quadrata, teorema di Rouché-Capelli, polinomio caratteristico di una matrice quadrata, autospazio relativo a un autovalore, autovalori e autovettori complessi della rotazione nel piano, normalizzazione degli autovettori complessi, formula di Eulero, rotazione nel piano usando la moltiplicazione di numeri complessi, teorema spettrale nel caso finito-dimensionale reale e complesso, diagonalizzazione di una matrice hermitiana mediante una matrice unitaria di passaggio, comandi MATLAB poly, roots, eig.

last updated 19th December 2012 Rüdiger Achilles